位似在几何证题中的应用

若两个平面图形F和F’是以O为位似中心的位似图形,且图形F对F’的位似比是k,记之为F∽(o,k)F’,关于这,我们有定理若F∽(o,k)F’,G∽(o,k)G’,则F∩G∽(o,k)hF’∩G’,F∪G∽(o,k) F’∪G’。在平面图形中,两条平行直线是以平面上(除去这两条直线)任一点为位似中心的位似图形;两条平行或在同一条直线上,且方向相反(相同)的射线是以两端点连线(两端点连线的延长线)上任一点为内(外)位似中心的位似图形;任意两圆是位似图形,……。     

位似变换及其应用

(本讲适合初中) 设O为平面α上一定点,H为α到自身的一一变换。如果对于α上任意异于点O的点A,在OA所在直线上有点A′,满足OA′:OA′=k≠0,则称H为平面α上的位似变换,记为H(O,k)。其中点O为位似中心,k为位似系数或位似比,A与A′在点O的同侧时,k>0,此时O为外分点,此种变换称为正位似(或顺位似):A与A′在点O的两侧时,k<0,此时O为内分点,此种变换为反位似(或逆位似);在k=±1时是恒等变换和中心对称变换,A点集及其象A′点集称为位似变换下的位似形。     

用代数方法确定空间圆的参数方程

一、基本事实设r1,r2为半径为R的⊙O1所在平面上(与⊙O1所在平面的法向量n正交的)的两个相互正交的单位向量,对于⊙O1上任一点P,若记θ为r1到O1P的转角(沿从r1到r2的转角为90°的方向),则:P与θ∈[0,2π]一一对应(将0与2π对应的同一点看成两个点),且O1P=R[(cosθ)r1 (sinθ)r2].对应于上述参数,圆周上的弧长微分为ds=Rdθ.二、几个圆周的参数方程以下利用上述事实,举例说明确定空间球面与平面的相交线圆周的参数方程的方法.1、曲线x2 y2 z2=R2x y z=k(|k|<3R)为一个圆,圆心为O1(k/3,k/3,k/3),半径为R2-k2/3,其所在的平面x y z=k上的…     

怎样确定两条异面直线的公垂线的位置

本文对如何确定两条异面直线的公垂线的位置,怎样在图形上准确作出两异面直线的公垂线就这个问题作一点探讨。先引进一个定义空间两条射线所成的角: 设AB、CD是两条射线,过空间任一点O,分别作与AB、CD平行且同向的射线OM、ON则∠MON叫做射线AB与CD所成的角。根据定义知道,两条射线所成的角θ与点O的位置无关,且O≤θ≤π。若射线AB与CD所成的角为θ,则射线AB与DC所成的角就为π-θ。定理:设l_1与l_2为     

一道值得研究的高考题

2007年浙江省高考数学卷中有这样一题:题目已知点 O 在二面角α-AB-β的棱上,点 P 在α内,且∠POB=45°.若对于β内异于点 O的任意一点 Q,都有∠POQ≤≥45°,则二面角α-AB-β的大小是____.(2007年浙江省高考数学卷理科第16题、文科第17题)对于此题,有相当多的考生感觉无从下手,答案是瞎蒙的,能力较强的学生会联想到用"最小角定理",得到以下错解.错解设直线 OP 与β所成角为θ.当点 P 在β上的射影 P_1落在射线 OQ 上时,∠POQ=θ,由题设可知θ>45°,即θ≥∠POB.又因为 OBβ,故由最小角定理知,∠POB≥θ,所以∠POB=θ,即 OB 为 OP在β上的射影,从而α⊥β,即二面角α-AB-β的大小是90°.上述解法看似非常漂亮,但仔细审题,发现二面角的面β是半平面,也就是     

利用圆的一个结论求一类线段最值

<正>圆中有一个结论,利用该结论可以求一类线段的最值.结论圆外或圆内一点到圆上各点间的线段中,当线段所在直线过圆心时取得最值.如图1、图2,若点P不在⊙O上,射线OP交⊙O于B,射线OP的反向延长线交⊙O于A,则点P到⊙O上各点之间的线段中,PB最短,PA最长.     

什么是“位似”

对于位似的概念,在老版的人教社教材中是这样定义的: 如果一个图形上的点A′,B′,…,P′和另一个图形上的点A,B,…,P分别对应,并且(1)直线AA′,BB′,…,PP′都经过同一点O;(2) (OA′)/(OA)=(OB′)/(OB)=…=(OC′)/(OC)=k. 那么这两个图形叫做位似图形,点O叫做位似中心.     

圆内接正多边形一个性质的简证

本刊文[1]证明了关于圆内接正多边形的下述性质:正 n(n≥3)边形外接圆上任一点到该正 n 边形各顶点距离的平方和为2nR~2(其中 R 是外接圆半径).文[1]的证明比较繁复,今简证如下:在平面直角坐标系中,设任意给定的一个正 n 边形A_0A_1A_2…A_(n-1)各顶点的坐标是 A_k(Rcos(2kπ/n),Rsin(2kπ/n))(k=0,1,2,…,n-1)其外接圆上任意取定的一点 P的坐标是 P(Rcosθ,Rsinθ).显然点 P 到正 n 边形各顶点距离的平方和 S 是     

带电粒子在匀强磁场中的圆周运动

复习带电粒子在匀强磁场中的圆周运动,要抓住三点:1.掌握分析思路的基本要点例1.如图1,在开有 O 孔的竖直挡板右侧,有垂直纸面向里的匀强磁场,磁感应强度为 B,P 为磁场中一点,P 点到O孔的距离为 L,O、P 连线与水平方向的夹角为θ.一质量为 m、电量为 e 的电子,从 O 孔沿水平方向(且沿纸面)射入磁场中,要使电子在磁场中运动可通过 P 点,求(1)电子的入射速度 v_0,(2)电子由 O孔运动到 P 点的时     

用极限思想解选择题(高三)

例1 已知长方形的四个顶点A(0,O),B(2,O),C(2,1)和D(O,1),一质点从AB的中点P0沿与AB夹角为θ的方向射到BC上的点P1后,依次反射到CD,DA和AB上的点P2,P3和P4(入射角等于反射角).设P4的坐标为(x4,O),若1相似文献   

有心圆锥曲线的一个性质的推广

1引言文[1]给出了有心圆锥曲线22ax2±by2=1上一点P,PP'为曲线的直径,点Q为过P点切线与x轴的交点,过Q点任作一直线交曲线于M,N,P'M,P'N分别交x轴于M0,N0,则总有OM0=ON0.文[1]未指出:文中的性质能够推广到更一般的情形吗?回答是肯定的,我们有:推广设P为有心圆锥曲线22xa2±by2=1上一点,PP'为曲线直径,点Q为过P点切线上任意一点,过Q点任作一直线交曲线于M,N,直线QO交P'M,P'N分别于M0,N0,则总有OM0=ON0.2推广的证明分两种情况(1)当曲线为22ax2 by2=1时,如右图.设P(a cosθ,bsinθ),则P'(?a cosθ,?b sinθ),过P点的切线方程为…     

以运动的观点研究曲线

定义1 以曲线P上任取一点P(x,y),而在另一曲线P~*上有与之对应的点P~*(x~*,y~*),当点P(x、y)在Γ上变动时,P~*在Γ~*上变动,称曲线Γ~*为曲线Γ的伴随曲线。 定义2 平面上的射线绕顶点作逆时针方向旋转所得的角θ为正角,顺是针旋转所得的     

极坐标在定积分运算中的一点探讨

一、定义和述语在平面内取一个定点O,叫极点,引一条射线OX,叫做极轴,再选定一个长度单位和角度的正方向(通常取逆时针方向).对于平面内任何一点M,用r表示线段OM的长度,θ表示从OX到OM的角度,r叫做点M的极径,θ叫做点M的极角,有序数对(r,θ)就叫点M的极坐标,这样建立的坐标系叫做极坐标系.     

勃罗卡(brocard)问题的推广及应用

<正>设P为△ABC内一点,使得∠PAB=∠PBC=∠PCA=θ,则称点P为勃罗卡点.角θ为勃罗卡角.本文先给出勃罗卡问题的推广,然后解决一个很有意义的问题(即文中命题).定理设P为△ABC所在平面上一点,     

旋转式椭圆规及其数学原理

一、旋转式椭圆规的数学原理我们从椭圆轨迹上的点P(x,y)到椭圆中心的距离谈起: 设椭圆轨迹上一动点P(x,y)的轨迹方程为 x=acosθ, y=bsinθ,则动点P(x,y)到椭圆中心O(0,0)的距离d满足 d~2=(acosθ)~2 (bsinθ)~2.因a~2cos~2θ b~2sin~2θ=(a~2-b~2)cos~2θ b~2     

勾画“隐圆” 破解最值

<正>1几个结论1.如图1,P是⊙O外的一点,直线PO分别交⊙O于点A、B,则PA是点P到⊙O上的点的最短距离,PB是点P到⊙O上的点的最长距离.2.如图2,P是⊙O内的一点,直线PO分别交⊙O于点A、B,则PA是点P到⊙O上的点的最短距离,PB是点P到⊙O上的点的最长距离.3.如图3,当点P在圆上时,直线PO交⊙O于点     

椭圆切线的几个性质

性质1设F为椭圆的一个焦点,其相应的准线为l,过椭圆上的一点M的切线交准线l于P,则PF⊥MF.证明过椭圆22ax2+by2=1(a>b>0)上点M(a cosθ,bsinθ)的切线为:x cos ysin1aθ+bθ=,则(2,(cos))sinPa b c ac cθθ?.∴sin,MFcoskba cθ=θ?k FP=c?b saicnoθsθ,∴k MF?kFP=?1,∴PF⊥MF.性质1'设F为抛物线y2=2px(p>0)的焦点,过抛物线上任一点(非顶点(0,0)M的切线交准线l于P,则PF⊥MF.证明设抛物线上一点M(t2/(2p),t)(非顶点(0,0)),则过M的切线为:2()2ty p xt=+p,∴22(,)22Pp t pt??,∴22222,MF FP2k pt kt pt p pt=?=??,∴k MF?kFP…     

线面角与二面角的关系及应用

如图1,P为平面α外一点,PO⊥α,O为垂足,直线l(∪)α,点P与直线l确定平面为β,点B∈l,设PB与平面α所成的角∠PBO=θ1,与l所成的角∠PBA=θ,二面角α-l-β的平面角∠PAO=(ψ).下面我们来研究θ1、θ、(ψ)之间的关系.     

米勒问题

米勒问题:在已知直线l的同侧有P、Q两点,试在直线l上求一点M,使得M对P、Q两点的张角θ最大,即∠PMQ最大。解:若PQ∥l,作PQ的垂直平分线RM和l交于M,则M点即为求。∵△PQM的外接圆的圆心必过O点,∴直线l切⊙O于M,在l上取异于M点的M′     

用数学物理方法求极值

物理学中的极值问题通常有两种求法———数学方法和物理方法,下面通过一例作一说明。题目如图1所示,质量为m的小球从光滑的半径为R的41圆弧轨道上的A点由静止释放(A点与圆弧轨道的圆心O等高),则小球从A运动到B的过程中,重力对小球做功的最大功率为多大?分析设小球从A点由静止释放后运动到C点时速度为v(如图2所示),根据机械能守恒定律有:mgRsinθ=21mv2。①重力对小球做功的功率为:P=mgvcosθ。②由上二式得:P=mg2gRsinθ·cosθ。③此时可用两种方法求P的极大值。1数学方法令y=2gRsinθ·cosθ,④则P=mg·y。欲使P最大,须使y最大。…