简证一道竞赛题

第31届西班牙数学奥林匹克第2题:证明:如果(x+x2+1)(y+y2+1)＝1,那么x+y＝0.本刊2001年第4期P16给出了上题的一种证法,现给出更简捷的证法.     

一道竞赛题简证

设数列a_0,a_1,a2,…,a_n满足a_0=1/2,及a_(k 1)=a_k (1/n)a_k~2(k=0,1,2,…,n-1),其中n是一个给定的正整数。试证:     

一道竞赛题的简证

题目 求证:在两个连续平方数之间不存在四个自然数am_1 m_2,又由a≥n~2可推知m_1m_2≥n~2,     

一道竞赛题的简证

在各类数学竞赛中,几何题占有相当大的比例。近年来出现用复数法解几何题的趋势,这种思考方法对于涉及旋转的几何题效果尚好。下面是去年的高中数学竞赛中第二试的一道几何题。原题如下: 如右图,△ABC与△ADE均为等腰直角三角形,AC>AE,今将△ADE绕A旋转,求证不论旋转至什么位置,连线CE上必有一点M,使△BDM为等腰直角三角形。这道题有一定难度,首先在于△ADE位置的不确定性,其次CE上点M的性质也     

一道竞赛题的简证

在1997年安徽省初中数学竞赛中有一道几何选择题（见《中等数学》1998年第1期）如下: 4.在等腰直角三角形ABC的斜边AB上取两点M,N,使∠MCN=45°,记AM=m,MN=x,BN=n.则 图1以x,m,n为边长的三角形的形状是().(A)锐角三角形 (B)直角三角形 (C)钝角三角形 (D)随x,m,n的变化而变化的     

一道竞赛题结论的简证

结论设x,y是正数,且满足(（1+x2）^1/2-x+1)(（1+y2）^1/2-y+1)=2,则xy=1.文[1]中由2010年世界数学团体锦标赛青年组个人赛第三轮第1题出发,得到了如上结论,并认为这个结论"扑朔迷离",还给出了一个很"独特"的证法,笔者发现文[1]的解答有些复杂,下面是一个更简单的解法:证明:由已知条件易得     

一道德国竞赛题的简证

题目已知圆内接四边形ABCD两条对角线的交点为5，5在边AB，CD上的投影分别为点E，F，证明EF的中垂线平分线段BC和DA（2003年德国数学竞赛（第二轮））[第一段]     

一道数学竞赛题的简证

题目（2008年全国高中数学联赛江西省预赛题）AD是直角三角形ABC斜边BC上的高（AB〈AC）,I1、I2分别是△ABD、△ACD的内心,△AI1,I2的外接圆⊙O分别交AB、AC于E、F,直线FE与CB的延长线交于点M．求证：I1,I2分别是△ODM的内心和旁心．     

一道白俄罗斯竞赛题的简证

题目　已知CH是RtABC的高(∠C=90°),且与角平分线AM、BN分别交于P、Q两点.证明:通过QN、PM中点的直线平行于斜边AB[1].(第52届白俄罗斯数学奥林匹克(决赛A类))这里给出此题的一个简证.图1证明:如图1,令E、F分别为QN、PM的中点.联结CE、EH.由∠C=90°,CH⊥AB得∠BCH=∠BAC.于     

一道平面几何竞赛题的简证

题目一个圆通过△ABC的顶点A、B,分别交线段AC、BC于点D、E,直线BA和ED交于点F,直线BD和CF交于点M.证明:MF=MC的充要条件为     

一道美国数学竞赛题简证

《数学教学通讯》1980年第1期刊登“第六届美国全国数学竞赛试题解答”。及成都《数学爱好者》1981年第1期“一道美国数学竞赛题简解”中有一道立几题目: “如果空间四边形(四点不共面)的两组对边分别相等,则两条对角线的中点连线垂直于两条对角线。反之,如果空间四边形两条对角线的中点连线垂直于两对角线,则四边形的两组对边相等”。现另作简单证明如下:     

简证一道全国数学竞赛题

一九八九年全国高中数学联合竞赛试题的第二试最后一题为: 有n×n(n≥4)的一张空白方格表,在它的每一个方格内任意地填入+1与-1两个数中的一个,现将表内n个两两既不同行(横)又不同列(竖)的方格中的数的乘积称为一个基本项,试证:按上述方式所填成的每一个方格表,它的全部基本项之和总能被4整除。     

一道美国数学竞赛题的简证

题目 已知四边形ABCD是圆内接四边形，证明：｜AB—CD｜＋｜AD—BC｜≥2｜AC—BD｜． 《中等数学》2000年第4期刊载了李宝毅老师提供的三角证法，其运算量较大．之后，国内出版的多种中等数学书籍也都是引用此证法．其实，该题采用“截长补短法”并不难证，而且有多种证法，本文仅介绍其中比较简洁的2种．     

一道竞赛题的简证及推广

题目:平面上给定五点A、B、C、D、E,其中任何三点不在一直线上.试证:任意地用线段连结某些点(这些线段称为边),若所得到的图形中不出现以这五点中的任何三点为顶点的三角形,则这个图形不可能有7条或更多条边。     

一道竞赛题的推广的简证

题目设实数a,b∈[α,β],求证：b/a＋a/b≤β/α＋α/β,     

一道竞赛题的推广和简证

1995年全国高中数学联合竞赛第二试第四题: 将平面上每个点都以红、蓝两色之一着色,证明:存在这样的两个相似三角形,它们的相似比为1995,并且每一个三角形的三个顶点同色。 这里给出此题的一个推广,并作一简证。     

一道竞赛题的简证及推广

本文给出一道齐次式不等式竞赛题的简便证明，并把该题的幂指数分别在正整数集及实数集上进行推广，得到了两个有用的结论．     

一道竞赛题的简证及推广

第31届西班牙数学奥林匹克第2题是: 证明:如果(x x2 1)(y y2 1)=1,那么x y=0.     

一道竞赛题的推广及简证

文 [1]用函数性质证明了第 31届西班牙数学奥林匹克第 31题 :如果 (x+x2 +1) (y+y2 +1) =1,那么 x+y=0 .该题可作如下的推广 :如果 (x+x2 +m) (y+y2 +m) =m,其中 m∈ (0 ,+∞ ) ,那么 x+y=0 .下面用构造法给出简证 .思路 1——构造对偶式证明 1　由已知 ,m>0 ,(x+x2 +m ) (y+y2 +m) =m,1令 (x- x2 +m) (y- y2 +m) =n,21× 2得 (- m) (- m) =mn,∴ n=m,即有 (x- x2 +m) (y- y2 +m) =m.3由 1得 x+x2 +m=my+y2 +m=- (y- y2 +m) . 4由 3得 x - x2 +m =my- y2 +m=- (y+y2 +m) . 54 +5得 2 x=- 2 y,∴x+y=0 .思路 2——构造等比数列证明 2　 m >0 …     

利用函数性质简证一道竞赛题

第 31届西班牙数学奥林匹克第 2题是 :证明 :如果 ( x+ x2 + 1 ) ( y+ y2 + 1 )=1 ,那么 x+ y=0 .分析　注意到式子 x+ x2 + 1 ,y+y2 + 1的结构完全相同 ,我们引进函数f( x) =x+ x2 + 1 .容易知道函数 f( x)具有以下性质 :1 f( x) f( - x) =1 ;2 f( x)在定义域 R上是增函数 .(对于性质 2 ,只需把 f ( x1 ) - f ( x2 )化为 ( x1 - x2 ) x21 + 1 + x22 + 1 + x1 + x2x21 + 1 + x22 + 1,利用 x21 + 1 + x22 + 1 + x1 + x2 >| x1 | + | x2 |+ x1 + x2 ≥ 0即可证得 .)显然 ,原竞赛题就是证明 :如果 f ( x) f ( y) =1 ,那么 x+ y=0 .现在简证如…