Gerasimov不等式的推广

1971年,Ju.I.Gerasimov给出了下述三角形不等式: 设△ABC内部任一点P至边BC、CA、AB的距离分别为r_1、r_2、r_3,边BC、CA、AB分别为a、b、c.则 (r_2r_3)/(bc) (r_3r_1)/(ca) (r_1r_2)/(ab)≤1/4. (1)等号仅当P为△ABC的外心时成立. 在已知的有关△ABC、△A′B′C′及任意正数x、y、z的不等式 (1 y z)~2≥4(yzsinAsinA′ zxsinBsinB′ xysinCsinC′)(2)     

Guggenheimer-Steining不等式的加强

1966年,H.Guggenheimer ＆ J.Steining建立了涉及三角形内角平分线ω_a,ω_b,ω_c和旁切圆半径r_a,r_b,r_c及半周长s的不等式([1],G.I.8.17):     

Cordon不等式的加强

1967年,V.O.Cordon建立了涉及三角形的高与边长之间的如下不等式: 本文将(1)加强为 命题 在△ABC中,t_a、t_b、t_c为内角平分线长.则有     

Euler不等式的加强

在高中课本中有以下不等式：已知x,y,z∈R^＋,求证：（y＋z）（z＋z）（z＋y）≥8xyg．①本文通过对①式的加强,进而建立起著名欧拉（Euler）不等式：R≥2r（其中R与r分别为△ABC的外接圆与内切圆的半径．下同）的一个优美儿何加强．     

Erdos-Mordell不等式的加强

本文将给出著名的Erd(?)s—Mordell不等式一个加强不等式。 Erd(?)s—Mordell不等式是指: P为△ABC内部或边上一点,P到三边距离为PD、PE、PF,则 PA+PB+PC≥2(PD+PE+PF)。 (1) 关于此不等式,详见上海教育出版社1980年2月出版的《几何不等式》一书。(P.57 例4) Erd(?)s—Mordell不等式的加强式是: P为△ABC内部或边上一点,PD′、PE′、PF′,分别为∠BPC、∠APC、∠BPA的平分线(见图1),则     

Bokov不等式的加强

Bokov不等式 :设ha、hb、hc 分别是△ABC的三边a、b、c上的高 ,r为△ABC的内切圆半径 .则∑ haha- 2r≥9.①其中∑ 表示循环和 .本文将给出式①的两种形式的加强 .命题 1　在△ABC中 ,有∑ haha- 2r≥3pr23.②其中p为△ABC的半周长 ,当且仅当△ABC为正三角形时等号成立 .证明 :令∏ 表示循环积 ,则∏ haha- 2r=∏2pra2pra - 2r=∏ pp -a=p3(p -a) (p-b) (p-c) =p3pr2 =pr2 .由三元均值不等式可得∑ haha- 2r≥3∏ haha- 2r13=3pr23.易见上式当且仅当ha=hb=hc 即a =b=c时等号成立 .由不等式p≥33r和式②可知式①成立 ,故式②强于式① …     

Klamkin不等式的加强

文[1」给出了关于三角形三边的Klam蔽n不等式:旦b b .c\1,.,、,11十一十一‘多石又a十O十c八一十丁十 C“J“O立)(1)的如下一个逆向形式:a万一十bbC c/1,,.、,1丫一又尧石戈a下O下C/、下下—一下 “JU一厂f一“ 1c+a一b+一一1一一 a+b一。(2)1一e 十1一b文[2]把(2)加强为:a .b‘e/2,、、,1了十一十一飞之万欠a十b十c从一十OC“J己一3(3) 本文指出(l)和(3)是等价的,这是因为:由轮换对称性 ,月、二b ea、1,。气1少乍;一十万一十一二多下La十口十C, a口Cj3abe)21(a一b)(b一。)(。一a)}(8) 若a、b、。中至少有两数相等,则(8)显然成立. 否…     

Goldner不等式的加强

Goldner不等式是指:∑a4≥16S2.经过探讨,笔者现给出它的加强式:定理224216(Rr?1)S≤∑a≤16(2Rr2?1)S,其中a,b,c表示△ABC的三边长,P为半周长,S为面积,R为外接圆半径,r为内切圆半径,∑表示循环和.为证明此不等式,先看下面的两个引理:引理1∑a4=2(a2b2+b2c2+c2a2)?16S2.证明由海伦公式得S=p(p?a)(p?b)(p?c)得p(p?a)(p?b)(p?c)=S2.∵p(p?a)(p?b)(p?c)=(a+b+c)(b+c?a)(c+a?b)(a+b?c)/16=[(b+c)+a]?[(b+c)?a]?[a?(b?c)]?[a+(b?c)]/16=[(b+c)2?a2]?[a2?(b?c)2]/16=[2b c+(b2+c2?a2)]?[2bc?(b2+c2?a2)]/16=[4b2c2?(b2+c2?a2)2]/16=(2a2b2+2…     

Milosevic不等式的加强

文[1]收入了由D.M.Milosevic在1987年提出的不等式: 设△ABC的三边长分别为a、b、c,相应边上的高分别为h_a、h_b、h_c,△ABC外接圆和内切圆半径为R、r,∑表示循环和,p为半周长,△为面积。则     

Weitzenberk不等式的加强

Weitzenberk不等式:在△ABC中,设BC＝a,CA＝b,AB＝c,△表示△ABC的面积.则 a2+b2+c2≥43△. (1) 不等式(1)有许多种加强,本文将给出不等式(1)的一种半对称形式加强.     

Petrovic不等式的加强

<正>~~     

Gerretsen不等式的加强

贵刊文［1］将一道课本练习题改造，加强为：设a、b、c为非负实数.则文［2］将（1）式进一步加强为：设a、b、c为非负数，m＝min(a，b，c），则现在可以利用（2）式将三角形中著名的Gerretsen不等式加强为：这里，a、b、c、s、R、r分别表示三角形的三边长，半周长，外接圆半径和内切圆半径，m＝min{1/2（b＋c－a），1/2（c＋a－b），1/2（a＋b－c）｝．证对（2）式作置换a→1/2（b＋c－a)，b→1/2（c＋a－b),c→1/2（a＋b－c）．这里，后者中的a、b、c构成某一三角形三边长．这样，由（2）式经化简整理（具体过程从略）可得依据三角形中恒…     

Bencze不等式的加强

1989年,罗马尼亚的M.Bencze提出了一个有趣的几何不等式:设D、E、F分别位于ΔABC的边BC、CA、AB上,AD、BE、CF的延长线分别交ΔABC的外接圆于P、Q、R,则     

Milosevic不等式的加强

<正>设△ABC的三边长为a、b、c三条边上的高及旁切圆半径分别为h_a、h_b、h_c、r_a、r_b、r_c,外接圆和内切圆半径分别为R、r,半周长为s,面积为△,Σ表示循环求和.文[1]介绍了由Milosevic提出的如下一个不等式     

Child不等式的加强

Child不等式:设P是△ABC内的任一点,记PA=R_1,PB=R_2,PC=R_3,P点到BC、CA、AB的距离分别为h_1、h_2、h_3,则R_1R_2R_3≥8 h_1h_2h_3①     

Gerretsen不等式的加强

本文给出Gerretsen不等式的加强。 在△ABC中,对于满足x y z=1的非零实数x、y、z,有     

Child不等式的加强

在锐角△ABC中,记R、r分别为其外接圆与内切圆半径,s为其半周长。∑表示循环和。 文[1]将文[2]中的Child不等式 sum secB·secC≥12 (1)     

Jensen不等式的加强

:巾o≤m≤2; f i宰3一啪 IC.m.2一‘,34m≤咒. 证明略.Jensen不等式的加强 杨定华(重庆师范学院数学系,630047) 设函数厂(z)为区间Jr上的下凸函数,对任意的XiEI(i=1j2,…,n)’,有 。 土n∑i=i厂(矗)≥厂(丢宴i=14 (1) 这就是著名的Jensen不等式.我们把它加强为 . 。 定理去∑,(z1) ≥丧。墨/(字)l ≥氖綦蜒。厂(学), ≥一…· . ≥麦厂(生学). (2)当且仅当z,一z::…一以时等号成立· 用反复迭代法容易证明定理,如 厂(xT, xs,T-,\Txj x~) 厂(XTh-Jf-X{) ≥3“学)等等. i 当,(z)为区间I上的上凸函数时,不等式(2)的全体不等号反向. 不等…     

Huygens不等式的加强

Huygens不等式： 当0〈x〈π/2时，tanx＋sinx〉2x。本文将这个不等式加强，得到一个新的不等式。