2000年IMO中国国家集训队选拔考试

试 题 一、如图1,在△ABC中,AB=AC.线段。413上有一点D,线段AC延长线上有一点E,使得DE=AC.线段嬲与△AB(:的外接圆交于点T,P是线段。AT’的延长线上的一点.证明:点P满足PD PE=AT的充分必要条件是点P在△ADE的外接圆上.图1 (裘宗沪供题) 二、给定正整数五、m、n,满足1≤＆≤m≤n.试求骞㈠,‘志,卉臀躺的值,并写出推算过程. (许以超供题) 三、对正整数a≥2,记N:为具有以下性质的正整数是的个数:五的a进制表示的各位数字的平方和等于南:证明: (1)M为奇数; (2)对任意给定的正整数M,存在正整数n≥2,使得M≥M. (陈永高供题) 四、设…     

2001年IMO中国国家集训队选拔考试试题

二、对给定的正整数a、b,b>a>1,a不能整除b及给定的正整数数列{b_n}_(n=1)~∞,满     

2003年IMO中国国家集训队选拔考试试题

(2 0 0 3- 0 3- 31　 8:0 0～ 1 2 :30 )　　一、在锐角△ABC中 ,AD是∠A的内角平分线 ,点D在边BC上 ,过点D分别作DE⊥AC、DF⊥AB ,垂足分别为E、F ,连结BE、CF ,它们相交于点H ,△AFH的外接圆交BE于点G .求证 :以线段BG、GE、BF组成的三角形是直角三角形 .(熊　斌　命题 )二、设A { 0 ,1,2 ,… ,2 9} ,满足 :对任何整数k及A中任意数a、b(a、b可以相同 ) ,a +b +30k均不是两个相邻整数之积 .试定出所有元素个数最多的A . (陈永高　命题 )三、设A { (a1,a2 ,… ,an) |ai∈R ,i =1,2 ,… ,n} ,A是有限集 .对任意的α =(a1,a…     

2004年IMO中国国家集训队选拔考试试题

(2 0 0 4 - 0 3- 31　8:0 0 - 1 2 :30 )　　1.设∠XOY =90°,P为∠XOY内的一点,且OP=1,∠XOP =30°,过点P任意作一条直线分别交射线OX、OY于点M、N .求OM ON -MN的最大值.(王建伟　命题)2 .设u为任一给定的正整数.证明:方程n !=ua-ub 至多有有限多组正整数解(n ,a ,b) .(余红兵　命题)3.设n1,n2 ,…,nk 是k (k≥2 )个正整数,且1相似文献   

2004年IMO中国国家集训队选拔考试

1 .设∠XOY =90° ,P为∠XOY内的一点 ,且OP=1,∠XOP =30° ,过点P任意作一条直线分别交射线OX、OY于点M、N .求OM ON -MN的最大值 .2 .设u为任一给定的正整数 .证明 :方程n !=ua-ub 至多有有限多组正整数解 (n ,a ,b) .3.设n1,n2 ,… ,nk 是k(k≥2 )个正整数 ,且1相似文献   

2002年IMO中国国家集训队选拔考试

一、设凸四边形ＡＢＣＤ的两组对边所在的直线分别交于Ｅ、Ｆ两点 ,两对角线的交点为Ｐ ,过Ｐ作ＰＯ⊥ＥＦ于Ｏ .求证 :∠ＢＯＣ =∠ＡＯＤ .图 1解 :如图 1,只需证明ＯＰ既是∠ＡＯＣ的平分线 ,也是∠ＤＯＢ的平分线即可 .不妨设ＡＣ交ＥＦ于Ｑ ,考虑△ＡＥＣ和点Ｆ ,由塞瓦定理可得ＥＢＢＡ·ＡＱＱＣ·ＣＤＤＥ=1.①　　再考虑△ＡＥＣ与截线ＢＰＤ ,由梅涅劳斯定理有ＥＤＤＣ·ＣＰＰＡ·ＡＢＢＥ=1.②　　比较①、②两式可得ＡＰＡＱ=ＰＣＱＣ.③过Ｐ作ＥＦ的平行线分别交ＯＡ、ＯＣ于Ｉ、Ｊ ,则有ＰＩＱＯ=ＡＰＡＱ,ＪＰＱＯ=ＰＣＱＣ…     

2003年IMO中国国家集训队选拔考试

一、在锐角△ABC中 ,AD是∠A的内角平分线 ,点D在边BC上 ,过点D分别作DE⊥AC、DF⊥AB ,垂足分别为E、F ,连结BE、CF ,它们相交于点H ,△AFH的外接圆交BE于点G .求证 :以线段BG、GE、BF组成的三角形是直角三角形 .二、设A {0 ,1,2 ,… ,2 9},满足 :对任何整数k及A中任意数a、b(a、b可以相同 ) ,a +b + 30k均不是两个相邻整数之积 .试定出所有元素个数最多的A .三、设A {(a1,a2 ,… ,an) |ai∈R ,i=1,2 ,… ,n},A是有限集 .对任意的α =(a1,a2 ,… ,an)∈A ,β =(b1,b2 ,… ,bn)∈A ,定义 :γ(α,β) =( |a1 -b1 | ,|a2 -b2…     

2005年IMO中国国家集训队选拔考试

第一天 一、设⊙ O的内接凸四边形ABCD的两条对角线AC、BD的交点为P,过P、B两点的⊙O1与过P、A两点的⊙O2相交于两点P、Q,且⊙O1、⊙O2分别与⊙O相交于另一点E、F.求证:直线PQ、CE、DF共点或者互相平行.     

2007年IMO中国国家集训队选拔考试

第一天一、已知AB是⊙O的弦,M是弧AB的中点,C是⊙O外任一点,过点C作⊙O的切线CS、CT,联结MS、MT分别交AB于点E、F.过点E、F作AB的垂线,分别交OS、OT于点X、Y.再过点C任作⊙O的割线,交⊙O于点P、Q,联结MP交AB于点R,设Z是△PQR的外心.求证:X、Y、Z三点共线.(熊斌供题)二、称满足如下条件的有理数x为“好的”:x=qp>1,其中,p、q是互质的正整数,且存在常数α、N,使得对任意正整数n≥N,都有|{xn}-α|≤2(p1+q),其中,{a}表示a的小数部分.求出所有好的有理数.(李伟固供题)三、在半径为10的圆周C上任给63个点,设以这些点为顶点…     

2010年中国国家集训队选拔考试

1.在锐角△ABC中,AB>AC,M是边BC的中点,P是△AMC内一点,使得∠MAB=∠PAC.设△ABC、△ABP、△ACP的外心分别为O、O1、O2.证明:直线AO平分线段O1O2.     

2011年中国国家集训队选拔考试

1．给定整数n（n≥3）．求最大的实数M,使得对任意正实数列x1,x2,…,xn,都存在其一个排列y1,y2,…,yn,满足     

2013中国国家集训队选拔考试

第一天 1.给定整数,n≥2,对任意互质的正整数 a1,a2,…,an,记 A=a1+a2+…+a口n. 对i=1,2,…,n,设A与ai的最大公约数 为d;ai,a2,…,an中删去ai后余下的n-l个 数的最大公约数为Di.求n(Ⅱ)i=1A-ai/diDi的最小值.     

2008中国国家集训队选拔考试

第一天 一、在△ABC中,AB>AC,它的内切圆切边BC于点E,联结AE交内切圆于点D(不同于点E).     

2014中国国家集训队选拔考试

1.如图1,设锐角△ABC的外心为O,点A在边BC上的射影为HA,AO的延长线与△BOC的外接圆交于点A’,点A’在直线AB、AC上的射影分别是D、E,△DEHA的外心为OA·类似定义点HB、OB及HC、OC·证明：OAHA、OBHB、OCHC三线共点.（张思汇 供题）2.设A1A2…A101是正101边形.将每个顶点染上红、蓝两色之一.记N是满足如下条件的钝角三角形的个数：三角形的三个顶点均为该101边形的顶点,两个锐角顶点的颜色相同,且与钝角顶点的颜色不同.求：（1）N的最大可能值;（2）使得N取得最大值的不同染色方法数（对于两种染色方法,只要有某个Ai上的颜色不同,就认为是不同的染色方法）.（瞿振华 供题）     

2001年中国数学奥林匹克国家集训队选拔考试

解:如图1,约定将凸四边形对角线AC与BD的交点记为G,并记∠EAB=∠ABE=θ,∠FAD=∠ADF=ψ。 因为△AEC可通过绕E点的旋转与△BDE重合,所以∠GAE=∠GBE,有     

一道国家集训队选拔考试试题的简证

20 0 2年 IMO中国国家集训队选拔考试的第一题是 :设凸四边形 ABCD的两组对边所在的直线分别交于 E,F两点 ,两对角线的交点为P,过 P作 PO⊥ EF于 O,求证 :∠ BOC=∠AOD.原参考答案 (见文 [1])运用了多条辅助线 ,证明较为繁琐 ,本文给出以下简证 :图 1证明　为书写方便 ,记∠ BOC,∠COP,∠POA,∠ AOD依次为∠ 1,∠ 2 ,∠ 3,∠ 4 .考虑△ EAD和截线 BCF,由梅涅劳斯定理得 EBBA· AFFD·DCCE=1. 1再考虑△EAC和截线 BPD,由梅涅劳斯定理得ABBE· EDDC· CPAPAFFD· EDCE· CPPA=1.故 1=AFFD·EDCE· CPPA…