莫雷三角形的一个新性质

1904年美国几何学家莫雷首先发现了定理：三角形的各内角三等分，则每两个内角的相邻的三等分线的交点构成一个正三角形．此正三角形后来被人们称作莫雷三角形．数学家奥克莱称赞莫雷定理是“数学中最令人吃惊而又全然意外的定理之一．”对莫雷三角形性质的研究至今经久未衰，不少文献都有所载．最近，笔者得到了莫雷三角形的一个优美的共点线性质，介绍如下，以资共赏．     

一个新构成三角形的性质

文[1]证明了:若a、b、c为△ABC的三边,则√a2 b2、√a2 c2、√b2 c2亦可构成另一△A′B′C′.本文对于新构成△A′B′C′的性质进行了一些探索与研究,得到如下结果.     

三角形的一个性质

88年全国数学竞赛有一题:在匕ABC尸,O,R将周氏三等分,且p,口在AB边求证:命题S△PQRS△ABe>号.”,伸“口下·中上在△ABC中,两点,PQ=。s(n>2P,Q为AB边上 s为周民),R造i一n折线pA cBQ的等分点,则擎,>2,. O△ABC丸-证明如图.￡一一、PQ则Ap十A刀=花卫: 2 77 AP十PQ(AB<喜, 乙AR=故“尸<音一尸Q·豁夕一“尸>玩气一令 ,。=1八“·:.5么:QR=合:。。*D““s‘”‘>合三5 inA22之 .s一n .只互宾共三、i。A)奥 4 72“刀-1,一凡-口‘岛IU“任。乙(其中AB=c,AC=乃),故昼~乡里粤 O么ABU2>平三角形的一个性质@孟庆良$沈阳市31中…     

三角形的一个性质

笔者最近发现，三角形有一个性质，介绍如下，请伺行指正：定理锐角三角形的垂心到三顶点的距离之和等于这个三角形外接圆与内切圆直径之和；钝角三角形垂心到两锐角顶点距离之和减去垂心到钝角顶点距离等于该三角形外接圆与内切圆直径之和．证明设三角形的三边为a、b、c，垂心为H，外接圆与内切圆半径分别为R和r．如图建立直角坐标系，则C（0，0）、A(b，0）、B（αcosCαsinC），无论是锐角还是钝角三角形，直线AH、BH的方程分别为由此得垂心坐标为应用距离公式，余弦定理及正弦定理得：于是，当△ABC为锐角三角形时|HA|注意到当△…     

椭圆焦点三角形内心的一个新性质

笔者最近对椭圆作了一些研究,得到一个新性质,现说明如下,供同行参考.     

三角形中线的一个性质

正[数学问题388]在三角形ABC中,AL,BM是中线.AL和BM的延长线分别交三角形ABC的外接圆于P和Q.试问,如果AP=BQ,那么三角形ABC是否一定是等腰三角形?如果不是的话,请举出一个反例.     

三角形的一个有趣性质

三角形的一个有趣性质兰州石油学校王江云若用Ａ，Ｂ，Ｃ表示凸ＡＢＣ的三个内角，以ａ，ｂ。ｃ分别表示它们的对边（即ＢＣ＝ａ“ＣＡ＝ｂ，ＡＢ＝ｃ）则有以下定期。定理在ＡＢＣ中，若Ａ≥Ｂ，则即ｓｉｎａ＝ｓｉｎｂ＋ｓｉｎＢ，正弦定理，得推论１在ＡＢＣ中，若Ａ＞...     

一个三角形性质的应用

<正> 在△ABC中,A+B<π,则0cos(π-B).∴ cos A+cos B>0. (*)(*)式说明△ABC中任两角的余弦之和均大于零,利用三角形的这一性质解一类三角求值问题,既可以避免繁烦的角的范围讨论,又可以防止增解,达到迅速解题目的.下面举例说明.     

三角形一个性质的推广

本文把三角形内点的一个性质推广到整个平面和空间,建立起点与三角形,四面体之间的关系. 一、三角形内点的一个性质定理1 点P是     

垂足三角形的一个性质

文[1]证明了三角形垂心的一个性质:定理0若△ABC的垂心为H,且D、E、F分别为H在BC、CA、AB边所在直线上的射影,H1、H2、H3分别为△AEF、△BFD、△CDE的垂心,则△DEF≌△H1H2H3.本文将这一关于垂心的性质推广至平面上任一点,证明垂足三角形的一个性质.过△ABC所在平面上任一点P,作边BC、CA、AB边所在直线的垂线,垂足分别为D、E、F,则△DEF叫做△ABC关于点P的垂足三角形.定理1设△ABC关于任一点P的垂足三角形为△DEF,H1、H2、H3分别为△AEF、△BFD、△CDE的垂心,证则明△DEF≌△H1H2H3.如图1,依题设知FH2∥PD…     

三角形的一个极值性质

（数学问题354）在三角形ABC中,P为过顶点A的中线上的一点,边AB2AC,试求两线段BP与CP之比CP-BP的极大值和极小值。     

三角形的一个有趣性质

三角形的一个有趣性质□兰州石油化工学校王江云用ａ,ｂ,ｃ表示△ＡＢＣ的内角Ａ,Ｂ,Ｃ的对边,我们得到：命题在△ＡＢＣ中,Ａ＝ｎＢ（ｎ≥２,且ｎ∈Ｎ）,Ａ的ｎ等分线交对边ＢＣ于Ｄ１,Ｄ２,…,Ｄｎ－１,则（１）∏ｎ－１ｉ＝１１ＢＤｉ＝ａｂｃｎ－１;（２...     

三角形的一个有趣性质

性质 若P是△ABC内部一点,λi∈R^＊（i=1,2,3）,且λ1^→PA＋λ2^→PB＋λ3^→PC=^→0,则S△BPC：S△CPB：S△APB=λ1：λ2：λ3.     

一个三角形性质的应用

性质 从三角形的一个顶点与对边上任意一点的连线上任取一点，与三角形的另外两个顶点连线，将三角形分成四个小三角形，其中相对的两对三角形的面积之积相等．     

三角形的一个有趣性质

定理:在△ABC内三点D、E、F满足∠BAE=∠CAF,∠ABD=∠CBF,且AD、BE、CF三线共点P,则∠ACD=∠BCE.反之,若∠ACD=∠BCE,则AD、BE、CF三线共点     

不等边三角形的一个性质

定理 过不等边三角形各顶点作其外接圆的切线,则各切线与其对边的交点共线。 证明 如图,已知不等边△ABC三切线     

三角形的旁切圆切点三角形的一个性质

定理设ΔABC的内角A，B，C所对的旁切圆与三边所在直线相切的切点构成的三角形的面积依次为ΔA，ΔB，△C，且记BC=a，CA=b，AB=c，p=1/2（a＋b＋c），ΔABC的面积、外接圆、内切圆半径分别为△，R，r，则有     

三角形的一个性质的推广

本对[1]给出的三角形的一个性质进行推广．     

三角形的一个性质的应用

上面性质，揭示了一个内角是另一个内角的2倍的三角形三边之间的一个内在联系，应用它来解决与之有关的几何问题，比一般常采用的，通过引辅助线创造倍角或半角的解决办法还要直接明快，现略举几例加以说明。