第41届IMO试题解答

1.圆Γ_1和圆Γ_2相交于点M和N。设l是圆Γ_1和圆Γ_2的两条公切线中距离M较近的那条公切线。l与圆Γ_1相切于点A,与圆Γ_2相切于点B。设经过点M且与l平行的直线与圆Γ_1还相交于点C,与圆Γ_2还相交于点D。直线CA和DB相交于点E,直线AN和CD相交于点P,直线BN和CD相交于点Q。证明:EP=EQ。 证明:令K为MN和AB的交点。根据圆幂定     

集锦 第41届IMO两赛题的证明与评注

第 41届 IMO试题已刊载在《中等数学》2 0 0 0年第 4期上 ,笔者对其中的第 1,2两题给出证明与评注 ,供参考 .1　圆 Γ1 和圆 Γ2 相交于点 M和 N.设 l是圆Γ1 和圆Γ2 的两条公切线中距离 M较近的那条公切线 .l与圆 Γ1 相切于点 A,与圆Γ2 相切于点 B.设经过点 M且与 l平行的直线与圆 Γ1 还相交于点 C,与圆 Γ2 还相交于点 D.直线 CA和 DB相交于点 E,直线 AN和 CD相交于点 P,直线 BN和 CD相交于点 Q.证明 :EP=EQ.图 1证明　连结MA,MB,ME,延长 NM交 AB于F.∵ l是⊙Γ1 ,⊙Γ2 的公切线 ,又CD∥l,∴∠ EAB =∠ C=∠ MAB…     

IMO40第5题的一种综合证法

第40届IMO第5题:两个圆Γ1和Γ2被包含在圆Γ内,且分别与圆Γ相切于两个不同的点M和N.Γ1经过Γ2的圆心.过Γ1和Γ2的两个交点的直线与Γ相交于A和B.直线MA和MB分别与Γ1相交于点C和D.证明:CD与Γ2相切.     

圆与圆的位置关系及其应用

一、知识要点1．两圆的位置关系：外商，外切，相交，内切，内含．2．相交两圆的性质．3．相切两圆的性质．4两国公切线的定义、性质和作法．5．公切线长的计算方法．6．相切在作图中的应用．二、解题指导例1如图1，两圆内切干点B，大圆的弦AE切小圆于C，延长AE交两圆的公切线于D，连结BE、BA、BC．求证：（1）＜ABC一＿＿HEEC’。＿＿＿＿‘NCBEo（2）千千一千三．（山东，1994年）““——～’“一HAHCZ””—””“””——一分析设＊E、＊A与小圆的交点分别为F、G，连结＊C、CG，则z＊＊G一／A＊C，z＊＊F一上EBC于是…     

一道会考试题的源头及推广

2011年浙江省普通高中数学会考第41题：圆C与Y轴相切于点T（O,2）,与菇轴正半轴相交于两点M,N（点M在N的左侧）,且｜MN｜=3（1）求圆C的方程;（2）过点M任作一条直线与圆O：x^2＋y^2=4相交于两点A,B,连接AN,BN.     

以圆锥曲线的焦点弦为直径的圆与相应准线的位置关系——由新课标苏教版的一道习题引发的反思

习题经过抛物线y2=2px(p>0)的焦点F作一直线与抛物线相交于P1、Q1两点,求证:以线段P1Q1为直径的圆与抛物线的准线相切.证明设P1Q1的中点为M,点P1、Q1、M在抛物线准线上的射影分别为点P2、Q2、N,则P1P2=P1F,Q1Q2=Q1F.因为MN是直角梯形P1Q1Q2P2的中位线,所以MN=1/2(P1P2 Q1Q2)=12(P1F Q1F)=1/2P1Q1,圆心M到准线的距离等于圆的半径,所以此圆与准线相切.结论以抛物线的焦点弦为直径的圆与其准线相切.反思1若以圆锥曲线的焦点弦为直径的圆与相应的准线相切,那么此圆锥曲线是否是抛物线?判断设圆锥曲线的焦点F,过焦点的弦为PQ,…     

例谈“两圆相交和相切”问题的解法

例谈“两圆相交和相切”问题的解法□天水风动工具厂子弟学校徐燕研究两圆位置关系时，最常见的是相交与相切两种关系，“公共弦”与“公切线”在解这两类问题中起着关键的桥梁作用．现举例说明如下．（一）相切两圆的公切线与过切点的弦可得对顶的弦切角．例１如图（１...     

巧用口诀学好《圆和圆的位置关系》

同学们在学习《圆和圆的位置关系》时,记住下面这几句口诀,有助于掌握本单元的定理及用这些定理来证明和计算相关的问题.口诀内容如下:圆集几何之大成,圆圆位置是关键:两圆相切作公切,画连心线过切点;两圆相交连公弦,连心线是中垂线;圆心若在别圆上,首先应把半径连.下面举例说明口诀的实际应用.例1如图1,两圆内切于点P.⊙O1的弦AB切⊙O2于点C,PC的延长线交⊙O1于点D.求证:(1)∠APD=∠BPD;(2)PA·PB=PC2+AC·BC.分析:因为两圆内切于点P,根据口诀(两圆相切作公切),过点P作两圆的公切线.证明:(1)过点P作两圆的公切线MN.因为MN切…     

2010中国数学奥林匹克

1.两圆Γ1、Γ2交于点A、B,过点B的一条直线分别交圆Γ1、Γ2于点C、D,过点B的另一条直线分别交贺Γ1、Γ2于点E、F,直线CF分别交圆Γ1、Γ2于点P、Q.设M、N分别是弧(PB)、(QB)的中点.若CD=EF,求证:C、F、M、N四点共圆.     

基本形帮你“搭桥”(初三)

两圆位置关系中,相切与相交是重点,基本形状有如下三种: 相切问题,过切点作公切线是通法;相交问题,作公共弦是通法.     

对一道高中会考题的引申和探究

题目(2011年浙江省普通高中会考第41题)如图1,圆C与y轴相切于点T(0,2),与x轴正半轴相交于M、N两点(点M在点N的左侧),且|MN|=3.(1)求圆C的方程;(2)过点M任作一条直线与圆O:x~2+y~2=4相交于A、B两点,连结AN、BN.求证:∠ANM=∠BNM.这是一道颇具美感、难易适中的好题.该     

两圆问题的常用辅助线

在处理有关两圆相交、相切等问题时 ,常常要添加适当的辅助线 ,将较为分散的条件和图形相对集中 ,从而使问题能简捷获解 .这时 ,公切线或公共弦是重要的辅助线 ,它可以使弦切角与圆周角、圆内接四边形的内角与外角等得以沟通 .一、当两圆相交时 ,通常需要作出公共弦例 1　如图 1,⊙Ｏ1 和⊙Ｏ2 相交于Ａ、Ｂ两点 ,过Ｂ点作⊙Ｏ1 的切线交⊙Ｏ2 于Ｄ点 ,连结ＤＡ并延长 ,与⊙Ｏ1 相交于Ｃ点 ,连结ＢＣ ,过Ａ点作ＡＥ∥ＢＣ ,与⊙Ｏ2 相交于Ｅ点 ,与ＢＤ相交于Ｆ点 .(1)求证 :ＥＦ·ＢＣ =ＤＥ·ＡＣ .(2 )若ＡＤ =3 ,ＡＣ =1,ＡＦ =3 ,求ＥＦ…     

圆、椭圆、双曲线的切线系方程初探

江西2009年高考16题是这样的： 设直线系M：xcosθ＋（y-2）sinθ=1（0≤θ≤2π），对于下列四个命题： A．存在一个圆与所有直线相交 B．存在一个圆与所有直线不相交 C．存在一个圆与所有直线相切     

公切线的妙用

很多机器上的传动带与主动轮、从动轮之间的位置关系,给我们以一条直线和两个圆同时相切的形象.我们把这抽象成一种简单的数学建模,即和两圆都相切的直线,叫做两圆的公切线.两圆的公切线分两种:(1)外公切线:两个圆在公切线的同旁时,这样的公切线叫做外公切线.如图1.(2)内公     

如何学习两圆的位置关系

一、正确理解定义两圆的位置关系共有五种 ,是由两圆的公共点来定义的 ,即两圆没有公共点———外离或内含 ;两圆有惟一公共点———外切或内切 ;两圆有两个公共点———相交 .二、熟练掌握判定方法两圆的位置关系 ,既可根据两圆半径与圆心距的关系来判定 ,又可根据两圆内、外公切线的总条数来判定 .设两圆半径分别为Ｒ、ｒ(Ｒ >ｒ) ,圆心距为ｄ ,则有( 1 )ｄ >Ｒ +ｒ 两圆外离 两圆有 4条公切线 ;( 2 )ｄ =Ｒ +ｒ 两圆外切 两圆有 3条公切线 ;( 3)Ｒ -ｒ<ｄ <Ｒ +ｒ 两圆相交 两圆有2条公切线 ;( 4 )ｄ =Ｒ -ｒ 两圆内切 两圆仅有 1条…     

数学问题与解答

236.如图1,在半径为1的球中,大圆AMB所在的平面和小圆BNC所在的平面成45°角,AB是大圆直径,BC是小圆直径,M、N分别是AB、BC的中点,且M、N在平面ABC同侧,求AM和BN所成的角。解:把大圆AMB和小圆BNC移到成45°角的二面角α-ι-β内(ι即为两圆的公切线)。设MM′为大圆O的直径,则BM′//AM,∠NBM′为所求角,如图2。     

一道数学奥林匹克试题的推广

文[1]介绍了一组“世界各地数学奥林匹克试题”(文[1]未注明时间及出处)．第5题点M是△ABC的边AC上一点,以BM为直径的圆Γ交AB,AC于点P,Q,圆Γ在P,Q两点处的切线相交于点R．当点M变动时,求点R的轨迹．本文旨在对这道数学奥林匹克试题加以推     

公切线在解两圆问题中的桥梁作用

<正>在解决有关两圆相切的问题时,公切线作为作辅助线,是解决问题的关键.当题目的已知条件中有两圆相切时,过切点作两圆的公切线,构造弦切角,从而架设两圆之间的桥梁,常常会使问题迅速获解.例1如图1,⊙O'与⊙O内切于点A,⊙O的弦BC切⊙O'于点D,AB、AC分别交     

一道课本习题的引申和证明

[题目 ]如图 (1),⊙ O1和⊙ O2外切于点 A, BO是⊙ O1和⊙ O2的公切线, B, C为切点,求证 AB⊥ AC.(初中《几何》第三册 144页例 4) 适当改变题目的条件、结论,通过猜想、归纳,引申为以下几题 . 1改变两圆的位置关系,由外切变为相交 . [题 1]如图 (2),⊙ O1和 O2相交于 A1, A2两点, BC是⊙ O1和⊙ 2的公切线, B, C为切点 .求证∠ BA1C＋∠ BA2C=180° . 证明：连结 A1A2, ∵ BC与⊙ O1相切于点 B, ∴∠ A2BC=∠ BA1A2. 同理,∠ A2CB=∠ CA1A2. ∴∠ A2BC＋∠ A2CB=∠ BA1A2＋∠ CA1A2=∠ BA1C. …     

2000年长沙市中考数学压轴题解析

考题：已知：如图,圆心A(0,-3),⊙A与x轴相切,⊙B的圆心B在x正半轴上,且⊙B与⊙A外切于点P,两圆公切线脚交y轴于点M,交x轴于点N。