例谈函数和方程思想在解题中的应用

函数思想就是用运动和变化的观点 ,去分析和研究数学问题中的数量关系 ,建立函数关系或构造函数关系 ,运用函数的图象和性质去分析问题、转化问题 ,从而使问题获得解决 ;方程思想 ,就是分析数学问题中的变量间的等量关系 ,从而建立方程 ,或构造方程 ,通过解方程 ,使问题获得解决。方程思想与函数思想密切相关 ,其关系可用下图表示 :二元方程f ( x,y) =0 　 函数y =f( x)y =0→ 一元方程 f ( x) =0y >0→或 y <0 一元不等式 f ( x) >0或 f ( x) <0x∈ N→ 数列 { an =f ( n) }一、方程问题化为函数求解例 1　设有对数方程 lg( ax) =2 1 g( …     

函数与方程的思想方法

函数的思想,是运用运动和变化的观点,集合与对应的思想,去分析和研究数学问题中的数量关系,建立函数关系和构造函数,运用函数的图象和性质去分析问题、转化问题,从而使问题得到解决。方程的思想,就是分析数学问题中的变量间的等量关系,从而建立方程或方程组,或着构造方程,通过解方程(或解方程组),或者运用方程的性质去分析、转化问题,使问题得到解决。方程的思想与函数的思想密切相关。对于函数y=f(x),当y=0时,就转化为方程f(x)=0,也可以把函数看作二元方程,函数与方程的这种转化关系十分重要。一、运用函数与方程、不等式的相互转化的观点…     

巧用对称性

中学数学中出现了较多的对称性概念.如巧用对称思想解题,可以提高解题的速度和正确性.下面举几例说明对称思想在中学数学中的应用. 一、在代数中的应用函数f(k)对一切实数x,如果满足f(m x)=f(n-x),则 (1)当m=n时,函数f(x)有一对称轴x=m。 (2)当m≠n 时,函数f(x)有一对称细x=m n/2。例1 函数f(x)对一切实数x满足f(2 x)=f(2-x),若方程J(x)=0恰好有四个不同的实根,求这四个实根的和.     

浅谈函数思想在解数学题中的应用

函数思想是解决这些数学问题的最常用、最有利的工具。目前,有许多专家学者对函数思想进行过研究,并且取得了很多的成果。本文精选一些实例,通过对例题的分析、探讨、梳理、归纳出函数思想在中学数学中的应用。一、函数思想在不等式中的应用函数思想与不等式有着内在的联系,不等式f(x)>0或f(x)<0其实就是当取正值或取负值时,自变量x的范围。不等式的     

函数对称性的应用

函数是中学数学的核心内容,也是整个高中数学的基础.函数的性质是竞赛和高考的重点与热点,函数的对称性是函数的一个基本性质,对称关系不仅广泛存在于数学问题之中,而且利用对称性往往能使问题更简捷地得到解决,对称关系还充分体现了数学之美.本文拟通过函数自身的对称性和不同函数之间的对称性这两个方面来探讨函数与对称有关的性质.1函数自身的对称性结论1函数y=f(x)的图像关于原点O对称的充要条件是f(x) f(?x)=0(即f(x)为奇函数).(证明略)推广函数y=f(x)的图像关于点A(a,b)对称的充要条件是f(x) f(2a?x)=2b.结论2函数y=f(x)的图像关于y…     

函数对称性的探究

<正>函数是中学数学教学的主线,是中学数学的核心内容,也是整个高中数学的基础.函数的性质是竞赛和高考的重点与热点,函数的对称性是函数的一个基本性质,对称关系不仅广泛存在于数学问题中,而且利用对称性往往能更简捷地使问题得到解决,对称关系还充分体现了数学之美.本文拟从函数自身的对称性和不同函数之间的对称性这两个方面探讨函数与对称有关的性质.一、函数自身的对称性探究定理1.函数y=f(x)的图像关于点A(a,b)对称的充要条件是f(x)+f(2a-x)=2b.证明:(必要性)设点P(x,y)是y=f(x)图像上任一点,∵点P(x,y)关于点A(a,b)的对称点P′(2a-x,2b-y)也在y=f(x)图像     

关于中学数学中的最值和极值问题

中学数学中的最值和极值问题,是中学数学的重要内容之一,也是数学教学的难点之一.本文就这一问题,结合自己的教学实践,谈一些肤浅体会.一、关于函数的最值与极值的概念1.最值定义:设函数y=f(x),在[a,b]内有定义,如果有x_0e[a,b],使得对于任一xe[a,b]都有f(x)≤f(x_0)(或f(x)≥f(x_0))成立,则称函数f(x)在点x_0,处有最大(小)值f(x_0).     

函数思想在不等式证明中的应用

正函数是中学数学中最为重要的思想方法,一些不等式的证明常常运用函数思想进行求解.下面通过一些典型问题谈谈其在不等式证明中的应用.一、一元不等式的证明对于一元不等式的证明问题可考虑把问题转化为求函数的最大(小)值问题.1.证明不等式f(x)g(x)成立,可设F(x)=f(x)-g(x),问题转化为证明F(x)min0;证明不等式f(x)g(x)成立,可设F(x)=f(x)-g(x),问题转化为证明F(x)max0.例1当x0时,证明:ln(1+x)x-12x2.分析:不等式ln(1+x)x-12x2可化为ln(1+x)-x+     

构造同形函数证明极值点偏移问题

<正>函数极值点偏移问题是中学数学中常见问题.例如,已知函数f(x)在区间(a,b)内有一个极值点x_0,且存在x_1、x_2(x_1相似文献   

求解三角问题的常用数学思想

数学思想是研究和解决数学问题和有关实际问题的基本指导思想.求解数学问题时,若能正确地运用数学思想,则可提高解题效率.本文举例介绍在求解三角问题时的常用数学思想.一、函数思想例1已知x3+sinx-2a=0,x∈[-π2,π2],4y3+sinycosy+a=0,y∈[-π4,π4],求sin(x+2y)的值.分析:从已知条件所具有的特征出发,可构造一个新的函数f(x)=x3+sinx,利用该函数的单调性,找出x与2y的关系,从而获得解答.解:令函数f(x)=x3+sinx,由x3+sinx-2a=0,得2a=x3+sinx=f(x).又由4y3+sinycosy+a=0,得2a=-8y3-2sinycosy=(-2y)3+sin(-2y)=f(-2y),∴f(x)=f(-2y),∵x,-2y…     

函数单调性的应用

函数的思想方法是中学数学的一个重要思想方法,而其中运用函数的单调性解题是函数思想方法中常用的一种解题方法,单调性也是函数的一个重要性质,在解决解不等式或证明不等式中有着非常重要的作用,本文就谈一谈它的运用。一、在解不等式中的应用若f(x)是区间D上的增函数,由定义有x1相似文献   

函数与方程思想在解题中的运用

函数思想就是把字母看作变量,把代数式看作函数,利用函数的图象和性质、导数等工具去分析问题、转化问题,从而使问题得到解决. 方程思想就是分析数学问题中变量间的数量关系,建立方程或方程组,通过解方程或方程组,或运用方程的性质去分析、转化问题,使问题得到解决.方程思想与函数思想密切相关.对函数y=f(x),当y=0时,就转化为方程f(x)=0;也可以把函数y=f(x)看作二元方程y-f(x)=0.函数与方程的这种相互转化十分重要. 函数与方程思想,几乎渗透到高中数学的各个领域,在解题中应用非常广泛,也是历年高考的热点. 一.把代数式看作函数,利…     

函数与方程中的三个等价关系

<正>函数的思想,就是用运动变化的观点,分析和研究具体问题中的数量关系,建立函数关系,运用函数的知识,使问题得到解决;方程与函数是两个不同概念,但他们之间有着密切的联系.方程f(x)=0的解就是函数y=f(x)的图像与x轴的交点的横坐标,即函数f(x)的零点.若设函数F(x)=f(x)-g(x),则根据函数与方程的关系,可得到三个等价式:     

看清函数中变量的关系

运动是绝对的,静止是相对的;事物之间又是普遍联系的.数学中的函数则具体地体现了运动变化的事物(变量)之间的联系.函数 y=f(x)反映了自变量与因变量(函数)之间的关系 f.如 y=f(x)=2x 中,x 与 y 的关系为y 是 x 的2倍.但在许多具体问题中,变量 x、y之间的关系并不是这么简单明了.如 y=f(x)=sin(2x π/3),x、y 之间的关系较复杂.但把     

函数图象教学散记

数学是研究数和形以及它们之间关系的一门学科,而函数最能体现数与形的关系。对于函数y=f(x)(x∈D),其图象就是坐标平面内的点集{(x,y)|y=f(x),x∈D}。在教学中,一方面我们可以依据函数的一些特征描绘函数的图象;另一方面函数的图象又能直观地显示出函数的变化状况及其特征,它是研究函数性质的重要手段。因而函数图象的教学是“数形结合”这一重要数学思想方法在数学教学中的体现,它既能培养学生分析问题与解决问题的能力,又能培养学生的数学表述能力。     

巧用向量运算 妙解数学题

平面向量是新编高中数学教材新增加的内容之一.由于它融数、形于一体,是中学数学知识的一个交汇点和联系多项内容的媒介,故而成为解决数学问题的重要工具.下面就向量在数学解题中的应用予以举例说明.一、求函数最值函数最值问题是高中数学中一类重要题型,依据具体题型及结构关系,解法灵活多样,是学生学习的一个难点.1.探求一元函数的最值例1求函数f(x)=x2+3x+3+x2-3x+3的最小值.解:由于f(x)=(x+32)2+34+(32-x)2+34,现设向量a→=(x+32,32),b→=(32-x,32),则f(x)=|a→|+|b→|.而|a→|+|b→|≥|a→+b→|=32+(3)2=23,当且仅当a→与b→同向时取等…     

分式线性函数及其所定义的数列

安徽《中学数学教学》1984年第2期数学问题专栏刊出一个由分式线性函数定义的数列问题: 已知函数f(x)=2x/x+2,且x_n=f(x_(n-1)),     

一类抽象函数性质的探讨

<正>函数是中学数学的一个重要概念,函数的思想方法贯穿整个高中数学课程,也是高考中的重点内容.形式化、符号化是数学的重要特征,如所有的函数关系都可以用一个抽象的符号y=f(x)表示.这种表示不仅形式简单,而且可加深对函数概念本质的理解.学生对于函数解析式确定的函数的性质较容易掌握,但是对于仅仅用符号f(x)描述的一类抽象函数的研究却有较大的难度,本文就这类抽象函数的性质作探索.例1:坌x,y∈R,且x≠0,y≠0,均有f(xy)=f(x)+f(y)成立,     

读者·作者与编者——一类复合函数的讨论

最近,收到好几位老师的来稿,就如下一类复合函数问题提出了各自的看法,这些问题是: 1.已知f(cos x)=cos 17x,求证f(sin x)=sin 17x. (选自<中学数学月刊>) 2.若f(sin x)=sin 2x,求f(cos 105°). (选自<数学通讯>) 3.已知f(tan x)=sin x,求f(cot x). (选自<数学通报>)等等.     

一个函数问题的多种解法

函数是中学数学的重要内容,函数的思想方法贯穿中学数学的始终.因此历年的高考试题,都贯穿着函数及其性质这条主线,是高考命题的一大热点.函数与方程密切相关,方程f(x)=0,就是函数y=f(x)的零点.方程f(x)=g(x)的解就是函数y=f(x)与y=g(x)的交点.问题 (2009年南京高考模拟题)