一道导数压轴题的再探究

<正>试题呈现已知函数f(x)=e^x[x²-(a+2)x+a+3].(1)讨论f(x)的单调性;(2)若f(x)在(0,2)有两个极值点x₁,x₂,求证：f(x₁)f(x₂)<4e².本题是泉州市2023届高中毕业班质量监测一第22题．试题题干简洁、朴实无华,问题(2)给人的第一感觉是极值点偏移问题,但深入思考之后发现其与极值点偏移问题并无关联．     

一道双零点导数压轴题的解法分析与拓展

<正>试题呈现 已知函数f(x)=e^x-1-a(x-1).(1)讨论f(x)的零点个数;(2)若f(x)有两个不同的零点x₁,x₂,证明：x₁+x₂>4.上述试题是广东省清远市2022年高三期末教学质检第22题,试题在素材的选取以及问题的铺设方面均与2016年全国卷Ⅰ理科数学第21题：已知函数f(x)=(x-2)e^x+a(x-1)²有两个零点.(1)求a的取值范围;(2)设x₁,x₂是f(x)的两个零点,证明：x₁+x₂<2.     

2022年全国甲卷导数压轴题的解法探究

<正>一、试题再现已知函数f(x)=e^x/x-ln x+x-a.(1)若f(x)≥0，求a的取值范围;(2)证明:若f(x)有两个零点x₁,x₂，则x₁x₂<1．本题是2022年全国甲卷导数压轴题．第(1)问已知不等式求参数的取值范围，难度中等;第(2)问考查导数的应用，属于极值点偏移问题，难度偏难．     

巧解一类复合最值题

若x₁,x₂,…,x_n（n∈N*）为正实数,则max{x₁,x₂,…,x_n}≥（x₁+x₂+…+x_n）/n≥（x_·x₂·…·x_n）^1/2≥min{x₁,x₂,…,x_n},当且仅当x₁=x₂=…=x_n时等号成立.这是一个浅显的结论,用它来解一些复合最值     

谈谈函数零点问题的求解

<正>函数的零点与函数的极值点是导数在函数中的基本应用,由于它既具有数形结合的背景又具有函数抽象性的特点,因此,是各级各类命题的热点,也是考生普遍感到困难的难点,本文通过几例常见试题的求解,给出此类问题的求解策略,供参考.1涉及零点之和问题此类题如:求证:x₁+x₂> a或x₁+x₂ 1+x₂相似文献   

精雕细镂 豁然开朗

<正>冀教版九年级上册在第23章“数据分析”的第2节“中位数与众数”中安排了如下一道习题:平均数和中位数反映的都是数据的“集中程度”,设数据x₁,x₂,…,x₅的平均数为x,中位数为m.(1)以数据2,3,5,8,12为例,分别计算A₁,A₂,B₁,B₂.     

一类不定方程整数解问题的求解策略

<正>1．基本问题的求解模型 问题n元一次不定方程x₁+x₂+…+x_n=m(m≥n≥2)的正整数解(x₁,x₂,…,x_n)的组数是多少？该问题可以用“隔板法”来解决,即构造模型：将m个相同的小球排成一排,产生m-1个空隙,用n-1个隔板插在某n-1个空隙中,将这m个小球分成n份,第i份的个数即xi的值,这样就得到一组     

例谈双变量不等式证明的转化策略

<正>在一些高考压轴题中，常出现证明关于含有双变量x₁,x₂的不等式，需要学生有很强的思考能力和高超的数学素养．常用的解题方法是先转化，即由已知条件入手，寻找x₁,x₂所满足的关系式，并把含x₁,x₂的不等式转化为含单元的不等式;再通过构造函数，借用导数求其最值;最后把所求的最值应用到关于x₁,x₂的不等式，即可证得结果．本文从几个典型例题的分析求解出发，揭示解题中变形转化的核心所在，希望能对读者朋友有所帮助．     

形式多变的“权”

若在一组数据中,x₁出现f₁次,x₂出现f₂次,…,x_k出现f_k次,那么（x₁f₁+x₂f₂+…+x_kf_k）/（f₁+f₂+…+f_k）叫做x₁、x₂、…、x_k的加权平均数.记作x=（x₁f₁+x₂f₂+…+x_kf_k）/（f₁+f₂+…+f_k）.其中,f₁、f₂、…、f_k分别是x₁、x₂、…、x_k的权.加权平均数的求法关键是要找准两点:①计算所有数的总和;②数据的个数.二者的商就是平均数.要注意避免用各类数据的和除以数据的类数来求平均数的错误.数据的"权"能够反映数据的相对"重要程度".在具     

椭圆曲线中“非对称”韦达定理的处理技巧

<正>在以下解答题第(2)问证明椭圆曲线中某一个量为定值时,同学们比较熟悉的解决策略是:联立直线与椭圆曲线的方程,消元得到ax~2+bx+c=0(或ay~2+by+c=0),再运用韦达定理进行“整体代换”,就能够把该量化简为由x₁,x₂(或y₁,y₂)组成的一切对称式,如:x₁+x₂,x₁x₂,x₁~2+x₂~2,|x₁-x₂|,1/x₁+1/x₂等,代换后表达式中不再出现x₁,x₂(或y₁,y₂)的其他形式,则利用韦达定理可求得该量的值.     

从一道联考题出发谈极值点偏移问题的解法

<正>试题呈现(2022年湖北省高三二月联考第22题)已知f(x)=x²-2alnx,(1)讨论y=f(x)的单调性;(2)若y=f(x)有两个零点x1,x2(x10是y=f(x)的极值点,求证:x₁+3x₂>4x₀．一、解法探究解:(1)因为f(x)的定义域是(0,+∞),则f’(x)=■．当a≤0时,f’(x)> 0恒成立,即y=f(x)在(0,+∞)单调递增,当a> 0时,     

变化中寻不变 探究中求推广

2011年北京大学自主招生考试试题中有这样一道题:题目已知（x₁,y₁）、（x₂,y₂）、（x₃,y₃）是圆x²+y²=1上的三点,且满足x₁+x₂+x₃=0,y₁+y₂+y₃=0.证明:x₁²+x₂²+x₃²=y₁²+y₂²+y₃²=3/2.文[1]通过转化思想将本题转化为三角等     

对第二个猜想不等式的再推广

文[1]末提出三个猜想不等式,其中第二个为:若a,b,c为满足a+b+c=1的正数,则a/（b+c）+文[2]通过"构造函数,化曲为直"的方法,对①式给予了证明之后,将它推广为:若x₁,x₂,…,x_n是满足x₁+x₂+…+x_n=1的正数,则文[3]通过"构造函数,判断函数在区间上的凹凸性,再利用琴生不等式"的方法,先对①式给予了证明,然后把它推广到一般情形:若x₁,x₂,…,x_n是满足x₁+x₂+…+x_n=A的正     

导数背景下双零点不等式问题的解法探究

<正>活动2 见测试2.导数背景下的双零点不等式证明问题,主要是题设中给出某函数(通常包含指数对数)的两个零点x₁,x₂,要考生证明关于这两个零点的相关性质,如关于x₁x₂,x₁+x₂,x₁-x₂,■的不等式证明^[1].一、极值点偏移问题有关函数两个零点的和与积的问题,即极值点偏移问题,常作为压轴题出现,题型复杂多变．解题时需要理解此类问题的实质,巧妙运用消元、消参、构造函数等手段,利用函数的性质解决问题．     

双变量值域中的存在性问题优解

<正>含有任意和存在的双变量问题是数学中常见的两类题型,常见解法是考虑两者之间的最值和值域关系来解题.题型1:?x₁∈D₁,?x₂∈D₂,f(x₁)=g(x₂)?f(x₁)值域是g(x₂)值域的子集.题型2:?x₁∈D₁,?x₂∈D₂,f(x₁)=g(x₂)?f(x₁)值域与g(x₂)值域的子集交集非空.若遇到双变量不是前两种情况的题怎样处理呢?题1 设函数已知函数f(x)=ax+sinx+cosx(a∈R),     

巧思妙解话函数

巧用特殊值巧用特殊值是指在题目条件下取一些特殊的值进行简单计算,以确定问题的解的一种解题技巧.适用范围遇到含有数的取值范围选择题时,运用特殊值可使解题快捷.试题1在函数y=k/x（k>0）的图象上有三点A₁（x₁,y₁）,A₂（x₂,y₂）,A₃（x₃,y₃）,已知x₁2<03,则下列各式中正确的是（）A.y₁23 B.y₃21C.y₂13 D.y₃12技巧关键可通过取特殊值转化为简单的计算进行比较,但需要注意的     

由一道文科高考压轴题引出三次函数的一个性质

2010年高考湖北卷文科压轴题第21题:设函数f（x）=1/3x³-a/2x²+bx+c,其中a>0.曲线y=f（x）在点P（0,f0）)处的切线方程为y=1.（1）确定b,c的值;（2）设曲线y=f（x）在点（x₁,f（x₁））及（x₂,f（x₂））处的切线都过点（0,2）.证明:当x₁≠x₂时,f’（x₁）≠f’（x₂）;（3）略.本题第（2）问命题组提供的答案是:     

2014年高考数学必做解答题——导数及其应用

第1点导数与函数（）必做1已知函数f（x）=eax·（a/x+a+a）,其中a≥-1.（1）求f（x）的单调递减区间;（2）若存在x₁>0,x₂<0,使得f（x₁）2）,求a的取值范围.牛刀小试破解思路第（1）问求出导数后,分a=-1,-10求出单调递减区间.第（2）问注意理解条件是存在x₁>0,x₂<0,使得f（x₁）2）,可以直接论证或者构造反例求解.     

析真题 引教学 育素养——以2023年全国甲卷理科第12题为例

<正>1.真题呈现(2023·全国甲卷·理12)已知椭圆■1,F₁、F₂为两个焦点,O为原点,P为椭圆上一点,cos∠F₁PF₂=3/5,则|OP|=()■2.解法探究根据题意知a=3,b=■,c=■,焦点在x轴,设PF₁=r₁,PF₂=r₂,P(x₁,y₁),不妨设x₁>0,y₁>0,则r₁+r₂=6.     

巧用方差公式解题

<正>方差公式是初中“数据的分析”一章中的重要公式,除了用于判断数据的波动程度的大小外,对于其他的一些数学问题,若能充分利用方差公式特点,巧妙应用或构造“方差”模型来求解,我们就会取得意想不到的解题之效.方差公式 设n个数据x₁,x₂,…,x_n,■表示它们的平均数,则x₁,x₂,…,x_n的方差■显然S²≥0,当且仅当■时取等号.