关于费马点的两个不等式的加强

设F为△ABC内的费马点,f_a=FA,f_b=FB,f_c=FC,△为△ABC的面积。     

关于费尔马和的一个不等式

文 [1 ]中用微积分方法证明了不等式 :(x +y +z)·1y2 +yz+z2 +1z2 +zx +x2 +1x2 +xy +y2>4 + 23,①其中x、y、z为任意正实数 .我们指出 ,由此不等式可导出一个关于三角形的费尔马和的不等式 :设△ABC的三边长分别为a、b、c ,其费尔马点在形内 (即所有内角都小于 1 2 0°) ,且到顶点A、B、C的距离分别为x、y、z,则(x+y +z) 1a+ 1b+ 1c >4 + 23.②事实上 ,当△ABC的费尔马点在形内 ,即所有内角都小于 1 2 0°时 ,有a =y2 +yz+z2 ,b =z2 +zx +x2 ,c =x2 +xy +y2 .此时式①直接化为式② .关于费尔马和的一个不等式@方廷刚$四川省成都市第七…     

有关费尔马点的一个不等式的加强

设P是△ABC内的费尔马点,记PA=u,PB=v,PC=w,△ABC的三边为a、b、c.则 u v w≤(ab bc ac)~(1/2). (1) 不等式(1)改进了四川周洪的结果(见《中等数学》1993年第1期)。     

高分子溶液sol—gel相转移Power—Law公式的修正

本文在大量实验基础上对长期以来使用的高分子溶液sol—gel相转移的Power—law公式η_r∝(f_c—f)~(-k)作了进一步的探讨。在式中引入有关体系性质的参量和实验的边界条件后,可将公式变为η_r∝[1—(f/f_c)α]~(-k)。而修正后的公式更加接近实验事实。参数α反映了溶液中溶质、溶剂以及添加的金属阳离子间的相互作用情况,从而得到的结果也更加可靠。     

一道IMO预选题的简证

第34届IMO预选题中有以色列提供的一道试题,在△ABC的三条边BC,CA,AB上分别取点D,E,F,使△DEF为等边三角形,a,b,c分别表示△ABC的三边长,而S表示它的面积,求证: DE≥22~(1/2)S·(a~2 b~2 c~2 4~3(1/2)S)~(-(1/2)) (1) (参见《中等数学》1996年第1期第29页) 本文给出一种较为简单的证明 证 如图△DEF是正三角形,令其边长为d,又设。 卢=A 60°=(p,则2S=d·(csina十bsin卢)=d[csma bsin(甲-o)] =d[(c-bcos~)sina bsinqocosa] =d(c-bcos~)~2 b~2sin2伊(1/2)·sin(O ")≤d(c-bcos(p)~2 b~2sin2甲(1/2)· 又(c-bcosqo)~2 b~2sin~2甲=c~2 b~2-2bccos(p=b~2 C~2-2bccos(A 60°) =b~2 c~2-bccosA 3~(1/2)bcsinA =(1/2)(b~2 c~2 a~2) 23~(1/2)S. ∴由(2)得d≥22~(1/2)S[a~2 b~2 c~2 43~(1/2)S]~-(1/2),即不等式(1)成立.     

合成数列的又一通项公式

文[1]给出了合成数列{x_n}a_1,b_1,a_2,b_2,a_3,b_3,…的通项公式x_n=1/2[f(n 1/2) g(n/2)] (-1)~(n 1) 1/2[f(n 1/2)-g(n/2)]. 本文用三角函数给出合成数列{x_n}的又一通项公式,并举例说明这个公式的应用。定理如果数列{a_n}和{b_n}的通项分别为a_n=f(n),b_n=g(n),那么,数列{a_n}与{b_n}的合成数列{x_n}的通项公式为     

一类三元四次轮换对称不等式的简化证法

在文[1]、[2]中,笔者探讨了三元三次轮换对称不等式和三元四次对称不等式的简化证法,得到如下两个结论: 命题1[1] 三元三次轮换对称不等式 32111212330(,,)Fxyzkkkkxyssss S 01((1,1,1)0)F=, (1) (式中1,xyzs= 2,xyyzzxs= 3s= xyz)对任意,,xyzR 成立的充要条件是 1(,     

关于费尔马点的又一不等式

设F是△ABC内的费尔马点,延长AF、BF、CF分别交对边于A'、B'、C'.记AA'=x,BB'=y,CC'=z.文[1]、[2]分别给出如下结果:1/x+1/y+1/z≥3/4r+1/2R.(1)     

一类无理不等式的换元解法

形如f(x) g(x)的无理不等式 ,是高考中常出现的一类不等式题型 .这类不等式的常规解法是利用不等式的性质 ,设法转化为 1个或 2个有理不等式来求解 ,这种方法常称为公式法 :(1 )f(x) 0 ,f(x) <[g(x) ]2 .(2 )f(x) >g(x) g(x)≥ 0 ,f(x)     

关于Hadamard不等式的条件

一、引言设函数 y=f(x)在闭区间[a,6]上连续,则有 Hadamard 不等式.1°当 y=f(x)在[a,b]上下凹时有(b-a)f(a) f(b)/2≤∫_a~bf(x)px≤(b-a)f(a b/2);(1)2°当 y=f(x)在[a,b]上上凹时,有(b-a)f(a b/2)≤∫_a~bf(x)dx≤(b-a)f(a) f(b)/2 (2)式中等号当且仅当 y=cx d(c、d 均为常数)时成立.在现有的一些材料[1]、[2]]上,都假定了 f(x)的二次可微条件,其实,二次可微条件是多余的,就连一次可微条件也是不必要的.Vasic′,P.M.和 Lacko ic′,I。B在假定 y=f(x)二次可徽的条件下,推广了上述结果:     

一组等价不等式的应用

我们经常遇到解下面形式的不等式:(1)a≤f(x)≤b;(2)f(x)≤a或f(x)≥b,通常是分两步求解,最后取交集或并集,这种解法速度较慢,有时计算量较大.刘成文老师曾在文[1]中给出这类不等式的一种定比分点公式的证法,构思巧妙,方法新颖.考虑到便于学生接受和推广,这里再介绍一种解法.     

逆向非严格不等式的一个性质

不等式a≥b称为非严格不等式。它具有如下性质(*): “若a≥b,且a≤b,则必有a=b。”在解证题过程中,我们常运用此一性质。如: [例1]:判断函数f(x)=x-4~(1/2)+4-x~(1/2)的奇偶性。(苏州市八七年高考预考试题) 解:由函     

一式破解五题(高一、高二、高三)

设A1x1+A2x2+…+Anxn=S(Ai不全为零,i=1,2,…,n),则成立不等式:x_1~2+x_2~2+…+x_n~2≥S2/A_1~2+A_2~2+…+A_n~2当且仅当x1/A1=x2/A2=…=xn/An时等号成立. 证明记A_1~2+A_2~2+…+A_n~2=M,由基本不等式xi~2+(Ai~2)S2/M2≥2|S|/M|Aixi|≥Aixi 2S/M,从而 xi~2≥Aixi 2S/M-A_i~2 S2/M2(i=1,2,…,n),将以上n个同向不等式相加.得     

从v—u图象求解物象运动问题

在透镜成象中,设物、象沿主轴移动的速度分别为V_物=du/dt,V_象=dv/dt,并将高斯公式:1/u+1/v=1/f对时间求导数,则 (-du/dt)/u~2+(-dv/dt)/v~2=0,即V_象/V_物=-(v/u)~2。那么,怎样引导学生不用求导而通过v—u图象的物理意义得出相同结果呢?下面以凸透镜为例,从速度的方向、大小和参照物分叙如下。 1 由高斯公式,v—u图象是关于点(f,f)对称的双曲线,v=f,u=f分别是它的水平渐近线和垂直渐近线。在曲线上任取P_1(u_1,v_1),P_2(u_2,v_2)两点,过P_1P_2的直线斜率为:     

四边形面积公式的三角证法

设四边形ABCD四边的长为AB=a,BC=b,CD=c,DA=d,两对角线的长为AC=e,BD=f,面积为S,则 S=1/4 (4e~2f~2-(a~2-b~2+c~2-d~2)~2)~(1/2)。这就是贝利契纳德公式。梁绍鸿先生所著《初等等数学复习及研究(平面几何)》一     

一个广义Holder型不等式

设f(x)∈L^p[a，b]，g(x)∈L^q[a,b],1≤p,q< ∞，α>0,β>0,1/p 1/q=1,本得到了一个Holder型不等式：∫a^bf(x)g(x)dx≤||f||p(α，β）^*||g||q（α^-1,β^-1)特别地，当f(x)g(x)≥0，α=β=1时，上述不等式便为经典的Holder型不等式。     

周期函数的三个定理及应用

文阐述了周期函数的两个定理及其应用,读后很有启发,但就该文讨论的函数结构关系式来说却不够全面、深刻.本文根据文[1]的思考方法,从直线、点、直线与点三个方面对周期函数的性质进行了探讨,得出以下三个定理,作为文[1]的补充说明. 对于函数y=f(x),x∈R,有定理一如果函数f(x)的图象关于直线x=2/1(m+n)和x=1/2(a+b)(m+n相似文献   

无理函数槡槡y=a(x-b)~(1/2)+c(d-x)~(1/2)最值的其他求法

正文[1]给出了无理函数槡槡y=a(x-b)~(1/2)+c(d-x)~(1/2)(a0,c0,bd)最值的三种求法(拉格朗日乘数法、三角置换法、构造平面向量法),本文在此基础上再给出几种求法.1.导数法记函数y=f(x)槡槡=a(x-b)~(1/2)+c(d-x)~(1/2)(a0,c0,bd),其定义域为区间[b,d].     

数学奥林匹克问题

本期问题 初57 S=[1 1/1~2 1/2~2]~(1/2) [1 1/2~2 1/3~2]~(1/2) … [1 1/1996~2 1/1997~2]~(1/2).试求与S最接近的整数。(陈宽宏 湖南省岳阳县熊市中学,414113) 初58 已知α、β、γ为△ABC的三内角,     

关于费尔马点的一个不等式

设P是△ABC内部满足∠BPC=∠CPA=∠APC=120°的一点,则称点P是△ABC的费尔马点。 定理 设P是△ABC的费尔马点,点P至边BC、CA、AB的距离分别为r_1、r_2、r_3,△ABC的内切圆半径为r.则有 r_n r_2 r_3≤3r.(1) 证明:记BC=a,CA=b,AB=c,PA=R_1,PB=R_2,PC=R_3,则有 a~2=R_2~2 R_3~2 R_2R_3, (2) b~2=R_3~2 R_1~2 R_3R_1. (3) 不妨设a≥b≥c.则可证