一道竞赛题的探究

正题目设a,b,c∈R~+,ab+bc+ca≥3,证明a~5+b~5+c~5+a~3(b~2+c~2)+b~3(c~2+a~2)+c~3(a~2+b~2)≥9.这是2013年浙江省高中数学竞赛试题附加题第21题,本文从一题多解、一题多变角度对这道竞赛题进行研究,希望对读者有所帮助.     

一个简单不等式的应用

我们知道,对于任意两个正实数a、b恒有不等式:a~(a-b)≥b~(a-b)(※)成立。本文利用这一不等式给出几个难度较大的不等式的简洁证明。例1 已知a、b、c∈R~+,求证: a~(2a)b~(2b)c~(2c)≥a~(b+c)·b~(a+c)·c~(a+b)(1978年上海市中学数学竞赛试题) 证明由(※)得 a~(a-b)≥b~(a-b),b~(b-a)≥c~(b-c),c~(c-a)≥a~(c-a)。以上不等式两边分别相乘得 a~(a-b)·b~(b-c)·c~(c-a)≥b~(a-b)·c~(b-c)·a~(c-a)。整理得:a~(2a)·b~(2b)·c~(2c)≥a~(b+c)·b~(a+c)·c~(a+b) 例2 设a、b、c∈R~+.求证: a~ab~bc~c≥(abc)(a+b+c)/3(1974年美国第三届奥林匹克竞赛试题)。证明由例1知     

两道不等式竞赛试题的多种解法

2013年浙江省以及2012年甘肃省数学竞赛的不等式证明虽然不难,但因其证明过程中涉及的代数式变形以及方法的灵活性和多样性,对同学们的学习有极大的帮助,故提供几种解法,以飨读者.题目1(2013年浙江省高中数学竞赛试题)设a,b,c∈R~+,ab+bc+ca≥3,证明:a~5+b~5+c~5+a~3(b~2+c~2)+b~3(c~2+a~2)+c~3(a~2+b~2)≥9.     

一石激起千层浪：一道课本复习题的引伸及应用

高中课本《代数》下册(必修)P_(32)复习参考题五第5题“已知 abc∈R~ ,且两两不等,求证2(a~3 b~3 c~3)>a~2(b c) b~2(a c) c~2(a b).”本文将此不等式作完善引伸,进而由此推证出一些著名不等式及竞赛不等式.     

“至少”还是“至多”

某种课本上有这样一道例题:“已知a,b,c是不全相等的正数,求证a(b~2+c~2)+b(c~2+a~2)+c(a~2+b~2＞6abc.”其证明过程是:“∵b~2+c~2≥2bC,a＞0,∴a(b~2+C~2)≥2abc (1)同理,b(c~2+a~2)≥2abc (2)c(a~2+b~2)≥2abc(3)因为a、b、c不全相等,所     

一组猜想不等式的统一证明

宋庆老师在文[1]末提出4个猜想.其中猜想4为:已知a,b,c是正数,求证a~2/(a~2+(b+c)~2)+b~2/b~2+(c+a)~2+c~2/c~2+(a+b)~2≥3/5(1);(a~3)/(a~3+(b+c)~3)+(b~3)/(b~3+(c+a)~3)+(c~3)/(c~3+(a+b)~3)≥1/3(2);(a~4)/(a~4+(b+c)~4)+(b~4)/(b~4+(c+a)~4)+(c~4)/(c~4+(a+b)~4)≥3/(17)(3).     

一道IMO备选题的雏形及推广

第31届IMO备选题中,有一道不等式证明的试题,我们把它表述为:命题2 设a、b、c、d为非负实数,且满足 ab bc cd da=1,则a~3/(b c d) b~3/(a c d) c~3/(a b d) d~3/(a b c)≥1/3综合条件与结论,就是:命题2 对于a、b、c、d∈R~ ,有a~3/(b c d) b~3/(a c c) c~3/(a b c) d~3(a b c)≥1/3(ab bc cd a).仔细研究,不难发现,命题2的雏形是常见的     

关于a+b+c=0的一组优美结论

a+b+c=0(a,b,c∈R),有许多简捷、优美的结论,且有着广泛的用途.结论1 若 a+b+c=0,则 b~2≥4ac 或a~2≥4bc 或c~2≥4ab.证明:因为 a+b+c=0,所以 b=-(a+c),b~2=(a+c)~2=a~2+c~2+2ac≥2ac+2ac=4ac,即 b~2≥4ac.同理可得,a~2≥4bc,c~2≥4ab.结论2 若 a+b+c=0,则 a~3+b~3+c~3=3abc.证明:因为 a+b+c=0,所以 a+b=-c,(a+b)~3=-c~3,即 a~3+3a~2b+3ab~2+b~3+c~3=0,也即 a~3+3ab·(a+b)+b~3+c~3=0,又 a+b=-c,所以 a~3+b~3+c~3     

IMO-36第二试题的推广

第36届IMO第2题,可推广得如下四个命题: 命题1 设a、b、c∈R~ ,且abc=1,则1/a~3(b c) 1/b~3(c a) 1/c~3(a b)≥1/2(bc ca ab)(1),当且仅当a=b=c=1时等式成立。 证 易知(2)等价于b~2c~2/a(b c) c~2a~2/b(c a) a~2b~2/c(a b)≥1/2(bc ca ab)(2)。由平均值不等式可得: b~2c~2 (1/4)a~2(b c)~2≥abc(b C), ∴b~2c~2≥abc(b c)-(1/4)a~2(b c)~2,     

一类不等式的联想、证明及推广

解题离不开联想。当思维受阻时,必须另辟蹊径,还需联想。解题结束,看看有无解题的最佳策略?命题可否推广?怎样编造新题?更需联想。请看下题: 已知a、b、c、d∈R~+,且 a~2/1+a~2+b~2/1+b~2+c~2/1+c~2+d~2/1+d~2=1。求证:abcd≤1/9。这是一道有一定难度的不等式证明题。怎样证明呢? 第一次联想,自然会想到从条件出发,运用     

一道不等式证明题的修正

六年制重点中学高中数学课本《代数》第二册第86页练习第3题:“已知 a、6∈R~+,且 a≠b,求证:a~4+b~4>a~8b+ab~3”.其中题设条件“a、b∈R~+”是多余的,可以省略掉.题目应改为:“已知:a≠b,求证:a~4+b~4>a~3b+ab~3”.证明如下:     

一个公式的巧用

公式(a+b+c)(a~2+b~2+c~2-ab-bc-ca)=a~3+b~3+c~3-3abc(以下记为公式)有不少应用。而公式本身的证明并不困难,运用整式乘法或因式分解就可予以证明,这是初中一年级学生就能接受的。如果在初中代数教学中,讲解整式乘法时就把它提出来,到因式分解时再次熟悉,后继内容的教学中不断应用,这对学生掌握知识,发展智能会有裨益的。一、公式的征明: 证一:将左边按a的降幂排列左边=[a+(b+c)][a~2-(b+c)a+(b~2+c~2-bc)] =a~3-(b+c)a~2+(b~2+c~2-bc)a+(b+a)a~2-(b+c)~2a+(b+c)(b~2-a~2-bc) =a~3+(b~2+c~2-bc-b~2-2bc-c~2)a+b~2+c~3 =a~3+b~3+c~2-3abc。证二、用因式分解右边=(a+b)~3-3ab(a+b)+c~3-3abc =(a+b)~3+c~3-3ab(a+b+c) =(a+b+c)~3-3c(a+b)(a+b+c)     

《数学通报》问题1570与一个和式不等式

《数学通报》2005年8月号数学问题的1570给出如下不等式链:设 a,b,c∈R~ ,求证:a~5/b~3 b~5/c~3 c~5/a~3≥a~/b~2 b~4/c~2 c~4/a~2≥a~3/b b~3/c c~3/a≥a~2 b~2 c~2.(1)(注:这里我们略去了原问题中的最后一个常见的不等式.)本文通过对这个问题不同证法的探究,得到一个和式不等式,并利用这个和式不等式对问题1570进行再证和拓广.     

“互叠法”证不等式的两个定理

定理1 欲证 P≥Q,只需证 P Q≥2Q.例1 (《数学通报》数学问题解答1602)已知 a,b,c∈R_ ,求证:((a b)/(a c))a~2 ((b c)/(b a))b~2 ((c a)/(c b))c~2≥a~2 b~2 c~2 .证明:不等式可化为P=a~3b~2 b~3c~2 c~3a~2≥a~2b~2c ab~2c~2 a~2bc~2≥Q.P Q=(a~3b~2 ab~2c~2) (b~3c~2 a~2bc~2) (c~3a~2     

第51届IMO预选题(一)

代数部分1.本届IMO第1题.2.已知实数a、b、c、d满足a+b+c+d=6.a~2+b~2+c~2+d~2=12.证明:36≤4(a~3+b~3+c~3+d~3)-(a~4+b~4+c~4+d~4)≤48.3.已知x_1,x_2,…,x_(100)是非负实数,且对于     

一个猜想的证明及拓广

在《由基本不等式“a~2+b~2≥2ab”想到的》(见本刊1989年第4期)一文中给出了以下猜想(即原文的命题19): 命题1 设a,b,c为正数,则 (1) a~5+b~+c~5≥a~8bc+ab~8c+abc~8; (2) a~n+b~n+c~n≥a~pb~qc~r+a~qb~rc~p+a~rb~pc~q。其中n∈N,p,q,r为非负整数,且p+q+r=n。我们首先证明这一猜想是成立的。证明 (1)用两种方法证。证法1 由(a~3-b~3)(a~2-b~2)≥0得 a~5+b~5≥a~3b~2+a~2b~3同理 b~5+c~5≥b~3c~2+b~2c~3, c~5+a~5≥c~3a~2+c~2a~3。以上三个不等式相加,并注意到b~2+c~2≥2bc,c~2+a~2≥2ca,a~2+b~2≥2ab,有 2(a~5+b~5+c~5)≥a~3(b~2+c~2)+b~3(c~2+a~2)+c~3(a~2+b~2)≥2a~3bc+2b~3ca+2c~3ab,     

循环对称不等式的解题思路

诸如下面题目:(均选自六年制重点中学高中代数第二册) 1.定理:如果a、b∈R,那末a~2 b~2≥2ab.(当且仅当a=b时取等号) 2.已知a、b、c是不全相等的正实数。求证:a(b~2 c~2) b(c~2 a~2) c(a~2 b~2)>6abc. 3.已知x、y、z∈R~ .求证: (x y z)~3≥27xyz.     

从一道不等式的证明谈思维能力的培养

为培养学生的思维能力,在讲授不等式的证明一部分内容时,我曾为学生布置这样一道思考题:“已知a、b、c∈R~+,求证(a~2+b~2)~(1/2)+(b~2+c~2)~(1/2)+(c~2+a~2)~(1/2)≥2~(1/2)(a+b+c)。”,下面主要从五个方面谈谈我是如何通过这道典型习题来培养训练学生的思维能力的。一、当思维受阻以后: 由于本题难度较大,虽经课后时间的思考,     

一道竞赛题的改进与巧证

第十三届(1953牛)普特南数学竞赛有这样一道试题: 设实数a,b,c中任意两个之和大于第三个,求证 2/3(a+b+c)(a~2+b~2+c~2) >a~3+b~3+c~3+abc. (1) 事实上,我们有命题设实数a,b,c中任意两个之和大于第二个,则 2/3(a+b+c)(a~2+b~2+c~2) ≥a~3+b~3+c~3+3abc. (2)当且仅当a=b=c时等号成立. 证明:不难验证,(2)式等价于 (b+c-a)(c+a-b)(a+b-c)     

由一道例题得到的三个不等式

高中代数下册(必修本)第七页例2: 已知:a、6∈R~+,并且a≠b。求证:a~5+b~5>a~3b~2+a~2b~3 由其指数特征及证明中的差式(a~5+b~5)-(a~3b~2+a~2b~3)=(a~2-b~2)(a~3-b~3)不难得到命题一:若a_1,a_2∈(?)。m,k∈N,m>k, 则 a_1~m+a_2~m≥a_1~ka_2~(m-k)+a_1~(m-k)a_2~k(当且仅当a_1=a_2时等号成立)。证法与上类似。运用命题一又可得到命题二:若a_1,a_2,……,a_n∈R~-,m,k∈N,m>k,则 (a_1~m+a_2~m+……+a_n~m)/n≥(a_1~k+a_2~k+……+a_n~k)/n。a_1~(m-k)+a_2~(m-k)+……+a_n~(m-k)/n(当且仅当a_1=a_2=……=a_n时等号成立)。证明;把对a_1,a_2,……,a_n两两运用命题一得到的n(n-1)/2个不等式:a_1~m+a_2~m≥a_1~ka_2~(m-k)+