三角形的“心距”计算公式

1765年,瑞士数学家欧拉(Euler)发现了如下定理:定理1(欧拉定理) 设△ABC的外接回、内切圆的半径分别为R、r,其外心到内心的距离为d,则d~2=R~2-2Rr这个优美对称的结果,激发我们去寻求三角形中其它特殊点如重心、垂心、内心、外心之间的距离的计算公式.对此,我们有如下的定理2(心距定理) 设△ABC的三边为a、b、c,外接圆、内切圆半径分别为R、r,其外心、内心、垂心到重心的距离分别为e、f、g,外心到垂心的距离为k,则     

一道证明题的再思考

初中几何涉及五个心,即垂心、重心、外心、内心、旁心.各心都有自己的特点和灵活用法.但其中体现各心联系的知识莫过于欧拉线了,欧拉线由大数学家欧拉所创,其具体表述是:“任一三角形中,外心、垂心、重心共线,且垂心到重心的距离二倍于外心到垂心的距离.”其实.同学们如果用心的话.也可从平时所做的习题中轻易地得出结论.     

三角形巧合点间的一些性质及应用

三角形的外心、内心、重心、垂心和旁心不妨称它们为巧合点 ,三角形的巧合点各自具有不同的有趣性质 ,这里仅介绍关联这些巧合点中的某些点或全体点的一些性质及应用的例子 .性质 1　三角形的任一顶点到垂心的距离等于外心到对边的距离的两倍 .性质 2　三角形的内心和任一顶点的连线延长与三角形的外接圆相交 ,这个交点与外心的连线是这一顶点所对的边的中垂线 .性质 3　三角形的内心和任一顶点的连线 ,平分外心、该顶点和垂心依次连结所成的角 .性质 4　三角形的外心、垂心、重心三点共线 (欧拉线 ) ,且重心与垂心的距离是外心与重心距离的…     

有趣的“外心”与“垂心”

三角形的“外心”、“垂心”、“重心”共线,该直线称为欧拉线。欧拉线反映了三心之间的一种内在联系。三角形的“外心”、“垂心”、“重心”之间还有许多有趣的性质。 一、若△ABC的外心为O、重心为G、垂心为H,容易证明这三心之间的距离具有度量关系GH=2OG 二、若锐角△ABC的三边中点分别为D、E、F,△DEF的高线足分别为D′、E′、F′,容易证明△ABC的外心O是△DEF的垂心,又是△D′E′F′的内心;若△ABC是钝角三角形,则△ABC的外心O是△DEF的垂心,又是△D′E′F′的一个傍心。     

三角形外心到垂心、重心、内心之间的距离

费赖登塔尔教授关于数学教育有这样一段论述:“再创造是研究数学教育的一个教学法原则,它应该贯穿于数学教育整个体系之中”,基于这一思想,笔者讲完:“直角三角形两锐角互为____;垂心在____;外心在____若它的重心到垂心的距离为6,则这斜边的长为____。”这道填空题(《数学教学通讯》九二年第一期44页习题四的第一题填空的三小题)后,改变思维角度,提出创造性遐想:直角三角形的外心到垂心的距离刚好等于它的外接圆半径,任意三角形的外心到垂心、重心、内心之间的距离能否用一个公式来表示呢?于是引导学生一起去探究发现:外心到垂心、重心、内心之间的距离能用比较和谐、协调的公式表示,下面就简单给出证明过程。     

三角形的“五心”

三角形的“五心”,即重心、垂心、外心、内心和旁心,它们的性质是： （1）三角形的重心（三条中线的交点）到各顶点的距离是它到对边中点距离的两倍． （2）三角形的垂心与三角形的两个顶点所构成的新三角形的垂心（三条高所在的直线的交点）是原三角形的另一顶点．     

关于三角形的两个性质的探究及应用

三角形的“五心”（内心、外心、垂心、重心、中心）是三角形知识的重要内容之一,关于它们的定义（形成）和性质已有很多结论及应用,但我在教学中发现的两个新性质：“三角形垂心到角的顶点的距离等于外心到该角对边距离的二倍”和“三角形的外心,重心,垂心三点共线”,将起到对该部分知识填补空白的作用.     

三角形的欧拉线

(本讲适合初中)任意三角形的外心O、重心G、垂心H三点共线,并且GOHG=12.这就是三角形的欧拉线的定义及性质.欧拉线是一条直线.掌握欧拉线性质须注意两点:(1)外心、重心、垂心三点共线;(2)定比1∶2.欧拉线的常用表示法有三种:(1)外心、垂心法,即欧拉线OH;(2)外心、重心法,即欧拉     

三角形的“三心”与椭圆的一个和谐性质

近期,笔者受一道试题的启发,经过探究发现,三角形的“三心”(即重心、外心、垂心)与椭圆之间存在着一种和谐有趣的性质.现将结论行文如下,以期抛砖引玉. 命题 如果三角形的重心、外心、垂心3点共线,且它们的连线平行于三角形的一条边,那么这条边所对的顶点的轨迹是一个椭圆.     

谈一个几何定理及其应用

我们知道:三角形的内心,外心,重心,垂心等都有其独特的性质,这里,我们将介绍一个三角形外心与垂心相互联系的等式。即定理:三角形任一顶点至垂心的距离,等于外心至对边距离的二倍。已知H是△ABC的垂心,O是外心,OD⊥BC于D,OE⊥AC于E,OF⊥AB于F, 求证:AH=2OD,BH=2OE,CH=2OF。证明:分两种情况讨论     

向量应用的拓展教学

文章就向量应用的拓展教学进行讨论.包括:可利用向量法证明一系列平面几何的距离问题、垂直问题;用向量法证明三角形特殊点(重心、垂心、内心、外心)的存在性;向量法在代数问题的应用;给出向量在一些著名数学问题与定理上的应用.     

“心”“影”相随

<正>三角形中有诸多的"心":三条高线的交点为垂心;三条中垂线的交点为外心;三条内角平分线的交点为内心,三边中线的交点为重心等.在一个三棱锥中三棱锥的顶点在底面的射影落在底面的什么位置,对解决三棱锥问题有很大的帮助.在一些特殊的三棱锥     

三角形“四心”的判断

<正>三角形的"四心"(即内心、外心、重心、垂心)是中学数学的一个基础知识点,需掌握它们的定义和性质.近几年,以平面向量知识为     

向量与三角形的“四心”

在近几年的高考试题中,向量与三角形的“四心”(外心、内心、重心、垂心)相结合的题目出现的频率较高,形成了一道亮丽的风景线.本文结合近几年全国各地的高考数学试题,     

三角形“四心”的向量形式及应用

对于三角形“四心”(重心、垂心、外心、内心)的有关向量问题是同学们学习中的一个难点,同时也是高考的一个热点．本文就此介绍三角形“四心”的向量形式的证明及应用,供大家参考．结论1(重心) G是△ABC的重心的充要条件是(?)=0．结论2(垂心) H为△ABC的垂心的充要条件是(?)．     

与三角形的“内心”有关的数学问题(高一、高二、高三)

与三角形的内心、外心、重心、垂心有关的数学问题综合性强,有较大的思考空间.本文从全国部分省市高考摸拟试卷中选了一些与内心有关的典型例题并予分类导析,旨在探索解题规律.总结解题方法.     

赏析数学中的“姊妹”关系

<正>数学中常常有一些结构、形式相同或相似的结论或表达式,有的甚至是逻辑上或是推理方法上的相同或相似,笔者把这种相同或相似的关系称为"姊妹关系".通过研究"姊妹关系",能够让我们更深入地理解数学知识或是理论逻辑的内在联系,也能够让我们从美学的角度来欣赏数学.下面,笔者从5个方面举例说明.(文中课本例习题是援引于高中数学苏教版2017版教材中的内容)一、"姊妹"向量式我们都知道三角形有"四心" ——内心、外心、重心和垂心.对于外心、重心     

三角形“五心”优美的向量形式

正与三角形的"五心"(即重心、内心、旁心、外心与垂心)有关的向量问题是一类极富思考性和挑战性,又具有相当深度和难度的重要问题.在近年各级各类考试中,备受命题者的青眯,如2009年高     

三角形垂心坐标公式应用二三例

以△ABC外心O为原点建立坐标系,R为外接圆半径,则顶点坐标可设为 A(Rcosα,Rsinα), B(Rcosβ,Rsinβ), C(Rcosγ,Rsinγ). 设H(k,l)为△ABC垂心,则可以证明例1.(欧拉定理)试证△ABC的外心O、垂心G和垂心H共线.     

一题多变说“5心”

三角形有“5心”,即：重心（各边中线的交点）、内心（各内角平分线的交点）、外心（各边中垂线的交点）、垂心（各边高线的交点）、旁心（各外角平分线的交点）,其中,重心,内心,外心,垂心有且仅有1个,旁心3个,下面将从一道高考试题及其变式中,简述与之相关的三角形的“5心”。