利用柯西不等式巧解竞赛题

归纳和总结出柯西不等式在中学数学竞赛中的各种应用     

用整体思想巧解复数题

整体思想是解题中一种重要的思维方法 ,它常给某些问题的解决带来方便 .现举数例 ,说明整体思想在解决复数问题中的应用 .一、利用复数的性质进行整体处理【例 1】　若z∈C ,且z2 +9z2 为实数 ,求点Z(x ,y)的轨迹 .分析 :学生解决这类问题习惯设z=x+yi(或三角式 )将复数分解为实部与虚部之和这一常规步骤解题 .事实上 ,对它进行整体处理会十分简捷 .解 :∵z2 +9z2 为实数 ,利用复数z∈R的充要条件z =z可得 :z2 +9z2 =z2 +9z2 ,即 :z2 -z2 =9( z2 -z2z2 z2 ) .( 1 )当z2 ≠z2 时 ,有z2 z2 =9,即｜zz｜2 =9,∴｜z｜2 =3 ,∴｜z｜=3 .∴Z的轨…     

巧用复数证不等式

大家知道,不等式是变化多端的,证明方法也往往具有很高的灵活性。但笔者发现,有些比较复杂的不等式若利用复数来解决,则会显得非常简捷。下面我们就通过构造复数并利用     

复数集中解不等式允许存在虚数角吗

学生在学习复数知识前，对含未知数的等式与不等式都只在实数集中求解，因而都知道x^2＋1=0与x^2〈0的解集同是空集．然而．当学生在学习复数知识后．认识到虚数的存在，知道x^2＋1=0在复数集中是有虚数解的，对x^2〈0的解呢？一个学生大胆向笔者提出问题：不等式x^2〈0在复数集中的解集是所有纯虚数构成集合．对吗？     

用复数证明几何题与解轨迹题

复数是解决数学问题的主要工具之一，由于复数具有良好的运算性质与明晰的几何意义，因此一些代数与几何问题利用复数来处理较易得到解决。下面我从几何证明与解轨迹题两个方面来具体探讨复数的应用。     

运用不等式控制法解数学竞赛题

在中学数学中 ,许多难度较大的竞赛题 ,从形式上看是等式问题 ,有时直接用等式的有关知识去解 ,是较难达到目的的 .但若根据题设条件 ,设法建立不等式 ,控制变量或变式 ,并通过对不等式的研究 ,最后获得结论的方法 ,我们称之为“不等式控制法”.应用这一方法 ,往往需要由等量关系过渡到不等量关系的思维转变 ,因此 ,它是考查学生思维灵活性和敏捷性的最佳题型之一 .所以 ,在近几年国内外数学竞赛中 ,经常出现利用不等式控制法来解的试题 ,但参赛学生对这一重要解题方法的掌握还不是很熟练 ,为此 ,本文就竞赛中的具体例子 ,介绍利用不等式控…     

巧用齐次化与非齐次化的思想解不等式赛题

本介绍如何利用齐次化与非齐次化的思想，解决数学竞赛中的一些不等式问题．     

一些不等式赛题的证明方法(上)

在国内外各类数学竞赛中，不等式的证明是一个亮点．其方法多变、证法之美往往令人拍案叫绝．本文撷取数例并给出其证明方法，与读者分享其美．     

复数题的求解策略与技巧

由于复数问题涉及面广,综合性强,知识的跨度大,解题方法灵活,具有一定的技巧性,因此,在解复数问题时必须研究策略与技巧,以求做到选择捷径,避繁就简,合理解题.本文举例介绍解复数问题的常见策略与技     

巧用排序解赛题

对一些数学题中含有多个元素，它们之间事前未规定次序，在解题时若能按照某种次序关系把它们依次排列起来，使问题易解，这样的解题方法称之为排序．其解题的思维过程是：     

也谈一不等式赛题的形数沟通

在一些报刊杂志和有关解题的书籍中，对以上三题的解法都不外乎通过构造正三角形或正方形给出几何证明，并由此给出相应的纯代数证明。笔者近期对以上三赛题进行了一番研究，觉得我们对于不等式①②③的认识还有待进一步加深，比如：我们能否给出更为直观的几何证明?既然不等式①②③均是严格不等式，那么它们的左边和右边到底相差多少?     

例谈柯西不等式在解竞赛题中的应用

柯西不等式为:(a1b1 a2b2 … anbn)2≤(a21 a22 … a2n)(b21 b22十… b2n).其中ai,bi∈R(i=1,2,…,n).当且仅当a1/b1=a2/b2=…=an/bn时取"=",(约定ai=0时,bi=0,i=1,2,…,n).对于许多不等式问题,若善于运用柯西不等式及其等价形式,则往往会使一些棘手的问题变得简单明了.关键是构造适合不等式的条件,并能根据问题探索其等价形式.     

如何求复数辐角主值的代数和

复数的辐角主值及其代数运算是复数一章中的难点之一，解题时必须对辐角主值这一概念深刻理解，并把它与几何、三角、代数紧密结合，特别是求多个复数辐角主值的代数和时，要避免出现诸如argz1&;#183;z2=argz1+argz2之类的错误，求两个复数辐角主值的代数和时可利用下面两个公式：