几类不等式恒成立问题探究

不等式恒成立问题在高考中处于非常重要的地位.本文把此类问题分为五类:数学语言易混型、主元变换型、分离变量型、转化函数最值型、数形结合型等进行探究,从形式上加以区分,解决常见的不等式恒成立问题.     

基于高中数学的恒成立问题分析

在高中数学中,恒成立问题主要考查不等式、方程、函数等知识内容,并与参数取值范围、函数最值紧密联系。学生必须准确掌握问题解决方法,即变更主元,解一次函数型恒成立问题;分类讨论,解二次函数型恒成立问题;数形结合,直观求解;运用归化思想,分离变量,这对提高学生解题能力,准确解决恒成立问题意义深远。     

利用导数求参数范围问题分类解析

利用导数可以很方便地研究较复杂函数的单调性与极值.而有了函数的单调性和极值,一方面可以确定函数的值域与最值,进而可以研究函数间的相等和不等关系,也就是可以证明等式和不等式(即已知变量的值或范围,证明式子成立)以及解方程和不等式(即已知式子成立,求变量的值或范围);另一方面又可以确定函数的大致图像,但如果已知单调性呢?已知方程或不等式在主元(主变量)的某个范围内能成立或恒成立呢?已知函数的大致图像呢?其实这些不过是逆向问题罢了,请看下面两篇文章。     

“恒成立”问题处理时的误区警示

近几年各地高考数学试卷中,屡屡出现曲线恒过定点、方程恒有解、含参不等式恒成立等问题,本文把这类问题统称为"恒成立"问题,由于高考命题的影响,高中数学教学也相应的把"恒成立"问题作为重点和难点来对待,常用的处理策略有:分离参数、变更主元、数形结合、特殊到一般等方法,但是有时这种问题处理时,也会因为细微的疏漏而造成错误.笔者就教学中遇到的问题进行整理,以期能有防微杜渐的作用.     

探讨参数恒成立问题的解法

恒成立问题,是指在综合给定的范围内条件无论如何变化,某些数学问题的结论都不会发生任何改变.求解含有参数的恒成立问题是一类常见的题型.具体解法有赋值法、判别式法、根据图像数形结合、变量分离,转化为最值问题、换主元等.     

转几类恒成立问题的“隐性”为“显性”

恒成立问题是高考中的重要考点之一,因其常与函数、三角、数列、立几、圆锥曲线等众多高中数学知识相互交融,问题中常渗透着换元、化归、数形结合、函数与方程等思想方法,故综合型强,解题方法十分灵活.由动态图形、图象单调性、方程根、方程有解等不同形式组合而成的恒成立问题的呈现形式有时常表现出非常"隐"性:条件若明若暗、隐而不显、含而不露.有的不明显出现"恒成立"、"均成立"、"任意"等字样,有的虽有"恒"的意思,却很难直接找寻出数学恒等式关系式或恒不等关系式,因此这类有一定的隐藏性与深刻性的恒成立问题已经成为高三复习中的一个主要难点之一.笔者在此试图归类一些能转"隐"为"显"的实例,从而想寻找一些突破此类难点的常规方法,或许能给大家在高考复习时提供一些参考.     

新课标中函数恒成立问题的解法

利用函数性质法、主参互换法、分离参数法、图象法等方法,把函数恒成立问题规范化处理,从而使复杂的恒成立问题得到简捷的处理.     

降元法巧解双极值点含参恒成立问题

函数f(x)的双极值点x1、x2的本质是f'(x)的双零点,含有双极值点的恒成立问题是双变量问题.解决双变量问题的核心思想是通过某种途径降元,把双变量问题转化为单变量问题.而含参的双极值点问题除了两个变量x1、x2外还有一个参数,这给解题带来巨大的困扰.对于这类双极值点含参恒成立问题,通常考虑消参或以参数为媒介构造一个新的单变量函数,研究其最(极)值.本文给出常见的几种处理方法.     

例说导数法证明不等式

利用导数证明不等式,就是利用不等式与函数之间的紧密联系,将不等式的部分或全部投射到函数上,直接或等价变形后,结合不等式的结构特征,构造相应的函数,通过导数运算判断出函数的单调性,或利用导数运算来求函数的最值,将不等式的证明转化为函数问题,即转化为比较函数值大小,或函数值在给定区间内恒成立等.现择例说明如下.一、在不等式中突出主元.以主元为自变量构造函数。将不等式转化为函数在给定区间内恒成立问题,然后利用导数证明     

运用“变量分离法”解题时须注意五点

变量分离法是高中数学解题的一种有效的方法,其实质是运用函数与方程的思想,将方程、不等式的有解及恒成立等问题转化为相应函数的值域或最值问题.但它仅是一个解题方法,因此运用"变量分离法"解题时须注意以下五个方面.     

恒成立问题的解题策略

恒成立问题 ,在高中数学中较为常见 .这类问题的知识涉及到一些基本的函数 ,如一次函数 ,二次函数 ,三角函数 ,指数与对数函数等 ,解决这类问题的数学思想方法有化归、换元、数形结合等 .由于这类问题能较好地考查学生运用数学知识分析问题和解决问题的能力 ,并能培养学生思维的灵活性、创造性 ,故在历年高考中经常出现 .本文举例介绍解决这类问题的几种常用方法 .解决恒成立问题的方法是充分利用有关函数的性质 ,针对问题特点 ,分离有关变量和灵活运用数形结合方法等 .一、利用函数性质例 1　关于ｘ的不等式ｌｏｇａ(2 -ａｘ) <0在区间 [1,…     

函数恒成立存在性问题题例分析

函数题型在高考中常考常新,而能很好体现逻辑思维的恒成立与存在性问题又是其中的精髓所在,这类问题知识交汇丰富,方法灵活多样,是学生学习的重点与难点,其中的参变分离、变更主元、数形结合等方法需要学生深入研究.     

含参不等式恒成立问题的常见类型及解题策略

"含参不等式恒成立问题"把不等式、函数、三角、几何等内容有机地结合起来,其以覆盖知识点多、综合性强、解法灵活等特点而备受高考、竞赛命题者的青睐。另一方面,在解决这类问题的过程中涉及的"函数与方程""化归与转化""数形结合""分类讨论"等数学思想对锻炼学生的综合解题能力,培养其思维的灵活性、创造性都有着独到的作用。含参数不等式的恒成立问题既含参数又含变量,学生往往难以下手,怎样处理这类问题呢?转化是捷径。通过转化能使恒成立问题得到简     

构造法解恒成立问题中的参数范围

含参数的恒成立问题是高中数学中的一类重要题型,它常以各种载体出现在高考和各类竞赛试卷中.此类问题以一主元和若干参变元伴随着显性或隐性的题型出现,考生若能抓住它们“形异质同”(“形异”即题型各不相同,“质同”即实质相同,就是要抓住主元.)构造目标函数,就可成功解答此类问题.笔者给出这类考题简单易想到的两类构造通法,以供大家参考.一、构造主元函数问题中主元与参变元若不能分离,或以其中一元为主元时问题较复杂,可以交换位置确定主元,将问题转化为以主元为自变量的函数,然后利用数形结合法,巧妙解答.二、构造辅助函数问题中主元…     

例析“分离参数法”在解含参不等式中的应用

正"含参不等式恒成立问题"把不等式、函数、三角、几何等内容有机地结合起来,其以覆盖知识点多,综合性强,解法灵活等特点而倍受高考、竞赛命题者的青睐,其中分离参数法是解决这类问题的一种常用方法.对于一些含参数的不等式恒成立问题,如果能够运用化归思想将不等式进行同解变形,将不等式中的变量和参数进行分离,即使变量和参数     

纵览高考试题，漫话恒成立问题

恒成立问题运用的工具常常是函数的单调性、不等式、导数。运用的思想方法主要是化归思想、换元思想、函数思想、数形结合的思想,最后一般归结为求最值问题．高中数学中常见的恒成立问题有一次函数型、二次函数型、分离变量型、数形结合型．     

借助函数最值来求解不等式恒成立时参数的取值范围问题

不等式恒成立条件下参数的取值范围问题一直都是高考数学中的一个难点,这类问题的求解很多种解法,如：用参数分离研究函数的最值、变更主元、数形结合等方法.方法虽多,但学生在解题过程中难以选择最佳方法.通过对这些方法的分析,不难发现这些方法有一个共性,即利用函数的最值求参数范围.本文将通过具体例子,谈谈如何借助函数最值来求解不等式恒成立时参数的取值范围.     

恒成立、能成立、恰成立等问题的解题策略

正高中数学中的有关"恒成立"、"能成立"、"恰成立"等问题,虽然在教材中没有专门的讲解,但是这些内容一直以来都是高中数学教学的重点和难点.又因为这类问题的解法较多,同时在一些题目中更是没有明显出现"恒成立"、"能成立"、"恰成立"、"都成立"等字样,若明若暗,具有一定的隐藏性,极易被解题者忽视.所以在历年高考(江苏近年来几乎年年都考)中都屡见不鲜.如何准确地、快速地解决这类问题?笔者认为分离变量法     

“无心”之说 开启探究之旅——可变区域下双变量最值的策略研究

可变区域下双变量的最值问题,一般策略是利用图形转化为线性规划问题.课堂上一位学生的"主元"无心之说,开启了从函数角度的探究之旅.本文另辟蹊径,师生共探"独立主元策略"和"相关主元策略",最终解决了可变区域下双变量的最值问题.     

关于不等式恒成立与方程恒有解问题

文[1]讨论了含参数不等式恒成立问题中何时能运用主、辅元辩证转解题策略,何时不能;文[2]讨论了求解不等式恒成立问题时＂构造函数法＂是一个有效的方法,此外,含参数不等式恒成立问题的一般解法还有：最值法、参数分离法、数形结合法等.从教学实际来看,