一道高考数列求和题的多角度思考

<正>题目(2013年山东高考题)设等差数列{an}的前n项和为Sn,且S4=4S2,a2n=2an+1.(1)求数列{an}的通项公式;(2)设数列{bn}的前n项和为Tn,且Tn+an+1/2n=λ(λ为常数),令cn=b2n(n∈N*),求数列{cn}的前n项和Rn.     

例谈同构思想在数学解题中的应用

<正>一、在数列中的应用数列递推技巧的核心本质是同构,对于等差、等比型的数列问题,利用所给递推公式依序同构,是解题思路形成的理论依据．例1在数列{an}中,a1=1,a2=130,an+1-130an+an-1=0(n≥2,n∈N*).(1)若数列{an+1+λan}是等比数列,求实数λ;(2)略．     

题库(十一)

1.已知等差数列{an}的首项a1=1,公差d>0,且第2项、第5项、第14项分别是等比数列{bn}的第2项、第3项、第4项.(1)求数列{an}与{bn}的通项公式;(2)求数列{cn}对任意正整数n均有c1/b1+c2/mb2+c3/m2b3+…+cn/mn-1bn=(n+1)·an+1成立,其中m为不等于零的常数,求数列｛cn｝的前n项和Sn.2.已知常数a>0,向量m=(0,a),n=(1,0),经过定点A(0,-a)以m+λn为方向向量的直线与经过定点B(0,a)以n+2λm为方向向量的直线相交于点P,其中λ∈R.     

一道引领高三学生回归课本的好题——评析2006年高考福建卷(理)第22题

1问题提出人教版高一上课本复习参考题三P136的第14题为:已知数列{a n}是等差数列.a1=1,设c=1+2+22++2n?1,求证:4a1?14a2?141(1)an?=c+an.通过改编成为,2006年高考福建卷(理)第22题.已知数列{a n}满足*a1=1,an+1=2an+1(n∈N).(1)求数列{a n}的通项公式;(2)若数列{b n}满足41142141b?b?bn?=(1)bnan+,证明{b n}是等差数列;(3)证明:12*2311()232nnn a aan n N?相似文献   

对一类递推数列周期性的再讨论

<正>已知数列{an}满足:an=pan-1+qan-2(n∈N+,n≥3),给定a1及a2(a12+a22≠0),其特征方程为x2-px-q=0(※),判别式△=p2+4q.文[1]作者经过探究给出了此类数列的周期性具有如下结论:(1)当△>0时,当且仅当p=0且q=1时,对于任意的a1及a2(a12+a22≠0),数列{an}是周期数列.特别地,a1≠a2时,数列{an}是以2为周期的周期数列;a1=a2时,数列{an}是以1为周期的周期数列(即常数数列).(2)当△=0时,当且仅当p=2、q=-1且a1=a2时,数列{an}是以1为周期的周期数列(即常数数列),或p=-2、q=-1且a2=-a1时,数列{an}是以2为周期的周期数列.     

2006年高考理科数学(山东卷)22题别解

试题已知a1=2,点(an,an+1)在函数f(x)=x2+2x的图象上,其中n=1,2,3…(Ⅰ)证明数列{lg(1+an)}是等比数列;(Ⅱ)设Tn=(1+a1)(1+a2)…(1+an),求Tn及数列{an}的通项;(Ⅲ)记bn=a1n+an1+2,求数列{bn}的前n项和Sn,并证明Sn+3Tn2-1=1.解(Ⅰ)由a1=2,且点(an,an+1)在f(x)=x2+2x的图象上,所以an+1=a2n+2an>0(n=1,2,3,…)所以llgg((11++aan+n)1)=lg(1lg+(12+ana+n)a2n)=2,所以数列{lg(1+an)}是以2为公比的等比数列.(Ⅱ)由(Ⅰ)知数列{lg(1+an)}的公比为2,第1项为lg3,从而lg(1+an)=2n-1lg3=lg32n-1,即1+an=32n-1(1)因此数列{an}的通项为an=32n-1-1.由(1)得…     

一“数”之变 异彩纷呈——一道递推数列题的变式探究

以下是笔者通过对一道数列题改变一个数字进行探究,发现解法优美、内涵丰富、异彩纷呈,写下来与大家交流,希望能够给读者在递推数列解题方面带来一点启示.一、试题呈现题目1:已知数列{an}中,a1=1,an+1=2an+2n.(1)若bn=an2n-1,求证:{b}n是等差数列;(2)数列{an}的前n项和Sn.这是一道递推数列试题,第(1)问不难证明,第(2)问关键是求通项an.     

一类分式递归数列的通项公式

本文给出一类由分式递推公式所确定数列的通项公式的求解方法 .问题 1　已知数列 { an}中 ,a1 =α,an+ 1 =λan+β,α>0 ,λ>0 ,β>0 ,求数列 { an}的一个通项公式 .解　由题设条件知 an>0 (n∈ N*) ,根据递推公式 an+ 1 =λan+β,得 an(an+ 1 -β) -λ=0 .令 bn=an+-β+β2 +4λ2 ,代入上式得 (bn+β-β2 +4λ2 ) (bn+ 1 - β+β2 +4λ2 ) -λ=0 ,即 (β-β2 +4λ) bn+ 1 - (β+β2 +4λ) bn+2 bnbn+ 1 =0 .令γ=β2 +4λ,由 an>0 (n∈ N*) ,-β+β2 +4λ>0知 bn>0 (n∈ N*) ,将上面等式两边同时除以bnbn+ 1 ,得 β-γbn- β+γbn+ 1+2 =…     

一道数列模考题的解法探求与教学思考

1 提出问题 设各项均为正数的数列{an}的前n项和为Sn,已知a1=1,且(Sn+1+λ)an=(Sn+1)an+1对一切n∈N*都成立. (Ⅰ)若λ=1,求数列{an}的通项公式; (Ⅱ)求λ的值,使数列{an}是等差数列. 本题是2014年苏锡常镇四市高三数学情况调查(一)第19题,主要考查等比数列,数列的前n项和,递推关系及证明等差数列等基础知识与方法,考查考生的转化与化归、推理论证、思维与运算、分析问题与解决问题等能力.     

数列易错点分析

<正>数列内容是高考重点内容,然而在解答数列题时,总是会在一些细节处丢分,现列举如下,引以为戒.易错点1:运用公式"an=Sn-Sn-1"不当致误例1:数列{an}前n项和sn且a1=1,an+1=13sn,求数列{an}的通项公式.解析:由a1=1,an+1=13sn得an=13sn-1(n≥2)an+1-an=13sn-13sn-1=13an(n≥2),得an+1=43an(n≥2).又a1=1,a2=13,故数列{an}     

2010年湖北高考理科第20题的解法研究

2010年高考数学湖北卷理科第20题:"已知数列{an}满足a1＝1/2,3(1+an+1)/1-an＝2(1+an)/1-an+1,anan+1＜0(n≥1),数列{bn}满足bn＝a2n+1-a2n(n≥1),(1)求数列{an},{bn}的通项公式;(2)证明:数列{bn}中的任意三项不可能成等差数列.     

数列解答题集锦

<正>1.设数列{an}是等差数列,且其首项为a1（a1>0）,公差为2,前n项和为Sn,S11/2,S2（1/2）,S31/2成等差数列。求数列{an}的通项公式。2.已知数列{an}、{bn}满足a1=2,2an=1+anan+1,bn=an-1,设数列{bn}的前n项和为Sn,令Tn=S2n-Sn。（1）求数列{...     

常见数列通项公式求法综述

设Sn是数列{an}的前n项和,n∈N.题型1:由an=S1 (n=1),求数列{an}的通项公式. Sn-Sn-1 (n≥2),题型1:由an=S1 (n=1),求数列{an}的通项公式. Sn-Sn-1 (n≥2)例1 在数列{an)中,a1 a2 … an=3n,求数列{an)的通项公式.     

求高阶等比数列通项公式的方法

让我们先来看两道例题:例1已知数列{a n}:6,9,14,23,40试求该数列的通项公式.解记an+1?an=bn,则{b n}:3,5,9,17记bn+1?bn=cn,则{c n}:2,4,8.∴cn=2n.bn=b1+(b2?b1)+(b3?b2)++(b n?bn?1)=b1+c1+c2++cn?1=3+2+22++2n?1=2n+1,an=a1+b1+b2++bn?1=6+(2+1)+(22+1)++(2n?1+1)=6+(2+22++2n?1)+(n?1)=2n+n+3,∴数列{a n}的通项公式为:an=2n+n+3.例2已知数列{a n}:1,7,16,30,53,93,166试求该数列的通项公式.类似于例1可得数列{a n}的通项公式为:an=2n+n2/2+5n/2?4.总结例1与例2,若将原数列{a n}算作“第1阶”,则例1中的数列{a n}是在“逐差”至“第3阶…     

高中数学基础训练题（2）

数　列1.下列四个数中 ,哪一个是数列 { n(n+ 1) }中的一项(　 )(A) 380　 (B) 39　 (C) 35　 (D) 2 32 .在等比数列 { an}中 ,首项 a1<0 ,则 { an}是递增数列的充要条件是公比 (　 )(A) q>1　 (B) q<1　 (C) 0 相似文献   

2004年高考数列试题的分析与思考

一、试题概述与分析2004年高考数学全国卷之一(新课程版卷)理科的压轴题是数列试题: 已知数列{an}中,a1=1,且a2k=a2k-1(-1)k,a2k+1=a2k+3k,其中k=1,2,3,……(Ⅰ)求a3,a5;(Ⅱ)求{an}的通项公式. 该题主要考查数列、等比数列的概     

常见的几种数列的通项公式的求法

一、对于周期数列,先求其周期,再根据已知条件写出数列的通项.【例1】数列{an}中已知a1=1,a2=4且an+2=an+1-an(n是正整数)求a2004及数列{an}的通项公式an.解:∵an+2=an+1-an(1)∴an+3=an+2-an+1(2)由(1)+(2)得an+3=-an,∴an+6=-an+3∴an+6=an,∴6是数列{an}的一个周期.∵a1=1,a2=4,∴a3=a2-a1=3由an+3=-an,可知a4=-a1,a5=-a2,a6=-a3∴a2004=a334×6=a6=-a3=-3∴an=1(n=6k+1)4(n=6k+2)3(n=6k+3)-1(n=6k+4)-4(n=6k+5)-3(n=6k)(k为非负整数)二、对已知的递推关系式利用取对数,因式分解,取倒数、两边平方等方法进行变形构造成简单数列,再求通项…     

一道习题的引申及应用

在新教材第一册 (上 )第 1 1 4页 ,有这样一道习题 .写出下面数列 {an}的前 5项 :a1=12an =4an-1+1 (n≥ 2 )下面就此题作探讨 .一、引申递推公式的概念既然在新教材中出现 ,那么已知递推公式求通项公式 ,学生将乐于接受 .因此对上述习题作下面引申 :【例 1】　已知数列 {an}的项满足a1=12an =4an-1+1 (n≥ 2 ),求通项an.【例 2】　 (旧教材P12 63 4题变式 )已知数列{an}的项满足 a1=ban + 1=can +d　其中c≠ 0 ,c≠ 1 ,求这个数列的通项an.其实 ,在an+ 1=can+d(c≠ 0 )中 ,若c =1 ,则该数列是公差为d的等差数列 ;若d=0 ,因为c≠ 0 ,则该数…     

一道数列高考题的多解研究

(2012年高考江苏卷第20题)已知各项均为正数的两个数列{an}和{bn}满足:an+1=an+bn/a2n+b2n,n∈N*.(1)设bn+1=1+bn/an,n∈N*,求证数列{(bn/an)2}是等差数列;(2)设bn+1=2·bn/an,n∈N*,且{an}是等比数     

应用函数思想，解决数列问题

下面结合几个实例谈谈函数思想在数列问题中的应用 .一、函数的定义在数列中的应用【例 1】给出以下三个结论 :① {an}是等差数列的充要条件是an 是n的一次函数 .② {an}是等差数列的充要条件是其前n项和Sn 是n的二次函数 .③ {bn}是等比数列 ,则bn 是关于n的指数函数形式 ,其中正确的个数为 (　　 )(A) 0　　 (B) 1　　 (C) 2　　 (D) 3分析 :{an}是等差数列 ,其通项为an =a1 +(n -1)d =dn+a1 -d ,其前n项和Sn =na1 +n(n-1)d2 .当d=0时 ,an 不是n的一次函数 ,Sn 也不是n的二次函数 .因此①、②都不对 .不难证明 ,{an}是等差数列 an =an+…