巧用空间向量求解二面角大小

新教材引入空间向量,大大降低了处理立体几何相关角的求解难度．但求解二面角时还需根据图形判断其平面角的范围．这又添加了难度．本文阐述巧用空间向量及其相关运算顺利且准确求解二面角大小．     

如何用空间向量求解二面角

利用空间向量求二面角时容易与实际相差一个π角度,本文结合二面角的内(外)侧的概念来讲解一下这方面的问题.一、认识二面角的求法如果知道了两个平面的法向量     

二面角的向量求法

二面角也就是从一条直线出发的两个半平面所组成的图形,用作出二面角的平面角,证明、求解三步曲来求二面角的大小,有时会很难找出二面角的平面角.而用向量来求二面角的大小就可以不用作二面角的平面角,只要求二个半平面的法向量的夹角就可以求出二面角的大小了.但这有一个缺点,法向量的夹角有可能是二面角的补角,所以只能通过图形来判断法     

向量积在高中数学中的应用

高中数学引入了平面向量、空间向量,使解析几何、立体几何问题得以简化。高中数学中引入向量积运算,使得高中向量系统具有完整性。可用向量积求解面积、二面角、三棱锥的体积等问题。     

二面角的平面角与其面的法向量夹角的关系判定

空间向量引入后,用空间向量解决立体 几何中的垂直、平行、共面、角、距离等问 题,可以减少辅助线,避开复杂的空间想象,降 低了解题的难度,求二面角α ?l ? β 的大小问题可以转化为二面角两个面所对应的法向量与法向量夹角的问题,避免了寻找二面角的平面角的麻烦,一般步骤如下: uv v (1)求平面α ,平面 β 的法向量 m,n . uv v (2)求< m,n >的大小. (3)利用二面角α ? l ? β 与其法向量夹角 uv v关系,得出二面角α ?l ? β 的大小为< m,n > …     

空间平面向量方向判定的两种方法

二面角的平面角是高考的一个重点内容,也是热点内容,怎样利用平面的法向量求二面角的平面角呢？我们知道二面角的大小与法向量的夹角的关系＂同内同外是互补,一内一外是相等＂,关键是判定两个平面的法向量相对于二面角的面的方向,当平面与空间坐标系中的三个平面平行或重合时,平面的法向量很容易判定.下面介绍除此之外的平面的法向量的方向的两种判定方法.     

创新引领,聚焦二面角的求法

近几年高考的一个变化趋势,从知识立意到能力立意,再到如今的素养立意,对同学们的素质要求日益提升。比如,以前立体几何部分求二面角的大小是一个常见考点,考查的侧重点是通过建立空间直角坐标系利用两个平面的法向量的夹角与二面角的平面角之间的关系来求解,称为向量法。向量法思维要求较低,但对运算素养要求较高。     

利用向量法解二面角问题研究

二面角是求解立体几何问题的一个"瓶颈",向量法是解决二面角问题的有效方法,向量法求二面角通常有三种转化方式,即先作平面角再求解;利用法向量求解;转化为异面直线夹角再求解.研究用向量法解决立体几何二面角问题,能提高学生的解题能力.     

例谈二面角的两种向量求法

<正>向量具有数和形两方面的特性,新课标将向量引入中学教材,给几何问题的解决增添了活力.求二面角的大小,是立体几何中的一个基本问题,利用向量可避免求作二面角等带来的困难,方便了求二面角的大小.本文举例介绍利用向量求二面角的两种方法.     

选择法向量方向，准确求解二面角

利用向量法求证空间位置关系及求解距离与角为大家所熟知,cos<→n1,→n2>＝→n1·→n2→n1││→n2求出余弦值后,有时不能确定究竟是钝二面角还是锐二面角,仅仅是通过观察,凭直觉来判断是钝角还是锐角.事实上,我们在设置法向量时,可以通过选择法向量的方向来准确求解二面角的大小.     

利用法向量判定二面角的大小

利用法向量求二面角时,两平面的法向量所成角与二面角是“相等”还是“互补”成为难点和关键,文[1]、文[2]引入“卦限向量”来判定,本文依托线性规划中二元一次不等式表示平面区域的判定方法,运用“类比法”得到利用法向量求解二面角的一种简洁有效的方法．     

新课标下利用空间向量求二面角大小的几种方法

二面角是空间几何中重要的知识之一,也是三种空间角中比较难求的一个.而在新课程的课本中除了必修二课本中学到了传统几何的做法以外,在选修2-1中课本还提供了用空间向量求二面角大小的方法.但由于空间向量所成角的范围和二面角的范围都是[0,π],这给二面角大小是平面的法向量所成角还是法向量所成角的补角的判断产生了困难.下面作者就自己在教学过程中,和学生共同探讨中产生的几种用空间向量解二面角的方法进行评说,希望对大家的教学有一些帮助.1利用空间向量数量积求二面角平面角的大小在传统的立体几何中,在作出并且证明了二面角的平面角…     

巧构向量 妙解空间角与距离

空间夹角与距离是高中立体几何中一个重要的知识点,并且求解的方法很多,但在教学实践中可以看到,多数学生很难准确的作出辅助线,找到二面角的平面角及点到平面的垂线或异面直线的公垂线.那么,能否避免这些问题而直接求解空间夹角与距离呢?联想教学大纲中异面直线所成角的向量求法,笔者将向量法推广到一般情形来尝试求解空间的夹角与距离问题,收到了良好的效果.     

用法向量求二面角的大小及其角度关系的确定

我们都知道,向量知识在数学学科里有其非常广泛的应用,尤其是在立体几何求角和距离时,若利用向量知识求解会得到事半功倍的效果,也正体现了向量知识的工具性和灵活性．而在应用向量知识求解二面角的大小时,不是所有的二面角的两个半平面的法向量的夹角都和二面角相等,有时是互补,那么,什么时候相等,什么时候互补,如何确定其“角度之间的大小关系”,一直以来是困扰很多教师和学生的一个难题．     

利用空间向量求二面角的判定方法

我们常用空间向量的方法求解立体几何的问题,在求解二面角α-l-β的大小时,常采用下面方法:设n₁,n₂分别为平面α,β的法向量,则两个法向量夹角的余弦值为cos〈n₁,n₂〉=（n₁·n₂）/（|n₁|·|n₂|）,进而求出两个法向量夹角〈n₁、n₂〉,而"二面角α-l-β的大小"与"两个法向量夹角〈n₁,n₂〉"相等或者互补.有些时候,题目     

二面角是锐角还是钝角

自空间向量引入立体几何中，利用法向量解决二面角的大小成为可能．二面角大小的范围为[0，π]，2个法向量夹角的范围为[0，π]，那么二面角的大小等于2个法向量的夹角还是其补角呢？下面作如下的探究．     

探求一道立体几何题的多种解法

在立体几何中,有关二面角的问题是高考中一个非常重要的考点,是每年高考必考内容之一.对于这一类问题的求解,方法是多种多样的:可以用传统的几何法先找二面角的平面角,再求其大小;可以利用空间向量的坐标计算来求其大小;还可以利用空间向量的基本定理,选择一组恰当的     

对一个基本立体几何图形的思考

从一条直线出发的两个半面所组成的图形叫做二面角.一条线段夹在二面角的两个半平面内,由此就构成了一个结构简单、内涵丰富的立体几何图形.1以此基本图形为背景编制的课本习题高中新课程教材《选修2?1》第三章《空间向量与立体几何》第113页复习参考题A组12题:一条线段夹在一个直二面角的两个半平面内,它与两个半平面所成的角都是30°,求这条线     

用空间向量求二面角的判定方法

我们用空间向量的方法求解二面角α-l-β的大小时,常采用下面方法:设n₁、n₂分别为平面α、β的法向量,则两个法向量夹角的余弦值为     

用向量求二面角大小的五种方法

在用两个面的法向量的夹角求二面角的大小时,通常需要判断二面角的大小与两个面的法向量的夹角是相等还是互补的关系,但“相等”还是“互补”这个问题始终困扰着我们,即使是高考试卷的解答也没能得到彻底的解决．结合自己的教学实践经验,给出利用向量工具求解二面角大小的五种方法,从而有效地解决了上述难点．