双曲线的一个不等式及应用

文 [1]～ [4 ]给出了与圆锥曲线有关的一些不等式 ,本文再给出与双曲线有关的一个不等式 ,然后介绍它的应用 .定理　设F是双曲线的一个焦点 ,l是过焦点F且垂直实轴的直线 ,A1、A2 是双曲线与实轴的两个交点 ,P∈l,∠A1PA2 =α ,e是双曲线的离心率 ,则α为锐角 ,且sinα≤ 1e.当且仅当点P到双曲线实轴的距离是双曲线虚半轴长时取等号 .证明　不妨设双曲线方程为 x2a2 - y2b2 =1,F(c,0 )为右焦点 ,P位于x轴上方 ,如图 1所示 .易知过点F垂直于x轴的直线l的方程为x =c,从而可设点P的坐标为 (c ,y) (y>0 ) .又知A1(-a ,0 ) ,A2 (a ,0 ) ,由…     

应用圆锥曲线的统一定义解题

一、求曲线的方程例1已知双曲线的右焦点为F(1,0),右准线为y轴,若经过右焦点且与双曲线的右支交于P_1、P_2两点的任意一条直线l,总有|P_1P_2|=|P_1F|·|P_2F|,试求双曲线的方程.     

直线与双曲线和椭圆位置关系的距离判别法

直线与二次曲线位置关系的判别，现在一般的参考资料都是利用判别式．众所周知，利用“△”法计算量往往很大，那么有没有比较简便一点的方法呢？受直线与圆位置关系的距离判别法的启发，可得到以下两个定理．定理1设双曲线的虚半轴为b，两个焦点F1，F2到直线l（l不平行也不重合于双曲线的两渐近线）的距离分别为d1，d2（1）若F1，F2在l的异侧，则l与双曲线相交、相切和相离的充要条件分别是：d1·d2＜b2，d1·d2＝b2和d1·d2＞b2．（2）若F1，F2在l上或l的同侧，则l与双曲线必相交．证明设双曲线方程为＼一头一1，（l）一。。——，——…     

过双曲线焦点的定长弦条数的判定

题目过双曲线2x2-y2-2=0的右焦点F作直线l交双曲线于A、B两点。若|AB|=4,则这样的直线有几条? 分析:把双曲线化为标准方程x2-y2/2=1,这里a2=1,b2=2,点F(3~(1/2),0)。若l⊥x轴,|AB|=2b2/a=4.     

系列讲座之十三——圆锥曲线(3)

本讲主要涉及向量与圆锥曲线之间的关系的一类竞赛问题. 例1 已知椭圆T:(x2)/(a2)+(y2)/(b2)＝1(a＞b＞0)和双曲线S:(x2)/(m2)+(y2)/(n2)＝1(m＞0, n＞0)具有相同的焦点F(2,0).设双曲线S经过第一象限的渐近线为l.若焦点F和椭圆T上方的顶点B关于l的对称点都在双曲线S上,求椭圆T和双曲线S的方程.     

圆锥曲线几个有趣性质再探

文[1]中给出如下两个结论: 定理1 设直线l经过双曲线x2/a2-y2/b2=1(a＞0,b＞0)的焦点F,直线l交双曲线的两条准线于A、B,点O是双曲线的中心,e是离心率,l的倾斜角为θ(θ∈(0,π)),则OA⊥OB的充要条件是sinθ=1/e2.     

直线与圆锥曲线相切的充要条件

《数学通报》2004(5)文[1]的性质7给出了椭圆焦点三角形的一个性质,本文把它作为命题1在以椭圆x2/a2+y2/b2=1(a>b>0)的两个焦点F1、F2及椭圆上任一点P(除长轴两端点外)为顶点的△F1PF2中,∠F1PF2的外角平分线为l,过焦点F2(或F1)作l的垂线,垂足为D,则点D的轨迹方程为x2+y2=a2(y≠0),(如下左图)本文先把命题1推广引申到双曲线、抛物的情形,再作进一步引申.命题2在以双曲线x2/a2?y2/b2=1(a>0,b>0)的两个焦点F1、F2及双曲线上任一点P(除实轴两端点外)为顶点的△F1PF2中,∠F1PF2的平分线为l,过焦点F2(或F1)作l的垂线,垂足为D,则点D的…     

对双曲线的一个共点条件的探索

等轴双曲线:x2-y2=1中,A1,A2,F2分别为其左、右顶点和右焦点,直线l1:y=x为一条渐近线,弦PQ⊥x轴于F2,则三直线A1P,A2Q及l1共点.     

一道解析几何习题的引申

【题】 :过双曲线x2 - y22 =1的右焦点作直线l交双曲线于A、B两点 ,若|AB|=4 ,则这样的直线共有 (　　 ) .A .1条　　　　B .2条C .3条　　D .4条正确答案是C .对该题进一步的探讨分析发现 ,此双曲线的实半轴a =1,虚半轴b =2 ,过焦点与x轴垂直的弦长为2b2a =4 ,|AB|=2b2a =4 >2a =2 .试问 :|AB|无论多长答案是否都是C呢 ?请看 :设双曲线 x2a2 - y2b2 =1(c =a2 b2 )的右焦点为F ,过F作直线l交双曲线于A、B两点 ,|AB|=d ,试根据d的不同取值讨论l的存在性 .预备知识 :(1)两顶点间的距离是双曲线两支上的两点间距离的最小值 ;(2 )过双…     

一道高考数学试题的解法探究及教学思考

题目:双曲线的中心为原点O,焦点在x轴上,两条渐近线分别为l1、l2,经过右焦点F垂直于l1的直线分别交l1、l2于A,B两点.已知|OA|、|AB|、|OB|成等差数列,且BF与FA同向.     

例谈双曲线的离心率范围的求解策略

确定圆锥曲线离心率的取值范围是解析几何的一种重要题型 ,在各级各类的试题中屡见不鲜 ,下面仅就双曲线离心率范围的求解策略进行总结 ,希望能对大家的学习有所启发和帮助 .1　回归定义例 1　已知F1 、F2 是双曲线 x2a2 -y2b2 =1(a >0 ,b>0 )的左、右焦点 ,l为左准线 ,P是双曲线左支上一点 ,并且｜PF1 ｜是P到l的距离d与｜PF2 ｜的等比中项 ,试求离心率e的取值范围 .解　如图 1,由题设及双曲线的第二定义可知｜PF2 ｜｜PF1 ｜ =｜PF1 ｜d =e ,即｜PF2 ｜=e｜PF1 ｜① ,由双曲线的第一定义知｜PF2 ｜-｜PF1 ｜=2a② .联立① ,②解…     

双曲线第二定义的应用

一、比较大小 例1已知双曲线x^2/a^2-y^2/b^2=1（0〉0,b〉0）的右焦点为F,右准线为l,与y轴不垂直的直线与双曲线交于A、B两点,交准线l于点R,则（ ）．     

全国卷Ⅰ理科第21题(Ⅰ)的别解

题目 双曲线的中心为原点,焦点在x轴上,两条渐近线分别为l1,l2,经过右焦点F垂直于l1的直线分别交l1,l2于A,B两点．     

圆锥曲线中离心率范围问题分类解析

圆锥曲线的离心率是描述曲线形状的一个很重要的量,而确定圆锥曲线的离心率的取值范围,是解析几何中的一种重要题型,下面结合实例谈谈这类问题的几种求解策略.一、利用数形结合例1已知双曲线ax22-by22=1(a>0,b>0)的左、右焦点为F1、F2,左准线l,P是双曲线左半支上一点,并且｜PF1｜是P到l的距离d与｜PF2｜的比例中项,求双曲线离心率e的取值范围.分析如图1,不难发现,在△PF1F2中,显然隐含着不等关系｜PF1｜+｜PF2｜≥2c,借助这一关系建立含离心率e的不等式,问题将不攻自破.名人名言只有到达终点之时,人们才能更好地享受走过的道路的乐趣…     

公式法确定双曲线焦点弦条数和位置

1 公式设双曲线E：x^2/a^2-y^2/b^2=1（a〉0，b〉0，c=√a^2＋b^2），F是它的一个焦点，过F作倾斜角为a的直线l，它与双曲线E交于A、B两点，那么有焦点弦长公式 。     

例谈双曲线第一定义的应用

双曲线第一定义,是双曲线的重要概念,对它的准确理解与正确运用,是学好双曲线的关键,本文举例说明双曲线第一定义的应用.1.焦半径例1设F1,F2是双曲线x2/16-y2/20=1的左、右焦点,点P在双曲线上,若点P到焦点F1的距离等于9,求点P到焦     

双曲线定义之我见

一、关于双曲线的第一定义 课本的定义:我们把平面内与两个定点F1、F2的距离之差的绝对值等于常数(小于|F1F2|)的点的轨迹叫做双曲线.这两个定点叫做双曲线的焦点,两焦点的距离叫做双曲线的焦距.     

双曲线特有的几个结论

在三种圆锥曲线中仅有双曲线存在左右两支,也仅有圆锥曲线存在渐近线.由此决定了双曲线有着椭圆和抛物线所不具备的特有的结论,如下.类型一:左右两支带来的特定结论结论1.不变的角平分线:直线MN与双曲线C:(x~2/a~2)-(y~2/b~2)=1的左右两支分别交于M,N两点,与双曲线C的右准线l相交于点P,F为右焦点,则FP平分/MFN.     

圆锥曲线测试题

gxueshengshidai一.选择题1.过定点P(0,2)作直线l,使l与曲线y2=4(x-1)有且仅有1个公共点,这样的直线l共有()A.1条B.2条C.3条D.4条2.设θ是三角形的一个内角,且sinθ cosθ=15,则曲线x2sinθ y2cosθ=1表示()A.焦点在x轴上的椭圆B.焦点在y轴上的椭圆C.焦点在x轴上的双曲线D.焦点在y轴上的双曲线3.已知F1、F2是椭圆1x62 y92=1的两焦点,经点F2的的直线交椭圆于点A、B,若｜AB｜=5,则｜AF1｜ ｜BF1｜等于()A.11B.10C.9D.164.AB为过椭圆x2a2 by22=1中心的弦,F(c,0)为椭圆的右焦点,则△AFB的面积最大值是()A.b2B.ab C.ac D.bc5.椭圆x…     

一堂意料之外的尴尬课

最近,在高三一堂“双曲线”复习课上,我给出了这样一道习题:已知双曲线的中心在坐标原点,焦点在x轴上,F1、F2分别在左、右焦点,双曲线的右支上有一点P,∠F1PF2=3π,且△F1PF2的面积为23,又双曲线的离心率为2.求该双曲线的方程.待学生思考几分钟后,我叫了甲同学板演.甲解:设双曲