也谈竞赛不等式的创新证法——利用Eξ2≥(Eξ)2证明不等式竞赛题

在文[1]中,王志进,程美老师给出了竞赛不等式的创新证法——向量内积法.笔者通过研究发现一种新证法——利用 Eξ~2≥(Eξ)~2证明不等式竞赛题.因为若随机变量ξ的概率分布为:则方差 Dξ=p_1(x_1-Eξ)~2 p_2(x_2-Eξ)~2 … p_n(x_n-Eξ)~2 …=Eξ~2-(Eξ)~2≥0(*)通过构造随机变量ξ的概率分布,利用(*)式可以全解文[1]中的五个例题.例1 (第24届全苏数学竞赛试题)如果     

利用导数简证Dξ=npq

高中数学第三册(试验修订本*选修Ⅱ)第13页有如下一段: 容易证明,D(aξ b)=a2Dξ.如果ξ～B(n,p),那么Dξ=npq,这里q=1-p. 本刊文[1]指出,证明上述"容易证明"的两个命题,实属不易,并分别给出了这两个命题的一种证明.作为文[1]的补充,下面我们利用导数给出第二个命题的一种构思新颖、方法巧妙、运算量小、过程简洁的证明,供同行们参考.     

构造概率分布列解非概率题

正关于概率的题型一直是高考和数学竞赛的重点内容.本文尝试构造离散型随机变量ξ的概率分布列体现概率在非概率题,如求最值、求值域、证明不等式等方面的应用.离散型随机变量ξ的方差D(ξ)=∑i=1n(ξi-E(ξ))2?pi=Eξ~2-(Eξ)~2≥0,当且仅当ξ服从退化分布时等号成立,即ξ_1=ξ_2=?=ξ_n时,Eξ~2=(Eξ)~2成立.1求最值例1(2013年高考湖南卷(理)第10题)已知a,b,c∈R,     

利用概率统计知识 解决非概率统计问题

设随机变量ξ的概率分布为:则有如下性质:(1)0≤A≤1(i=1,2,…,n,…)(2)p1+p2+…+pn+…=1(3)方差Dξ=P1(x1-Eξ)2+p2(x2-Eξ)2+…+pn(xn-Eξ)2+…=Eξ2-(Eξ)2≥0(4)若Pi>0,(i=1,2,…,n),则方差Dξ=0的充要条件是x1=x2=…=xn=…利用上述性质可以解决非概率统计中的一些问题.1证明恒等式     

行程应用题学习指点

1.公式提出有一批产品,其中有n件正品和m件次品,从中任取r(r≤m)件产品进行检测,若ξ表示取到的次品数的件数,求取到的产品的次品数ξ的个数的数学期望Eξ与方差Dξ.为了更快更简捷地解决这类计算问题,笔者给出以下两个公式,即:Eξ=mrm+n,Dξ=mnr(m+n-r)(m+n)2(m+n-1)(这里,0≤r≤m,且m,n均为正整数,r为非负整数)2.公式证明显然ξ的分布列为:ξ0123…rPC0mCrnCrm+nC1mCr-1nCrm+nC2mCr-2nCrm+nC3mCr-3nCrm+n…CrmC0nCrm+n　　Eξ=C1mCr-1nCrm+n+2C2mCr-2nCrm+n+3C3mCr-3nCrm+n+…+rCrmC0nCrm+n∵iCim=i·m!i!(m-i)!=m·(m-1)!(…     

关于三个中值定理的证明

在一般的教材中,三个中值定理的证明顺序依次为 Rolle 定理、Lagrange 定理和 Cauchy 定理。本文按与上述完全相反的顺序给出证明,使整个证明显得比较简捷。定理一若 f(x),g(x)满足1°在[a,b]上连续;2°在(a,b)内可导,则存在一点ξ(ξ∈(a,b)),使     

关于随机向量的函数的独立性问题中一个结果的证明

定理设ξ_1(ω),ξ_2(ω),…,ξ_n(ω)是定义在概率空间(Ω,F,P)上的n个相互独立的随机变量,若f(X_1…,X_k)及g(X_(k 1)…,X_n)分别是k元及(n-K)元的波雷尔可测函数,则有1°f(ξ_1,ξ_2…,ξ_k)及g(ξ_(k 1)…,ξ_n)是概率空间(Ω,F,P)上的随机变量;2°随机变量f(ξ_1,ξ_2,…,ξ_k)与g(ξ_(k 1),…,ξ_n)相互独立。在证明定理之前,先引述有关的定义及两个结论。定义设y=x(x_1,x_2,…,x_n)是R~n到R~1上的一个映照,若对一切R~1中的波     

一类离散型随机变量的数学期望

命题设随机变量ξ的概率分布为P(ξ=k)=qk-1p(其中0相似文献   

一类最值问题的概率视角

概率是新课程中的热点内容,在概率教学中,适当说明构造概率模型在解题中的运用,体现概率与其它数学内容之间的紧密联系,对增强学生的学习兴趣,加深学生对概率知识的理解,都是很有裨益的.最值问题是中学数学常见问题,文[1]利用向量简捷巧妙的解决了一类最值问题,本文将另辟蹊径,利用一个概率定理求此类最值,以此展示解决此类问题的概率视角,希望对读者有所启发.定理设离散型随机变量ξ的分布列为P(ξ=xk)=Pk,k=1,2,…,n,则Eξ2≥(Eξ)2,当且仅当x1=x2=…=xk=Eξ时等式成立.证明Eξ2-(Eξ)2=∑k=n1x2k·Pk-(Eξ)2=∑k=n1(xk-Eξ)2·Pk≥0…     

构造分布列 巧证不等式

若离散型随机变量ξ的分布列为P(ξ=xi)=pi(i=1,2,…,n),则依方差公式,可得Eξ2≥(Eξ)2.利用这一结论,在证明一些不等式时,若能根据不等式的结构特征,巧妙地构造离散型随机变量,则可另辟蹊径,别具一格地证明不等式.     

关于欧氏空间Cauchy不等式的应用

众所周知在一个欧氏空间里,对于任意的向量ξ,η有不等式; (ξ,η)≤(ξ,ξ)(η,η)这里〈ζ,η〉叫做向量的内积,式中等号当且仅当向量ζ与η线性相关时成立.这是欧氏空间的Cauchy不等式.据此在欧氏空间R~n中可以证明关于数论中的Cauchy不等式: (a_1b_1+a_2b_2+…+a_nb_n)~2≤(a_1~2+a_2~2+…+a_n~2)(b_1~2+b_2~2+…b_n~2)……(1)式中等号当且仅当a_1/b+a_2/b=…=a_n/b时成立.本文将研究不等式[1]的若干应用,     

H~p(Δ~n)类函数的一个表示（英文）

H~p(Δ~n)类函数由它的边界函数在正测度集上的限制唯一确定。本文具体指出这类函数能用它的边界函数在正测度集上的积分来表示,我们证明定理设E是T~n上正测度子集,φ_2如文中(7)—(12)式所定义,则对f(z)∈H~p(Δ~n),1相似文献   

Riemann函数的推广

是一个比较独特的函数,因为从古典分析的观点来看,它具有下面一些不寻常的性质:(1)R(x)在[0,1]上的所有无理点连续,而在所有的有理点不连续,即几乎处处连续。证明见菲赫金哥尔茨著的《微积分学教程》一卷一分册p.146。(2)R(x)在[0 ,1]上R可积证明见上书二卷一分册p.97。(3)R(x)在[0,1]上处处不可导。证明在R(x)的不连续点自然不可导,现没ξ。为R(x)的连续点(即无理点),则必可在(0,1)内选取一无理点列{ξ_n},使ξ_n→ξ。(n→∞),这时,极限     

也谈竞赛不等式的创新证法——利用Eξ^2≥（Eξ）^2证明不等式竞赛题

在文[1]中,给出了竞赛不等式的创新证法——向量内积法．笔者通过研究发现一种新证法——利用Eξ^2≥（Eξ）^2证明不等式竞赛题．因为若随机变量ξ的概率分布为：[第一段]     

利用E(ξ~2)≥(E(ξ))~2巧解多元变量最值问题

根据方差的定义可以推导如下公式:D(ξ)=E(ξ-E(ξ))2=E(ξ2-2ξE(ξ)+(E(ξ))2)=E(ξ2)-2(E(ξ))2+(E(ξ))2=E(ξ2)-(E(ξ))2.因为D(ξ)≥0,所以E(ξ2)≥(E(ξ))2.在求含多元变量最值的题目中,可以根据题目结构特征,巧妙的构造离散型随机变量的概率分布列,利用E(ξ2)≥(E(ξ))2解决问题.例1已知a,b,c∈R,a+2b+3c=6,则a2+4b2+9c2的最小值为.     

构造分布列,巧解竞赛题

Eξ,Dξ分别为随机变量ξ的数学期望与方差.由Dξ=E(-Eξ)2=Eξ2-(Eξ)2≥0,知Eξ2≥(Eξ)2(*),当且仅当ξ可能取的值都相等时取等号.构造随机变量ξ的分布列,利用(*)式解题,方法新颖,运算简便.下面举例说明.一、求最值例1(2005年高中联赛)使关于x的不等式x-槡3+6槡-x≥k有解的实数k的最大值是()     

关于第二积分中值定理的中值ζ的研究

本文对Riemann积分第二中值定理的中值ξ进行了探讨,使之属于一个开区间。文章给出了Riemann—Stieltjes积分第一中值定理: 中的ξ(中值)是属于开区间(a,b)的。本文将证明Riemann积分第二中值定理中的ξ(中值)也有这个结论。     

对一个定理使用的商榷

文[1]中的定理3给出了结论(ii)满足(1)式的中间点ξ=ξ(x)是x的可导函数,其导数为ξ′(x)=f′(x)g′(ξ(x)-f′(ξ(x))g′(x))(x-a)[f″(ξ(x))g′(ξ(x))-f′(ξ(x))g″(ξ(x))]。文[1]在推导此等式时用到了柯西中值定理,本文指出在推导过程中使用柯西中值定理存在的问题,并给出例子对存在的问题作出详细的说明。     

用微分中值定理证明不等式

在高中数学“微积分初步”中导数的应用这一章,讲了拉格朗日中值定理,并给出如下形式: f(b)-f(a)=f′(ξ)(b-a),a<ξ1时,证明不等式e~x>ex成立)就是应用中值定理上述形式证明的。当然,例3     

条件中位数的随机窗宽核估计

本文涉及到条件中位数的随机窗宽核估计,在适当的正则性条件下,我们在定理1中证明了条件中位数随机窗宽核估计ξ_(x n)的渐近正态性,我们也考虑了ξ_(xn)的渐进正态性的收敛速度,定理2提供了速度为O(n~(-1/(d+2))logn),对于ξ_(xn)的Bahader表示被给出在定理3中,这个表示理论的一个涉及到ξ_(x n)的重对数律的应用则作出在定理4中.