数学奥林匹克问题

本期问题图 1　　初 1 53　如图 1 ,在△ABC中 ,∠C =90°,点D1、D2 在边BC上 ,且∠CAD1=∠BAD2 .求证 :AC2AD1·AD2≤ BC2BD1·BD2.(郭　璋　北京市朝阳区教育研究中心 ,1 0 0 0 2 8)初 1 54　已知一个凸 2 0 0 5边形的所有顶点都在边长为 2 0 0 5的正方形内 .证明 :必有两条边的边长之和不大于 8.(王连笑　天津市实验中学 ,30 0 0 74 )高 1 53　若x、y、z都大于 1 ,求证 :x4(y - 1 ) 2 + y4(z- 1 ) 2 + z4(x - 1 ) 2 ≥4 8.(厉　倩　长沙市第十五中学 ,4 1 0 0 0 7)高 1 54　将编号为 1 ,2 ,… ,n(n≥6 )的n个球顺次摆放在圆周…     

数学奥林匹克问题

本期问题 初183 在△ABC中，∠ABC与∠ACB均为锐角，点D、E分别在边AB、AC上，DF⊥BC于点F，EG⊥BC于点G，设BE交DF于点M，CD交EG于点N，BN与CM相交于点P。求证：AP⊥BC。     

数学奥林匹克问题

本期问题 初329如图1,在△ABC中,／ACB=90°,记其外接圆⊙O、内切圆⊙l,的面积分别为S外、S内,⊙O1、⊙O2、     

数学奥林匹克问题

初265在△ABC中,点M、N分别在边AB、AC上,AM=AN,D、E分别为CM、BN的中点,且BD=CE．求证：AB=AC．     

数学奥林匹克问题

本期问题 高383 如图1,在锐角△ABC中,H为垂心,联结AH、BH、CH．△BHC的外接圆为⊙O,以AH为直径的圆与以AB为直径的圆分别与⊙O交于点D、E,延长AE,     

数学奥林匹克问题

本期问题初317在△ABC中,记〈A、〈B、〈C的对边分别为a、b、c,AD为么A的角平分线,与BC交于点D,且AD=BC．证明：     

数学奥林匹克问题

初213 如图1，在△ABC中，AB=AC，AD⊥BC，垂足为D，E为AD的中点，DF⊥BE，垂足为F，CF交AD于点G．求证：EG〈EF．     

数学奥林匹克问题

本期问题 高391 如图1,已知H为△ABC的垂心,⊙O与△ABC的三边BC、CA、AB分别交于点D1和D2、E1和E2、F1和F2,且D、E、F分别是D1D2、E1E2、F1F2的中点,     

数学奥林匹克问题

本期问题图 1　　初 14 7　如图1,在△ABC中 ,AB=AC ,⊙O是它的外接圆 ,BN平分∠ABC ,N在⊙O上 .点E、F分别在边AB、AC上 ,满足EO⊥BN ,EF⊥EO .求证 :AE2 =BE·AF .(黄全福　安徽省怀宁县江镇中学 ,2 4614 2 )初 14 8　试求出所有的有理数r,使得r3 5r2 -4r 1r-2r2 及r3-3r2     

数学奥林匹克问题

本期问题 初189 如图1，在△ABC中，AB：BC：CA=3：5：4，⊙O1、⊙O2是两个互相外切的等圆，且都与边BC相切，其中，⊙O1，又与边AB相切，⊙O2又与边AC相切．已知直线O1O2分别交两圆于点P、Q，分别过点P、Q作BC的垂线，垂足为M、N.求证：NC=2BM．     

数学奥林匹克问题

本期问题 高409 在△ABC中,已知a＋b=3c,其内切圆⊙I与边BC、CA分别切于点D、E,M为D关于点I的对称点,N为E关于点I的对称点,直线AM与BN交于点P.证明：点P在⊙I上．     

数学奥林匹克问题

本期问题初331如图1,在△ABC中,AC〉AB．AB＋AC=2BC,△ABC的重心、内心、外心分别为G、I、D．证明：     

数学奥林匹克问题

本期问题 高387 如图1,已知△ABC的内切圆与三边BC、CA、AB分别切于点D、E、F,AD与朋交于点G．证明：EB平分∠CEF的充分必要条件是FG=4GE．     

数学奥林匹克问题

本期问题初 1 2 5　如图 1 ,图 1△ABC的∠C =90°,延长AC到A′ ,延长BC到B′,使得AA′=BB′ =AB .证明 :从AB的中点O引直线OE ,必过△ABC的内心 .(黄全福　安徽省怀宁县江镇中学 ,2 4 6 1 4 2 )初 1 2 6　试求出所有的正整数对 (a ,b) ,使得ab -a2 +b + 1能整除ab + 1 .(吴伟朝　广州大学理学院数学系 ,51 0 4 0 5)高 1 2 5　若正方形A1A2 A3 A4的中心为O ,⊙O在正方形A1A2 A3 A4内部 ,P为⊙O上任一点 ,P到A1A2 、A2 A3 、A3 A4、A4A1的距离分别为d1、d2 、d3 、d4,则d3 1+d3 2 +d3 3 +d3 4为定值 .(徐　道　江苏省如皋…     

数学奥林匹克问题

初247 设有n张同样大小的正方形卡片,分别写着一个正整数,这n个正整数是连续的两位数,这些两位数的和等于首末两项“合成数”（如1＋2＋…＋5=15,4＋5＋…＋29=429）．如果卡片的边长是大于1的整数,这些卡片面积的和为2009,那么,卡片上写的是哪此数？     

数学奥林匹克问题

本期问题 初271已知在分数112/19和112＋x/19＋x之间只有三个正整数．求整数x的一切可能值的和． 初272从正方形的顶点及各边中点这八个点中选取三个点,可组成多少个等腰三角形？     

2010罗蒙诺索夫数学奥林匹克

1．解不等式 （√3-√2）^（log2 3）4-x^2≤（√3＋√2）^-（log3 2）^2x-1.2．在等腰△ABC的底边AC上取一点E,分别在两腰AB、BC上取点D、F,使得DE／／BC,EF／／AB．若BF：EF=2：3,问：△DEF的面积占△ABC的面积的几分之几？     

数学奥林匹克问题

初355如图1,已知正方形ABCD的边长为1,对角线AC与BD交于点0,E为边BC延长线上一点,联结AE,分别与BD、CD交于点P、F,联结BF并延长,与线段DE交于点G,联结OE与CD交于点S．若PS//AC,求BG的长．