第46届IMO两道试题另解

题1 设a1，a2，…是整数序列，其中有无穷多项为正整数，也有无穷多项为负整数．假设对每个正整数n，数a1，a2，…，an被n除的余数都各不相同．证明：在数列a1，a2，…中，每个整数都刚好出现一次．     

一道第50届IMO试题的探究

2009年第50届IMO的第6题是一个组合问题： 设α，α2，…，an是互不相同的正整数．M是有n-1个元素的正整数集，且不含数s=a1＋α2＋…＋an．     

第50届IMO试题

第一天 1．设n是一个正整数,a1,a2,…,ak（k≥12）是集合{1,2,…,n}中互不相同的整数,使得对于i=1,2,…,k-1,都有n｜ai（ai＋1-1）．     

第54届IMO预选题（四）

数论部分 1．求所有函数f：Z＋→Z＋,使得对于所有正整数m、n,均有（m^2＋f（n））｜（mf（m）＋n）．     

第50届IMO试题解答

1．设n是一个正整数,a1,a2,…,ak（k≥2）是集合{1,2,…,n}中互不相同的整数,使得对于i=1,2,…,k-1,都有n｜ai（ai＋1-1）．证明：n ak（a1-1）．     

用一个推广的命题证明第50届IMO第6题

题目 设a1,a2,…,an是互不相同的正整数.M是有n-1个元素的正整数集,且不含数s=a1＋a2＋…＋an.一只蚱蜢沿着实数轴从原点0开始向右跳跃n步,它的跳跃距离是a1,a2,…,an的某个排列．证明：可以选择一种排列,使得蚱蜢跳跃落下的点所表示的数都不在集合M中．     

第52届IMO预选题（一）

代数部分 1．本届IMO第1题． 2．求所有正整数数列x1,x2,…,x2011,使得对于每个正整数n,都存在整数a满足     

第52届IMO预选题（二）

组合部分1．本届IMO第4题．2．设1000名学生围成一个圈．证明：存在正整数k（100≤k≤300）,使得在此圈中存在相邻的2k名学生,满足前面的k名学生与后面的k名学生中包含女生的数目相同．     

第51届IMO预选题（四）

数论部分 1．求最小的正整数n,使得存在n个不同的正整数s1,s2,…,sn,满足     

第50届IMO试题

第一天 1。设n是一个正整数,a1,a2…,ak(k≥2)是集合{1,2,…,n}中互不相同的整数,使得对于i=1,2,…,k-1,都有n|ai(ai+1-1).     

一道IMO预选题的另证

题目 对于整数m,在{1,2,3}中存在唯一的一个数t（m）,使得m＋t（m）是3的倍数．函数f：Z→Z满足f（-1）=0,f（0）=1,f（1）=-1,且对于所有满足2n〉m的非负整数m、n,有     

第45届IMO第5题的简证

题目 在凸四边形ABCD中，对角线BD既不是∠ABC的平分线，也不是∠CDA的平分线，点P在四边形ABCD内部，满足∠PBC=∠DBA和∠PDC=∠BDA．证明：四边形ABCD为圆内接四边形的充分必要条件是AP=CP。     

第42届IMO第五题的推广

第 42届IMO第五题是 :在△ABC中 ,AP平分∠BAC ,交BC于P ,BQ平分∠ABC ,交CA于Q .已知∠BAC =60° ,且AB +BP =AQ +QB .问△ABC各角的度数的可能值是多少 ?先求解 ,再给出更一般的结论 .图 1解 :如图 1,在AB的延长线上取点D ,使得BD =BP ;在AQ的延长线上取点E ,使得QE =QB .连结PD、PE ,则AD =AB +BP =AQ +QB =AE ,且　△ADP∽△AEP .故∠AEP =∠ADP =12 ∠ABC =∠QBC ,即　∠QEP =∠QBP .下面的证明中要用到如下的引理 .引理　等腰△ABC中 ,AB =AC ,平面内一点P满足∠ABP =∠ACP ,则点P在BC的…     

一道IMO预选题的简解

题目　已知x≥y≥z>0 .求证 :x2 yz +y2 zx +z2 xy ≥x2 +y2 +z2 .这是第 3 1届IMO的一道预选题 ,原解答较繁 ,且技巧性强 ,这里给出一个相对简洁的证法 .证明 :由Cauchy不等式 ,有x2 yz +y2 zx +z2 xyx2 zy +y2 xz +z2 yx≥(x2 +y2 +z2 ) 2 .观察上式知 ,如有x2 yz +y2 zx +z2 xy ≥x2 zy +y2 xz +z2 yx ,则问题得证 .通分移项 ,有x3 y2 -x2 y3 +y3 z2 -y2 z3 +x2 z3 -x3 z2 ≥0 .①故只须证式①成立 .x3 y2 -x2 y3 +y3 z2 -y2 z3 +x2 z3 -x3 z2=x2 y2 (x-y) +y2 z2 (y-z) +x2 z2 (z-x)=x2 y2 (x -y) +y2 z2 (y -z) +x2 z2 ·(z-y +y -x)…     

第42届IMO题6的几何证法

第42届IM0的第6题，是一道脍炙人口的数论题．本提出一种几何法证明，以求教于各位同行。     

一道IMO预选题的探讨

第46届IMO预选题几何部分的第7题为： 在锐角△ABC中，点A、B、C在边BC、CA、AB上的投影分别为D、E、F，点A、B、C在边EF、FD、DE上的投影分别为P、Q、R．记△ABC、△PQR、△DEF的周长分别为P1、P2、P3．证明：[第一段]     

第39届IMO预选题8的简证

题目:在△ABC中,∠A=90°,∠B<∠C。过点A作△ABC的外接⊙O的切线,交直线BC于D,设点A关于BC的对称点为E,作AX⊥BE于X,Y为AX的中点,BY与⊙O交于Z。证明:BD为△ADZ的外接圆的切线。 证明:如图1,连AE交BC于F,连FY、FZ、EZ、ED。 ∵点A与点E关于BC对称, ∴AF=EF且AF⊥BD。