亦真亦幻话悖论

人们通常认为“数学真理是绝对真理”,“数学是逻辑推理严格性的典范”,然而正是在数学的严密中却隐藏着一颗定时炸弹——悖论。它不定时地引爆,一次又一次地引发数学危机,而危机的克服又无一例外地引起数学深刻的变革。因此,数学悖论以其神秘、深奥     

模糊集：“谷堆悖论”和“秃头悖论”的终结者

“谷堆悖论”和“秃头悖论”产生于古希腊,受限于数学理论和方法,两千多年以来一直未得到有效解决。近代以来,随着数理逻辑的产生和发展,特别是皮尔斯的模糊性定义和卢卡西维奇的多值逻辑思想的出现,为两个悖论的解决迎来了曙光。在卡普兰和肖特的广义特征函数的基础上,在门格尔基于概率定义的模糊集的铺垫下,在系统理论里“共密”的不确定性问题的激励中,扎德通过隶属(特征)函数创立了模糊集合论,不仅一举解决了长期困扰人们的“谷堆悖论”和“秃头悖论”,还推动了一门新兴的数学分支——模糊数学诞生。     

数学基础理论中的千古悬案——科学哲学——芝诺悖论、贝克莱悖论和罗素悖论新解

结合新发现的经典无穷观和与之相关的经典数量体系中所存在的缺陷,从基础理论学的新思路,分析、揭示了悬而未决的芝诺悖论、贝克莱悖论和罗素悖论这三大悖论家族所暴露的自古以来就存在于数学基础理论中与“有穷-无穷”概念相关内容的缺陷,并认为,自古以来由于受“重形式-轻本体”这种错误思路的影响,数学与科学哲学基础理论中与“有穷-无穷”概念相关的那部分内容非常薄弱,导致了三大悖论家族的产生与不断繁荣壮大,使人们无法真正认清这三大悖论的本质,从而决定了由它们所揭示的问题在现有科学理论体系中一直无法得到解决．     

“撒谎者悖论”的历史悖谬

悖论即无论假定其真或假,都可必然推出与假定相矛盾的结论的命题。本文根据悖论的这一基本性质,以《GEB——一条永恒的金带》,《数学小辞典》两书中的讹传为例,对“谎撒者悖论”的古典表述及其结构进行了系统的分析。指出历来被人们当作悖论的“撒谎者悖论”,如假定其原始命题为假,并不能必然推出与假定相矛盾的结论((?)—/→P),故而它不具备作为悖论的基本条件,不是严格意义上的逻辑悖论。进而揭示了造成这一历史误会的根源,并尝试纠正这一错误,给出“撒谎者悖论”的正确表达式。     

数学悖论价值浅析

悖论是一个涉及数学、哲学、逻辑学等学科的非常广泛的论题.而其中的数学悖论对数学的发展更是有着重要的影响.本文阐述了,数学悖论产生的原因、历史及现状,并分别探讨了数学悖论在基础数学研究中的价值以及它在数学教学中的教育价值,从另一个角度发掘数学悖论的价值所在.     

浅论数学悖论的积极意义

数学悖论是指在当前的数学学科理论体系下由一些“正确”的事实或“可接受”的约定出发。经过严密正确的逻辑推理得到的矛盾的数学结论。它既具有极强的思辨品格，又具有浓厚的幽默色彩。对基础数学的发展起着重要的作用。本文通过揭示数学悖论的认识根源、思维特色，挖掘出数学悖论的积极意义，进而激发学生对数学探索的情趣。     

逻辑数学悖论及其解决

逻辑--数学悖论是指仅借助于逻辑和数学的符号而得以构造的悖论.从历史发展看,其主要是指布拉里--福蒂(Burali-Forti) 悖论,康托悖论和罗素悖论,它们分别是在1897、1899及1902年提出的.逻辑--数学悖论的出现,明确地表明素朴集合论中包含有逻辑矛盾.解决逻辑--数学悖论,必须对康托的素朴集合论加以限制,特别是必须抛弃前面所提到的概括原则.按策梅罗的研究成果,只须对公理适当地加以选择,就可做到既能使新建立的集合论能成为数学的基础,同时又能确保新的理论不会导致悖论.     

浅议集合论悖论

悖论的出现引起了数学领域的三次危机,特别是集合论悖论的出现所引发的第三次数学危机对数学界的震动最大、影响最深.数学家和逻辑学们在寻求解决办法的过程中形成了各种的学派,在不同领域促进了数学和其他科学的发展.     

论说谎者悖论和罗素悖论的辩证矛盾本质

论说谎者悖论和罗素悖论的辩证矛盾本质刘高岑人们公认悖论可以分为两类：语义悖论和逻辑—数学悖论。最典型最深刻的语义悖论是说谎者悖论;而罗素悖论则被认为是逻辑—数学悖论的典型代表。关于这两个悖论,国内主要有三种观点。一种观点认为这两个悖论都是“混淆了部分...     

说谎者悖论及其解决

<正>说谎者悖论是一个具有逻辑和认识论意义的极古老的悖论，从来为逻辑学者所关注和研究。进入二十世纪，由于陆续发现了许多新的类似的悖论，直接危及经典的逻辑和数学理论的可靠性，这个悖论得到更认真的对待。如今习惯上把这些悖论分为两类：集合论悖论和语义学悖论。说谎者悖论与其他若干悖论一起，由于分别涉及“真”、“假”、“云谓”、“指称”、“定义”等逻辑语义学概念而被归为语义学悖论，它是其中最有代表性的一个。为解决这个悖论，历史上提出了各种各样的理论，本世纪逻辑学家则立足于现代逻辑提出许多解决方案。所有这些努力都促进了逻辑的发展。但是，这个悖论本身（一般地说，语义学悖论）一直没有得到无可争议的解决，至今仍在不断地探索和研究。     

质疑"悖论的统一模式定理"分析悖论的方法

蒋星耀先生的“悖论的统一模式定理”是近年来出现的一种新的解决悖论的方法,然而该定理的原作者在应用这一定理分析悖论逻辑问题时,却存在严重的逻辑缺陷,使得千百年来探求解决悖论方法的旅途中出现在我国上空的一线希望之光又被乌云遮住了.我们有必要对蒋星耀先生的“悖论的统一模式定理”及其分析悖论的方法再作进一步的讨论,并对理查德悖论、罗素悖论、说谎话悖论等悖论的成因提出新的分析方法.     

数学悖论奇观

数学悖论出现是因为数学知识体系不完备造成的,每一个悖论的解决都是一次数学的飞跃。所以在中学数学教学中适当讲几个悖论,有助于激发学生兴趣。下面辑录几则生动而奇妙的悖论,其中的奥妙留给读者去思考。     

芝诺悖论与秃头悖论比较研究

古希腊时代产生的芝诺悖论和秃头悖论,引发了哲学、逻辑、数学和物理等领域的学者们广泛而持久的讨论.学界对这两个悖论的研究往往是分开进行的,对它们之间的内在关联并未给予充分的关注.芝诺悖论旨在拒斥"动",秃头悖论意在否证"多",两者的共同旨归是要论证本体"being"的"静"和"一"的本质.这两个悖论所涉及的认知对象之潜无限和实无限的问题,至今仍是学界研究的难题.它们还同时涉及数学归纳法的合理性问题,即对认知对象的"质"进行归纳的方法能否适用于对"量"的归纳.以逻辑悖论的语用学性质重新审视这两个古老悖论,并作贯通研究,对于推进当代哲学认识论特别是对潜无限和实无限问题的认识,乃至于推动具体科学理论创新都具有重要的认知价值.     

悖论对数学发展的影响

通过对数学史上一些重要悖论的分析说明“悖论的产生———悖论的解决———新悖论的产生”这个循环过程是数学思想和方法获得重大发展的过程。     

罗素悖论

1902年,英国哲学家兼数学家Russeu(1872-1970)提出了“罗素悖论”,揭示出集合论本身存在的矛盾,从而动摇了整个数学大厦的基础.通俗地说,罗素悖论就是:一个乡村理发师宣称,他只给自己不刮脸的人刮脸,不给自己为自己刮脸的人刮脸.有一天人们问     

趣谈数学中的魔术——悖论

悖论也叫逆论 ,或反论 ,它包括一切与人的直觉、经验或客观事实相违背的种种问题或论述 .悖论有三种主要形式 :1 一种论断看起来好像肯定错了 ,但实际上却是对的 (佯谬 ) ;2 一种论断看起来好像肯定是对的 ,但实际上却错了 (似是而非的理论 ) ;3 一系列推理看起来好像无懈可击 ,可是却导致逻辑上自相矛盾 .悖论有点像魔术中的变戏法 ,它使人们在看完之后 ,几乎没有一个不惊讶得马上就想知道 :“这套戏法是怎么搞成的 ?”当把技巧告诉他时 ,他就会不自觉地被引进深奥而有趣的数学世界之中 .悖论不仅有趣 ,在数学发展史上也产生过重要影响 …     

几个有趣的概率悖论

话说在萨维尔村,有个理发师挂出了一块招牌“:我只给村里所有那些不给自己理发的人理发.”有人就问他“:你给不给自己理发?”理发师顿时无言以对.因为如果理发师不给自己理发,他就属于招牌上的那一类人,有言在先,他应该给自己理发.反之,如果这个理发师给他自己理发,根据招牌上所言,他只给村中那些不给自己理发的人理发,他就不能给自己理发.因此,无论这个理发师怎么回答,都不能排除内在的矛盾.这个有趣的故事就是悖论的典型例子.所谓悖论,是一个逻辑学的术语,是指那些会导致逻辑矛盾的命题或论述.数学中经常有各种各样的悖论,有些甚至在数学…     

说导致悖论教学法

说导致悖论教学法费宏（江苏省武进市奔牛中学，２１３１３１）一、什么是悖论悖论是逻辑学的名词．在古希腊，悖论被称为“疑难”，意思是：“无路可走”．当代，对它有着不同的理解，如在物理学中，悖论常译作佯谬．实践证明物理学的发展都与悖论的研究有直接的关系．如...     

集合悖论再议

集合悖论的出现引发了世界数学界的震惊,史称第三次数学危机。针对集合论初创阶段逻辑结构还不够完善现象,数学家们尝试从逻辑上去寻找问题的症结,ZFC公理集合理论的提出,暂时避免了引发数学史上集合悖论的出现,但也不能说,危机就此完美解决。悖论破译的过程就是数学大发展之时,ZFC公理集合理论、模糊数学、集对分析等分支就是探索一种解决和处理集合的新方法。集对分析仍处于发展之中,若将经典微积分求系统变化率与集对分析理论求层次演化率相结合研究,定会促进集对分析向前发展。     

悖论及其意义

悖论是属于领域广阔、定义严格的一个数学分支，具有重大的理论价值和教育学价值。教师在数学教育中引入悖论，可以激发学生学习数学的兴趣，领会数学的深刻思想，提高对现代数学所具有的美妙、多样甚至幽默性质的鉴赏力。