从一道命题谈平面几何的证题方法

直接证法(分析法和综合法)、间接证法(反证法和同一法)是平面几何中常用的基本证题方法。因此,在学习几何过程中要熟练掌握这些证法,弄清它们的证法特点,证题思路,证题步骤和书写格式。我在复习平面几何时,从几道题的多种证法入手,举一反三,觅其规律,把这几种常用的证法几乎都串起来了。现举一例,略加阐述.命题:已知△ABC,M、N分别为AB、AC中点,求证MN∥BC.一、直接证法1.综合法证明:如图1,延长MN至F,使NF=MN,连结CF.     

证两直线垂直的思路分析

平面几何中的两直线垂直问题,由于命题背景广泛,蕴含的知识丰富,近年来在各类数学竞赛题中常常出现.本文旨在帮助同学们理清此类问题的证题思路,掌握此类问题的一些常规的证明方法. 1.利用图形中已知直角证明根据两直线垂直的定义,要证两直线垂直只需证明这两条直     

用反证法证平面几何题

平面几何中有些命题的成立显而易见,但要从正面入手却很难甚至不能得证．正难则反,不妨试用反证法．用反证法首先要假设待证结论不成立,即承认结论的反面成立．然后以此为条件,结合题设条件进行逻辑推理,导出与已知条件或定义、公理、定理相矛盾的结论．即否定结论的假设是错误的,进而命题得证．以下用反证法证明的几例平面几何题．     

略谈旋转法在平面几何证(解)题中的应用

平面几何的证(解)题过程．就是从已知条件入手,运用有关的公理、定理、定义及运算法则等,通过一定的数理逻辑关系,推导出欲证(解)问题的过程。     

用坐标法解2004年联赛二试平几题

2004年全国初中数学联赛第二试中A、B、C三卷中的第二道题,几乎是相同的一道平面几何题,标准答案采用构造平行四边形的方法,证出了结论,而且三道题所用的证法也不尽一     

关于a~2/b~2=c/d的几何证题思路

在平面几何中,相似形、圆的证题因题型多变、难度较大,对于一个学过几何的人来讲,如果能独立完成中等难度的几何证题方法,那么就可以说平面几何学得不错了.我们平时遇到的平面几何问题,有时可采取归类证题,在几何证题中,     

一道IMO竞赛题的证明与引伸

第二十六届IMO第五题是一道优秀的平面几何题,一般的证法使用根轴,本文的证法比较简捷,在引伸和发展中,这种证法也基本适用。下面我们先证明这个问题,然后引伸和发展这个问题。圆O经过△ABC的顶点A和C,且与边AB、BC分别交于k和N,K与N不同,△ABC与△BKN的外接圆相交于B和另一点M,求     

关于用反证法证题的探讨

在初中教材里,对于一个几何命题,当用直接证法比较困难时,可以采用间接证法,它是证明原命题的逆否命题成立从而推出原命题成立的证法,当我们由已知命题的条件去求证结论不易着手时,而改证它的逆否命题,反证法证题的思路实际是: 公理或定义 或与公理、定义抵触 证明的定理 或与证明的定理不容 题设条件 或与题设条件冲突 否定结论 或与假设相违背,或自相矛盾 因此结论不能否定,所以结论一定成立。 反证法证题的一般过程可概括为: 否定结论ABC(而C不合理)结论成立。 然而,命题结论的相反情况可有一种或多种,据此反证法可分为归谬法和穷举法。下面,就初中课本几何二册七章六节“圆内接四边形”的习题举例说明如下:     

反证法初探

数学中有些命题难于用直接证法来证,这时可用间接证法来证明,反证法就是间接证法的一种。一、怎样正确运用反证法运用反证法来证题,其具体过程可分如下四步: (1)从已知条件和原命题结论不成立的假设出发,即否定命题结论 A B C;     

添设辅助线再议

在解平面几何题时,除少数简易的命题以外,多数命题如不添设辅助线,不论是解题还是证题都无从着手,而添设输助线犹如平面几何证题一样,千变万化,似乎无一定的方法可循。然而,如果我们以证题分析为着眼点,添设辅助线两大目标为中心,那么,辅助线的添设还是有章可循,有法可依。我们不妨在此一试。添设辅助线有两个目标:其一,聚拢已知关系的图形或欲求证关系的图形于同一图形     

添加辅助圆证平面几何题

辅助线是沟通几何命题中已知条件和求证结论之间的桥梁，因此添加辅助线是几何证明中的重要手段，对有些题甚至是不可缺少的手段.关于辅助线，通常有直线（包括联线、射线、平行线、垂线、圆的切线等）和圆.本文想说明在证（解）题中，如能正确添加辅助圆后，便能使一类几何题得到顺利解决的实例，以供同行在教学上参考.例1在四边形ABCD中，AB∥CD，BC＝a，AB＝AC＝AD＝b，求BD的长.分析：根据已知条件AB＝AC＝AD＝b，容易想到B、C、D三点在以A为圆心，b为半径的圆上.由此，得到下面解法：解以A为圆心，b之长为半径画圆∵B、C…     

例析运用辅助线解决与“角平分线”有关的问题

解证几何问题往往需要在图形中添加辅助线,沟通已知条件和隐藏条件;使分散的条件集中,便于运用图形的性质;辅助线甚至可以将原有命题转化,变为易证的新命题。“角平分线”是平面几何中一个重要的概念,它往往作为一个条件存在于三角形、四边形、函数图象等相关命题中。在解证平面几何问题时,“角平分线”往往就是要作一种辅助线。     

来稿综述

本刊在1988年第3期上发表了崔永生同志的《证明条件不等式的一种方法——调整法》(简称《调整法》)一文,并在同年第6期上指出了《调整法》一文中的错误。在这个期间陆续收到不少读者来稿,现将来稿综述如下: 来稿都指出,《调整法》一文中的三个例题。除例1的证法二外,作者在对已知条件进行调整后,改变了己知条件,因而使所证命题只是待证命题的部分情形。例如在例1的证法一中令     

运用联想求证几何题

应用联想法证题时,要联想命题所涉及的定义、定理和性质,充分发挥其作用,发现证题途径;联想已证命题,通过新旧命题的联系,利用旧命题的证法,寻求新命题的证明方法;有些命题用几何证法困难时,联想其他证明方法,如同一法或代数法或反证法等.     

捕捉结构信息 妙解几何习题

本文试以一道典型的平面几何证明题为例 ,从求证结论的结构特征入手 ,通过构造几何模型来解决问题 .目的在于开拓思路 ,引导创新 .已知 :在△ ABC中 ,∠ A =2∠ B,a、b、c为∠ A、∠ B、∠ C的对边 ,求证 :a2 =b2 + bc.本题通常采用“作线段 b + c,构造相似三角形”或“综合运用角平分线、合比、相似等性质”来证 .笔者对本题作了较为深入的探讨 ,发现了许多新颖、巧妙的证法 ,现将较为典型且具有代表性的证法介绍如下 ,供读者参考 ,以期起到抛砖引玉的作用 .1　构造相交弦定理模型思路 1　原结论可变形为 ( a + b) .( a -b)= b .c,,于…     

分析法与综合法相互配合探究不等式的证明思路

<正>用综合法证明命题有时不易发现证明思路,因为综合法需要对题设条件进行综合推敲、理解、探究才可找出证明思路,所以综合法证明命题有时不一定能够成功。此时,可以从所要证明的结论出发,以后每步要求可逆或等价,也就是逐步寻求使该命题成立的充分条件,就像这样执果所因的思考和证明方法被称为分析法,分析法的优点是不需要对题设条件进行分析探究,只需从所证明的结论出发,一步步可逆或等价推出已知成立的结论。但是,当所要证明的问题比较复杂     

学会用分析法与综合法思考问题

很多同学反映，学习平面几何时，课堂上老师讲证明题时听得懂，但自己却做不来．一看到证明题，不知从何着手．这说明同学们还没有掌握几何证明的思考方法．我们学习数学的目的决不能停留在上课听得懂上，也就是说，我们向老师学的决不是在老师那儿拿“几袋干粮”的问题．而是要学习老师的证题方法是怎样想出来的，即从老师那里“拿到解题的钥匙”．这样才能主动地打开知识的大门．分析法与综合法是一种重要的思想方法．它可队帮助我们找到解题（证题）的途径．什么是分析法呢？简单地说，分析法就是在证题时从结论出发，去寻求结论成立的条…     

初中平几中发散思维的培养与训练

在初中平面几何中,加强对学生发散思维的训练与培养,能大大提高学生推理论证的能力.如何来培养与训练学生的发散思维呢?笔者认为,可从以下几方面着手.一、在平面几何的入门教学中,从条件发散,提取有用信息.在初中平面几何的入门教学过程中,若教会学生从条件出发,可使学生少走弯路,提高推理论证的能力.例1:如图:已知AB‖A′B′,∠1=∠2,求证:BC‖B′C′此题中,由平行线的性质,从已知条件AB‖A′B′发散思维可得(1)∠1=∠3,(2)∠1=∠4,(3)∠1 ∠5=180°,再根据已知条件∠1=∠2,即可得三种不同的证法.证明:(略)这样进行发散性分析,学生都觉得易懂易学,笔者曾在所任教的初一(3)班作过调查,在讲了上述例题后,请学生思考下面的题目.     

推广命题初探

一个命题由条件和结论两部分组成,把一个已知命题的条件由特殊推广到一般,或者同时把条件和结论进行适当推广,如果所得新命题为真命题,我们就把新命题称为推广命题,简称推广题,原来的已知命题则称为原命题。在有必要和可能对一个已知命题进行推广时,我们总是先找出这个命题的条件或结论中的某个关键因素,然后把它作为类概念,推广到与它最邻近的种概念,或者在该关键因素所在的集合内,把元素的个数推广到n个,从这个考虑出发,我们把中学数学中常见的推广题分为如下几类(以下推广命题的证明一般从略)。     

分析法在探究辅助线中的应用

<正>在平面几何的解题与证明过程中,除去极少量过于简单的命题外,一般需要添加有效的辅助线.为了促使证明一些复杂的几何问题变得简单化,需把原题图中某些无法融合在一起的条件利用合理的辅助线进行有效的整合.在解题教学中,分析法能够以自然的方式梳理解决问题的疑难环节,不会产生所谓"无从落笔"之感.基于此,本文对于分析法在探究平面几何添加辅助线中的价值做了一些探索.一、分析法的涵义所谓分析法,从性质上来说是一种思考证题路径的方法;从因果关系之顺