凹四边形的一个性质及其应用

本文介绍凹四边形的一个性质的四种证法及应用,供初一或初二学生学习时参考.一、凹四边形性质如图1,试说明∠BOC=∠A+∠B+∠C.解1如图2,延长BO交AC于D,则由三角形外角性质得∠BOC=∠C+∠ODC,∠ODC=∠A+∠B.所以∠BOC=∠A+∠B+∠C.     

一道习题的证明及应用

习题如图1,设∠BOC=α,求证:α=∠A+∠B+∠C.证明延长 BO交 AC 于点 D.∵α是△COD 的外角,∴α=∠1+∠C.∵∠1是△ABD 的外角,∴∠1=∠A+∠B.∴α=∠A+∠B+∠C.巧用这道习题的结论,可迅速地解答一些与角有关的计算题.     

凹四边形的一个性质及其应用

1．凹四边形的性质如图1,在凹四边形ABOC中,有∠BOC=∠A ∠B ∠C．证明如图2,连结AO并延长,则由三角形外角性质得∠1=∠3 ∠B, ∠2=∠4 ∠C,     

巧用基本图形解题

在几何中,基本图形是较复杂图形的基础,抓住一些基本图形的特性,许多几何问题常可迎刃而解,现举一例说明.如图1,线段AB、CD相交于点P,则∠A+∠D=∠B+∠C.这是一个很有用的基本图形,由于这两个三角形有一个角是对顶角,因此我们常称它为对顶三角形.其性质(图1中∠A+∠D=∠B+∠C)很容易得到.应用这一基本图形及其性质可以巧解许多问题.一、寻找基本图形解题例1如图2,求∠A+∠B+∠C+∠D+∠E+∠F的度数.解:显然∠A+∠B=∠2+∠3,∠C+∠D=∠1+∠2,∠E+∠F=∠1+∠3,所以∠A+∠B+∠C+∠D+∠E+∠F=2(∠1+∠2+∠3)=2×180°=360°.二、构…     

处理二倍角问题的一种常用方法

引例如图1,∠DAC是△ABC的一个外角,且∠DAC=2∠B.求证:△ABC是等腰三角形.证明:因为∠DAC=∠B+∠C,∠DAC=2∠B,所以∠B=∠C,即△ABC是等腰三角形.     

观察·实验·猜想·验证

全日制义务教育《数学课程标准》中明确指出:教学过程中应让学生“经历探索物体与图形基本性质、变换、位置关系的过程”“在探索图形的性质、图形的变换等活动过程,初步建立空间观念,发展几何直觉.”那么,如何实现这一目标呢?本文仅以教材中命题的探究为例,谈点粗浅做法.例1　如图1,△ABD和△ACE均为等边三角形,边结BE、CD.1求证:BE=CD;2求∠BOC度数(人教版《几何》二册p.113第13题).教师导学生观察、分析,不难发现△DAC≌△BAE,故BE=CD;怎样求∠BOC呢?因为△DAC≌△BAE,故∠1=∠2;又因△ABD为等边三角形,故∠2 ∠3=∠4=60…     

由一个基本图形导出的重要结论

初中《几何》中有这样一个基本图形:如图1,D是AB上一点,E是AC上一点,BE、CD相交于点F.由这个基本图形我们可以得到这样的结论:∠BFC=∠B ∠A ∠C.证明这一结论成立的方法很多,现给出两种常见方法:方法一:连结AF并延长到M,则有∠BFM=∠B ∠BAM,∠CFM=∠C ∠CAM,∴∠BFC=∠BFM ∠CFM=∠B ∠BAC ∠C.方法二:由∠BFC=∠B ∠BDC,∠BDC=∠A ∠C,有∠BFC=∠B ∠A ∠C.图1及上述结论在解题中有着广泛的应用.现举几例说明.例1如图2,求∠A ∠B ∠C ∠D ∠E的度数.解:如图2,设BD与CE交于点F,由本文中基本图形导出的结论…     

一图多题话中考

<正>中考数学试卷中的许多综合题,大多是以一些基本图形与核心概念性质为基础而构成的.比如K型图与相似就是其中一类.1.基本图形如图1,若∠A=∠B=∠DEC=α,则△ADE∽△BEC.当α=90°,就是图11;当α<90°,就是图12;当α>90°,就是图13.反过来,只要△ADE∽△BEC,就一定有∠A=∠B=∠DEC.这样的基本图形是比较流行的一个基本模型,我们将这种图形统称为K型图.     

关于勃罗卡角的几个问题

设P为△ABC内一点,且上∠PAC=∠PCB=∠PBA=α,则称P为△ABC的勃罗卡点,α为勃罗卡角,(如图1).作为平面几何的亮点名角,二者相辅相存,交相辉映.多层次剖析、全方位透视勃罗卡角,既可以欣赏其优美,领略其精采,又可以激发学习兴趣,磨炼钻研意志.一、勃罗卡角的性质及推论二、性质 如图1,设P为△ABC的勃罗卡点,α为勃罗卡角,则ctgα=ctgA ctgB ctgC勃罗卡角的这一性质定理,证法很多,这里只用一种方法证之.证明:∵∠BPC=∠A ∠C=180°-∠B同理上:∠APB=180°-∠A,∠CPA=∠180°-∠C∴ 在△BPC、△APB中用正弦定理可得:     

巧用圆的一个几何性质,速解一类立体几何题

我们知道:在圆中一条弦(在弦的同侧)所对的圆周角大于圆外角.本文将利用这个性质先证明一个定理,再举例说明该定理的应用.图1定理如图1,若PA⊥平面ABC,则∠BAC>∠BPC.证明作△ABC外接圆,又因为BP>BA,CP>CA,所以若将△PBC翻折到与△ABC共面,则A点在圆上,P点必在圆外,且A点、P点在弦BC的同侧.由圆的性质可知:∠BAC为圆周角,∠BPC为圆外角,且这两个角都在弦BC的同侧,故∠BAC>∠BPC.下面举例说明该定理的应用.图2图3例题如图2所示,A是△BCD所在平面外一点,AB=AD,∠ABC=∠ADC=90°,E是BD的中点.(1)求证:平面AEC⊥平…     

凹四边形的一个性质及其应用

本文介绍凹四边形的一个性质的四种证法及应用,供初一或初二学生学习时参考． 一、凹四边形性质 如图1,试说明∠BOC=∠A＋∠B＋∠C．     

凹四边形的一个性质及其应用

如图1,在凹四边形ABCD中,求证:∠BDC=∠A+∠B+∠C.同学们可利用三角形外角性质或平行线的性质,探索出以下添辅助线的方法:     

活用“规形”性质求角度之和

有这样一道题,已知:如图1,O是ABC内任意一点,试说明:∠AOB=∠1+∠2+∠C(留给同学们思考)。我们可以由这个图形中抽出“”,它形如圆规状,就把它叫做“规形”(如图2),由上可知∠BOC=∠A+∠B+∠C就是“规形”的性质。现就用“规形”这一性质来求角度之和。∴∠A+∠B+∠C+∠D+∠E+∠F=360°.例2如图4,求∠A+∠B+∠C+∠D+∠E的度数。解:由“规形”图可知,ABOC为“规形”,由性质得∠1=∠A+∠B+∠C又∵∠1=∠2而∠2+∠D+∠E=180°∴∠A+∠B+∠D+∠E=180°.例3如图5,求∠A+∠B+∠C+∠D+∠E的度数解:由“规形”图可知,ACOD为“规…     

等腰三角形新题型解析

本文就等腰三角形的三类新题型解析如下,供同学们学习时参考.一、从已知图形中数等腰三角形的个数例1如图1,在△ABC中,AB=AC,∠A=36°,BD、CE分别为∠ABC与∠ACB的角平分线,且相交于点F,则图中等腰三角形有()A.6个"B.7个"C.8个"D.9个(天津市中考题)解:因为AB=AC,∠A=36°,所以易求得∠1=∠2=∠3=∠4=36°,∠5=∠6=∠7=∠8=72°,从而图中共有8个等腰三角形,即:△ABC、△FBC、△BCD、△CBE、△DAB、△EAC、△CDF、△BEF.故应选C.二、从已知图形中找构成等腰三角形的点例2在等边△ABC所在的平面内求一点P,使△PAB、△…     

“燕尾图”变形记

<正>问题提出如图1,是一个"燕尾图",∠α,∠β,∠γ,∠1之间存在着怎样的关系呢?问题探究:延长BD交AC于点E.因为∠1是△CDE的一个外角,所以∠1=∠CED+∠γ,又因为∠CED是△ABE的一个外角,所以∠CED=∠α+∠β,所以可得∠α,∠β,∠γ,∠1之间的关系是:∠1=∠α+∠β+∠γ.下面让我们一起感受这种"燕尾图"变形带来的无限魅力吧.变形一比较大小     

八年级数学单元测试题（课标人教版）

一、填空题(每空2分,共18分)1.两个能够完全重合的图形称为____________,全等图形的__________和大小完全相同.2.如图1,若△OAD≌△OBC,且∠O=65°,∠C=20°则∠OAD=_____________.3.如图2,已知AB=AD,∠1=∠2,要使△ABC≌△ADE,还需添加的条件是(只需填一个)____________.4.如图3,P是∠AOB的平分线上一点,PC⊥OA于C,PD⊥OB于D,则图中相等的线段有__________________.5.在Rt△ABC与Rt△A′B′C′中,∠C=∠C′=90°,∠A=∠B′,AB=A′B′,则下列结论①AC=A′C′,②BC=B′C′,③AC=B′C′,④∠A=∠A′中,正确的是____…     

提炼“3R图式” 巧解中考试题

<正>问题如图1,已知∠B=∠C=∠AED=90°,求证:Rt△ABE∽Rt△ECD(证明略).在教学中,我们经常会遇到图1的情形,这是一个基本图形.因为在此图中含有三个直角(∠B=∠C=∠AED=90°),所以我们将它简称为"3R图".由上面问题的证明可以知道,3R图的核心是由三个直角得到一对相     

“三角形内角和”的应用(初二)

“三角形三个内角的和等于180°”,这是大家熟悉的一个定理.本文举七则中考题说明它的应用. 例1 △ABC中,∠A=∠B ∠C,则∠A=____度. 解因为∠A ∠B ∠C=180°,又∠A=∠B ∠C,所以∠A ∠A=180°,即∠A=90°.例2 如图1,∠1 ∠2     

灵活应用 不断探索——与三角形角平分线相关的结论

应用三角形的内角和定理与外角定理,可以推出许多有趣的结论,现举三例,供同学们参考,希望同学们从中得到启示,学会运用所学知识去探索新结论,从而不断提高自己数学的发现与创新能力. 结论1:在△ABC中,∠B∠C的平分线相交于P点,则∠BPC=90°+1/2∠A 证明:∵∠B、∠C分别平分∠ABC和∠ACB.∴∠PBC=1/2∠ABC,∠PCB=1/2∠ACB,∴∠BPC=180°-(∠PBC+∠PCB)=180°-1/2(∠ABC+∠ACB)=180°-1/2(180°-∠A)=90°+1/2∠A. 结论2:在△ABC中,BP、CP分别是外角平分线,求证:∠BPC=90°-1/2∠A 证明:方法1:∵BP、CP分别平分∠EBC和∠FCB,     

我的一点小发现

有一道中考题:在△ABC中,∠A、∠B、∠C的外角之比为2∶3∶4,求∠A∶∠B∶∠C. 此题实际上由三角形外角的比求三角形内角的比.当然解答是不难得到的.但我在想有没有一些规律,能不能得出简捷公式. 我们不妨考虑一般的情形. 已知在△ABC中,∠A、∠B、∠C的外角之比为m∶n∶p,求