第38届俄罗斯数学奥林匹克（十年级）

1．设a1，a2，…，a10是不小于3的互异正整数，满足     

第37届俄罗斯数学奥林匹克（十年级）

10.1.一个由0～9这10个整数组成的n行10列的数表满足：对任意一行A和任意两列B、C都存在另一行D,使得D与A仅在B列和C列中的数不同.证明：n≥512.10.2.九个实系数二次多项式x~2＋a_1x＋b_1,x~2＋a_2x＋b_2,…,x~2＋a_9x＋b_9满足：数列a_1,a_2,…,a_9和b_1,b_2,…,b_9都构成等差数列.     

第34届俄罗斯数学奥林匹克（十年级）

10．1．同9．1． 10．2．一个n×n的方格表的n列从左至右分别称为1列,2列,…,凡列．将1～n这n个正整数填人方格表中,使得表中的每一行和每一列都含有n个不同的数．     

第36届俄罗斯数学奥林匹克（十年级）

10．1．将四种颜色共40支（每种颜色10支）铅笔分给10名同学,每名同学4支．已知无论怎样分配铅笔一定存在n名同学使得他们拥有的4n支铅笔有四种颜色．求n的最小值．     

第35届俄罗斯数学奥林匹克（十年级）

10．1．求出所有的正整数n,使得存在非零实数a,b、c．d,满足多项式（ax＋b）^100-（cx＋d）^1000在展开及合并同类项后恰剩有n项非零．     

第六届伊朗几何奥林匹克

第六届伊朗几何奥林匹克于2019年9月13日举行,有53个国家和地区参加了这届竞赛。我国由北京市和上海市的中学生组队参加了此届比赛。比赛分为三个水平:初级(七、八年级),中级(九、十年级),高级(十一、十二年级)。我国4人获得了初级组金牌,4人获得了中级组金牌,4人获得了高级组金牌。     

第34届俄罗斯数学奥林匹克（十一年级）

11．1．同9．2． 11．2．已知N个法码中的任意两个的重量之比属于[4/5,5/4],并且这N个砝码既可以分成各组重量相等的10组,也可以分成各组重量相等的11组．求N的最小可能值．     

第38届俄罗斯数学奥林匹克（十一年级）

1．开始时,桌子上有111块等重的橡皮泥．对橡皮泥进行如下操作：先将橡皮泥中的一部分或全体分成若干组,每组有相同的块数,再将每组中的橡皮泥捏成一块．已知可以经过m次操作使得桌子上恰有11块两两重量不同的橡皮泥．求m的最小值．     

第40届俄罗斯数学奥林匹克（十年级）

1．若一个正整数的正因数中恰有两个为素数,则称该正整数为“好数”．问：是否存在18个连续正整数均为好数？     

第34届俄罗斯数学奥林匹克（九年级）

第34届俄罗斯数学奥林匹克于2008年4月19日-25日在俄罗斯南部基斯洛沃茨克市举行．竞赛分九年级、十年级、十一年级进行,每个年级考两天,每天5个小时考4道题．我国派出了由东北师范大学附中的5名学生组成的代表队参加了此次竞赛,其中3名高二学生参加了十年级的竞赛、2名高一学生参加了九年级的竞赛．共获得了1枚金牌、3枚银牌和1枚铜牌．     

第39届俄罗斯数学奥林匹克（九年级）

第39届俄罗斯数学奥林匹克于2013年4月24至29日在俄罗斯的核武器研制中心萨罗夫市举行。竞赛分九、十和十一年级进行,25日和26日两天考试,每天5个小时考四道题。由广东省6名中学生组成的中国代表队参加了此次竞赛,其中,4名学生参加了十年级的竞赛,2名学生参加了九年级的竞赛。3名同学获金牌,3名同学获银牌。     

第40届俄罗斯数学奥林匹克（十一年级）

1．是否存在正实数a使得不等式 ｜cos x｜＋｜cos ax｜〉sinx＋sin ax恒成立？ 2．别佳和瓦萨在一个n×n的方格棋盘上玩游戏．开始时,除了一个角上的格为黑色以外。所有的格均为白色,在黑格中有一个“车”．由别佳开始,两人轮流将车沿水平或垂直方向移动若干格,车经过和到达的格立即变为黑色,车不能经过和到达黑格．当某人无法按规则移动车时,此人失败．游戏结束．问：谁有必胜策略？     

第40届俄罗斯数学奥林匹克（九年级）

第40届俄罗斯数学奥林匹克于2014年4月25至30日在雅罗斯拉夫尔市举行。竞赛分九、十和十一年级进行,在26日和27日分两天考试,每天5个小时考四道题。     

第37届俄罗斯数学奥林匹克（九年级）

第37届俄罗斯数学奥林匹克于2011年4月25-29日在俄罗斯西北部具有悠久历史的大诺夫格罗德市举行．竞赛分九、十和十一年级进行,每年级考两天,每天5小时考4道题．     

第31届俄罗斯数学奥林匹克(八年级)

第四轮 8．1．中午12点时，“西部仔”与“莫斯科仔”开始从相距90km的两个地点分别开汽车以常速相向而行．2h以后，他们的距离又是90km．一个“不知情”断言：西部仔在与莫斯科仔碰面之前以及莫斯科仔在与西部仔碰面之后，一共行驶了60km．试证明：该断言不正确．[第一段]     

第六届北方数学奥林匹克邀请赛

第一天一、(25分)已知数列{an}满足 a1=2,an=22nan-1+2n2n(n=2,3…).求通项an(n=1,2,…). (吴树勋供题) 二、(25分)已知PA、PB是☉O的切线,切点是分别是A、B、PCD是☉O的一条割线,过点C作PA的平行线,分别交弦AB、AD于点E、F.     

2010俄罗斯中学毕业生数学奥林匹克决赛（摘译）

莫斯科大学为中学毕业生每年举动一次数学竞赛。竞赛分两个阶段进行：预赛和决赛分别于2010年11月份和2011年1月份举行。本文根据我国《数学竞赛大纲》摘译决赛试题及解答。     

第35届俄罗斯数学奥林匹克（九年级）

第35届俄罗斯数学奥林匹克于2009年4月21日—27日在俄罗斯南部的基斯洛沃茨克市举行．竞赛分九年级、十年级、十一年级进行,每个年级考两天,每天5小时考4道题．中国派出了由浙江省6名中学生组成的代表队参加了此次竞赛,其中,4名高二挚生参加了十年级的竞赛,2名高一学生参加了九年级的竞赛．共获得两个一等奖、一个二等奖、两个三等奖．