数学奥林匹克问题

i=1 (n-2) |zi|2 +∑ |zi|2i=1     

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本期问题 初13°.设圆内接四边形的两组对边的延长线分别相交于点P,Q,两对角线相交于点R,论证:圆心恰为△PQR的垂心。 (北京朝阳区南沙滩中学,100101,郭璋) 初14°.在△ABC中,∠C=90°,点E_1,E_2在边BC上,且∠BAE_1=∠CAE_2,AE_1,AE_2分别与BA上的高CH交于D_1,D_2,过D_1,D_2分别作AB的平行线交BC于F_1,F_2。求证:(BE_1·BF_1)/(CE_1·CF_1)=(CE_2·CF_2)/(BE_2·BF_2)。     

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本期问题 初47.设M_1,M_2是△ABC的BC边上的点,且BM_1=CM_2,任作一条直线分别交AB,AC,AM_1,AM_2于P,Q,N_1,N_2。试证:     

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初95.试求出所有的整数k,使得x的一元二次方程kx~2-2(3k-1)x 9k-1=0的某一个根是一个分母为1999的既约分数。     

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初59 设a、b、c是△ABC的三边长,求证: (a b-a)~2(c a-b)~2(a b-c)~2     

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初23.已知CD为Rt△ABC斜边AB上的高,⊙O_1和⊙O_2分别为△ADC,△BDC内切圆,AC切⊙O_1于点P,BC切⊙O_2于点Q,AO_1,B0_2交于点O,OM⊥O_1O_2于点M。求证:∠O_1PM ∠O_2QN=45°。     

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本期问题 初223 如图1,在ΔABC中,点E、F分别在边AB、AC上,BF与CE交于点P,点M、N分别是BF、CE的中点,直线MN分别交 AB、AC于点Q、S.若∠CBF＝∠BCE＝(1)/(2)∠A,证明:BQ＝FS.     

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本期问题 初219 设k是一个给定的正整数．试求出所有的实数a,使得关于x的一元二次方程ax^2＋ax＋a＋2006=0的两个根均为整数,且两根之差的绝对值不小于2k-1．     

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本期问题 初99 在△ABC中,AB=AC,CD是高,DM⊥BC、DN⊥AC,M、N都是垂足。当CD=DM DN时,求(AB)/(BC)。     

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本期问题 初57 S=[1 1/1~2 1/2~2]~(1/2) [1 1/2~2 1/3~2]~(1/2) … [1 1/1996~2 1/1997~2]~(1/2).试求与S最接近的整数。(陈宽宏 湖南省岳阳县熊市中学,414113) 初58 已知α、β、γ为△ABC的三内角,     

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本期问题 初65.已知实系数多项式函数y=ax~2 bx c,对任何|x|≤1,均有|y|≤1.试求|a| |b| |c|的最大值.(陈宽宏 湖南省岳阳县熊市中学,414113)     

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本期问题初 1 2 9　一个数改变其原有的顺序后 ,可得到一些不同于原数的数 ,这里将它们称做原数的派生数 .问是否存在这样的四位数 ,使得(1 )至少存在一个派生数与原数之差能被 2 0 0 3整除 ;(2 )至少存在一个派生数与原数之差能被 2 0 0 4整除 .若存在请求出这样的数的个数 ;若不存在请说明理由 .(杨拥良　荀洋滔　湖南省汩罗市第五中学 ,41 44 1 1 )初 1 3 0　试证 :在分母小于等于 1 650 0的分数中 ,3 551 1 3 最接近π(π =3 1 41 592 653 5… ) .(贺　斌　湖北省谷城县第三高级中学 ,441 70 0 )高 1 2 9　已知x1,x2 ,… ,xn 及x1+x2 …     

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本期问题 初73.△ABC为⊙O内接三角形,AB>AC>BC.点D在BC上,从O点分别作AB、AC的垂线交AD于E、F,射线BE、CF交于P点.当PB=PC PO时,试问∠BAC