平面解几中的对称问题解法浅谈

解几中的有关对称问题,课本中没有给出系统内容,但解题中又经常用到,本文将结合图形,根据对称特点,找出规律,予以总结.1.“点关于点”的对称.点 P(x_1,y_1)关于 M(x_0,y_0)的对称点 P 的坐标,可由中点坐标公式得出:P′(2x_0-x_1,2y_0-y_1).2.“点关于直线”的对称直线 l 外一点 P(m,n)关于直线.:Ax By C=0(A,B 不同时为零)的对称点 P′的坐标,可利用 PP′与 l 的位置关系——l 垂直且平分 PP′求得,实际上是转化为“点关于点”的对     

常见直线对称问题的求法

数学中充满了对称,对称美是数学美的重要特征之一.直线中的对称问题,是直线方程中最基本的问题,也是历年高考中考查的热点问题,常见的直线对称问题有以下3种类型:1点关于直线的对称问题例1求点P(-4,3)关于直线l:2x 3y-6=0的对称点P′的坐标.解设P′的坐标为(x,y),则线段PP′的中点坐标为x2-4,32 y.PP′的斜率为yx- 43,直线l的斜率为-32.因为PP′⊥l且PP′的中点在l上,所以y-3x 4·(-23)=-1,2·x2-4 3·y2 3-6=0x=-1332,y=1639·即P′的坐标为-1323,1639.2直线关于点的对称问题例2求直线l:3x-y 1=0关于点M(2,-4)对称的直线方程.解在所…     

转换思维角度研究椭圆问题

在新教材第二册(上)中有这样一个问题：一个圆的圆心为坐标原点，半径为2，从这个圆上任意一点P向x轴作垂线段P′P．求线段P′P的中点M的轨迹．     

平面解析几何中的对称问题

平面解析几何中的对称问题是高考数学复习的重点内容之一。它主要考察学生对所学知识的综合运用能力。而学生在解答这类问题时往往不知从何处下手或解题思路混乱。本文提出了这类问题的一般解法。 一.两类特殊对称问题的一般结论 平面解析几何中最基本的对称问题有两个: 问题:1:求点P(x,y)关于x轴、y轴。原点、定点M(a,b)、y=x、y=-x、y=x m、y=-x m的对称点P′的坐标。根据两点P、P′关于M点对称则M点是线段pp′的中点,两点P、P′关于某直线对称则线段PP′被直线垂直平分可求得P′的坐标分别为:(x,-y),(-x,-y)、(2a-x,2b-y)、(y,x),(-y、-x)、(y-m,x m)、(-y m,-x m)。     

谈解析几何中的对称问题

“对称”是解析几何中的常见问题 ,也是一种重要的思想方法 .本文旨在对解析几何中的点对称、轴对称问题进行整理 ,以供学生参考 .1　关于点的对称(1)点关于点的对称问题 ,通常我们是将其化为中点问题来解决 .例如 ,求点P(x ,y)关于点M (x0 ,y0 )的对称点P′的坐标 .设P′(x′ ,y′) ,由M为｜PP′｜的中点 ,得　　x+x′2 =x0y+ y′2 =y0 x′ =2x0 -x ,y′=2 y0 - y ,即所求对称点的坐标为P′(2x0 -x ,2 y0 - y) .(2 )曲线关于点的对称问题 ,利用对称定义 ,结合求轨迹方程的代入法即可解决 .例如 ,求曲线C :f(x ,y) =0关于M (x0 ,y0 )对…     

如何利用数形结合巧解平面解析几何问题

世间的一切事物都是发展变化的,无不在运动状态。作为高中数学教师,在教学过程中要用运动、变化、发展的观点来讲解几何知识,不仅可以深刻认识和广泛应用数与形的有关知识,而且可以让学生在数学学习过程中感悟唯物辩证法、方法论的基本思想。在平面解析几何中,利用相关点、直线、圆和曲线的几何性质解题的方法叫做综合几何法.这种方法利于培养数形结合的观点,减少计算量,使问题获得巧解.1利用圆的知识解题例1已知圆O′:(x-14)2+(y-12)2=362内一点C(4,2)和圆周上两动点A、B,使∠ACB=90°,求斜边AB的中点M的轨迹方程.1.1思路。如图2-13,连结MO′、MC、BO′,则O′M⊥MB,|MC|=|AM|=|MB|.设M(x,y),则在Rt△BMO′中,|O′M|2+|BM|2=|O′B|2,又|BM|=|CM|,∵|O′M|2+|CM|2=|O′B|2,即(x-14)2+(y-12)2+(x-4)2+(y-2)2=362,∴动点M的轨迹方程为x2+y2-18x-14y-468=0.1.2解析。本例利用圆的垂径定理和直角三角形的性质,使一个运算量较大的习题,得到极其简便的解法,充分显示了平面几何知识在解析几...     

也谈轨迹的堵"漏"去"杂"

文 [1 ]以《谈轨迹的堵“漏”去“杂”》为题 ,剖析了求轨迹的过程中出现“漏”、“杂”的可能原因。本文就借题发挥 ,指出与人教版高二 (上 )数学新教材相配套的《教师教学用书》中有关求轨迹的若干不妥 ,与广大同仁商榷。1　新教材第 96页习题 8 1第 6题从圆x2 +y2 =2 5上任意一点P向x轴作垂线段PP′,且线段PP′上一点M满足关系式 :|PP′|∶|MP′|=5∶3 ,求点M的轨迹。教师用书第 70页给出答案 :x22 5 +y29=1。商榷　当P点坐标为 (± 5 ,0 )时 ,P、P′、M三点重合 ,此时显然不满足关系式 |PP′|∶|MP′|=5∶3 ,故上面答案有违背轨…     

解决直线与圆的位置关系问题的三大策略

一、数形结合,善于观察图形,充分运用平面几何知识,寻找解题途径 例1 已知点P(5,0)和圆O:x2 +y2=16,过P作直线l与圆O交于A、B两点,求弦AB中点M的轨迹方程. 解:因为点M是弦AB中点,所以∠OMP=90°.点M是在以OP为直径的圆周上,此圆的圆心为(5/2,0),半径为5/2,其方程为(x-5/2)2+y2=(5/2)2,即 x2+y2-5x=0.     

用两曲线成点对称求曲线中点弦方程

在中学平面解析几何课程中,求以圆x2＋y2=r2中的点M（m,n）为中点的弦所在直线l的方程要比其它曲线情形简单些,是因为圆具有特殊的性质──弦心距垂直并且等分弦,可以不必先设l的方程y=k（x-m）＋n代入圆方程得到一元二次方程,再由中点坐标公式求k写出l的方程．但在非圆的情形下这类求中点弦方程的题却显得较为麻烦．例如,设椭圆中以M（m,n）为中点的弦的方程为此法一直沿用至今,虽易懂,但运算较繁,常易出错,不便于操作．本文给出一种极简易的方法,可突破这一难点．一、简易解法设P1的坐标为（x,y）,M（m,n）为弦P1P2的中…     

洞察条件 现出“圆”形

<正>数学试题命题者为增加难度,常常有意把圆隐藏起来.解题时一旦把圆补出来,问题就变得清晰明了,易于解决.现以2020年中考试题为例,介绍几种现出"圆"形的方法,供大家参考.一、由圆的定义,现出"圆"形例1 (2020年泰安中考题)如图1,点A,B的坐标分别为A(2,0),B(0,2),C为坐标平面内一点,BC=1,M为线段AC的中点,连结OM,则OM的最大值为()     

一类面积最小问题的简捷解法

定理　若M为∠POQ内一点 ,过M作直线分别交OP、OQ于A、B两点 .则当M为AB的中点时 ,△AOB的面积最小 .　　　　　图 1证明　如图 1 ,设过M的任意直线分别交OP、OQ于A′、B′两点 ,且M不是A′B′的中点 .不妨设MA′ >MB′.在MA′上取MN=MB′ ,则有S△MAN =S△MBB′,∴S△MAA′ >S△MB′B,于是S△A′OB′ >S△AOB.例 1　直线l过点M (2 ,1 )且分别与x轴、y轴的正半轴交于A、B .O是坐标原点 ,当△AOB的面积最小时 ,求直线l的方程 .解　设A(x ,0 )、B(0 ,y) .由定理知 ,当M为AB的中点时 ,△AOB的面积最小 .由中点…     

2014年高考新课标Ⅰ卷(文)第20题的解法探究及推广

题目 已知点P(2,2),圆C:x2+y2-8y=0,过点P的动直线l与圆C交于A,B两点,线段AB的中点为M,O为坐标原点. (Ⅰ)求M的轨迹方程; (Ⅱ)当|OP| =|OM|时,求l的方程及ΔPOM的面积.     

发掘隐含条件 寻找解题契机

解题时,学生往往因忽视题目中的隐含条件,而使求解过程十分繁难甚至于隐入困境,影响解题效率.发掘隐含条件是寻找解题契机,发现解题突破口的有效方法之一,可以事半功倍.一、从相关定义发掘隐含条件,寻找解题契机例1设P为椭圆2x25 y2b2=1(0相似文献   

美妙的蝴蝶定理

一、圆的蝴蝶定理例1(美国第24届大学生数学竞赛)设UV是圆O的弦,M是UV的中点,AB和CD是过M的另两条弦,AC和BD分别交UV于P、Q,求证:M是PQ的中点.证明以中点M为视点,分别对B、Q、D和C、P、A应用张角定理     

从解一道复习题谈教学中的解后“思”

解题是培养学生创造性思维的途径之一,在教学中不仅要善于在解题前和解题过程中教学生思考的本领,在解完一道题之后,仍要教学生去“深究”、去“思考”,这种解后“思”的工作常被忽视,其实这是一项事半功倍的教学手段。现以部编高二解几第126页第二章圆锥曲线复习题B组24题为例,谈点体会。题:过圆外一点P(a,b)引圆x~2+y~2-R~2的两条切线,求经过两个切点的直线方程。这是学生第一次遇到求圆的切点弦问题。最直接的解题思路通常是:先求切点坐标,再用两点式得解。即解法一设切点M(x_0,y_0),     

以圆为背景的最值问题(高二、高三)

以圆为背景的最值问题,在高考和竞赛中频频出现.本文从数学思想方法的高度予以分类导析,旨在探索解题规律,总结解题方法,从而使此类问题简单化. 1.向量法 例1 已知圆x2 y2=16和圆内一点m(-1,3~(1/2)).当点P沿圆周运动时,求∠MPO的最大值和此时点P的坐标. 分析 本题以直线与圆为载体,综合考查函数及其最值、不等式等有关知识.解题的关键是巧用向量工具建立三角函数,从而使问题简化.     

求圆锥曲线的弦的一条结论

关于圆锥曲线弦的求法,笔者得到一条结论,现提供于下。 定理:设圆锥曲线C的方程为F(x,y)=0,M、N为C上不同两点,若线段MN的中点为P(a,b),则直线MN的方程为 F(x,y)-F(2a-x,2b-y)=0。 (*) 证明:设M点的坐标为(x_1,y_1),M在圆锥曲线C上,F(x_1,y_1)=0。又因为线段MN的中点P的坐标为(a,b),N的坐标为(2a-x_1,2b-y_1)。又N在圆锥曲线C上,     

一道课本例题引发的思考

<正>一、问题的产生在人教版(A)必修2"圆的一般方程"这一节中有这样一个例题:已知线段AB的端点B的坐标是(4,3),端点A在圆C:(x+1)2+y2=4上运动,求线段AB的中点M的轨迹方程。笔者认为这是一个很值得深入探究的问题,但在此处限于同学们所学知识不够,还不能深入探究。为此,在同学们学完了圆锥曲线后,就可以回头来再探究这个例题了。探究1:改变端点B的位置,中点M的轨迹会变吗?探究2:过M作AB的垂线,交直线CA     

平移公式的应用

平面解析几何中的平移公式 x=x′ h ① y=y′ k一般用来化简二次曲线方程,但若能恰适地应用平移公式,在解题时将有很大的帮助. 例1 自平面上任意一点P(h,k)作一对直线,分别与一条二次曲线Ax~2 2Bxy Cy~2 2Dx 2Ey F= ②交于Q、R及M、N四点,求证:当这对直线方向固定时,|PQ|·|PR|/|PM|·|PN|为定值. 证明:设两直线l_1、l_2的固定倾斜角分别为α、β,平移坐标原点至 P(h,k),如图,则二次曲线②化为: Ax′ 2Bx′y′ Cy′ 2(Ah Bk     

聚焦直线与方程中的对称问题

<正>一、点关于点的对称问题例1已知P(1,2),M(2,2),求点P关于点M的对称点的坐标。解析:设点P关于点M的对称点为Q(x,y),则{x+1/2=2 2+y/2=2?{x=3 y+2所以点P关于点M的对称点为Q(3,2)。评析:点与点的对称实质上是中点公式