四类平均数及其拓展延伸后的几何模型

文[1]在圆中建立了四类平均数的几何模型,文[2]在四边形中建立了四类平均数的几何模型.文章以三角形为基础,首先证明共角的四个三角形共角所对应的边是四类平均数的几何模型;其次证明这四条边上的高也是四类平均数的几何模型;第三推出这四个三角形的面积及面积的算术平方根是拓展延伸后的四类平均数,并建立几何模型;第四推出具有一般性的四类平均数并建立几何模型;第五在立体图形中建立进一步拓展延伸后的四类平均数的几何模型.     

再谈四类平均数的几何模型

文[1]给出了四类平均数在圆中的几何模型,容易用尺规作出;文[2]又给出了四类平均数在四边形中的几何模型,但是其中的几何平均数及平方平均数的几何表示巨疋及巴凡不易由尺规作出．受两者启发,笔者又给出了两种用尺规容易作出的四类平均数的几何模型,期待能够抛砖引玉．     

用好角平分线的两个隐含条件

与角平分线有关的证明问题在几何学习中屡见不鲜．由于角平分线隐含着角相等和公共边这两个条件，因此，解答它们，可考虑沿角平分线两侧构造全等三角形的方法．[第一段]     

若干优美的三角形几何不等式新问题的解决

刘保乾老师在文[1]中给出了100个优美的三角形几何不等式新问题,笔者研究了其中的几个几何不等式,发现它们均是正确的,本文试图各给出它们的一个证明．本文约定所用符号均与文[1]同．     

两个优美的三角形几何不等式新问题的解决

刘保乾老师在文[1]中给出了100个优美的三角形几何不等式新问题,笔者研究了其中的第36和第69两个几何不等式,发现它们均是正确的,本文试图给出它们的一个证明.本文约定所用符号均与文[1]同.     

简证“与三角形角平分线相关的三条结论”

文[1]给出了与三角形角平分线相关的如下三条结论,并逐一加以了证明.结论1三角形的任意两条角平分线间的夹角等于第三个角的一半加上90°.结论2三角形的任一内角角平分线与它不相邻的任一外角的角平分线间的夹角等于第三个角的一半.结论3三角形的任意两个外角的角平分线间的夹角等于90°减去第三个角的一半.事实上,如果把这三个结论放在一个图形中来证明,     

一个部分问题分类研究的补充

题目：（新人教版小学《数学》五年级上册P．87第7题）把一个三角形分成四个面积相等的三角形，可以怎样分？你能想出几种方法？把一个三角形分成四个面积相等的三角形，这涉及三角形面积的剖分，能找到多少种小学生能理解的剖分方法呢？笔者在文[1]中找到了小学生能理解（利用“等底等高的两个三角形等积”的原理）的106种剖分方法．实...     

一个面积公式的启示

文[1]在圆锥曲线焦点与顶点三角形面积公式的基础上推出了另一个非常重要的三角形面积公式,在它的启示下,笔者又对圆锥曲线作了研究,得到了与文[1]类似两个三角形的面积公式,现说明如下,与读者共享．     

巧用共边定理简证若干数学问题

笔者研读文[1]后获益匪浅,由共高三角形的面积比等于底之比引申得到的共边（角）定理,给人启迪．本文结合《数学通报》中若干数学问题浅谈一点心得,摭谈问题的同时也简化了原问题的解答．     

再谈两倍角问题的解决策略

文[1]提出了解决三角形中两倍角问题的四种方法,并列举了四个典型的例题加以阐述,读后受益匪浅.笔者进一步深入研究后发现,这四种方法竟然都可以用辅助圆的方法统一加以解决,并给出了相应的解题策略,现整理如下,与各位老师共交流.     

利用相似三角形巧解几何证明题

<正>三边成比例、三个角分别相等的两个三角形叫做相似三角形．作为几何中的一个重要模型,相似三角形是全等三角形的推广,相似比为1的三角形可以理解为全等三角形．相似三角形描述了两个三角形中角、边的关系,是一套定理的集合．相似三角形面积的比等于相似比的平方,相似三角形的对应角平分线、对应中线、对应高的比等于相似比．本文分析如何利用相似三角形概念解决几何证明题．     

浅谈边、角不等关系的证题思路

初中几何中证明边、角的不等关系是几何证明的一类题型．证题的理论根据有：1．三角形中任何两边之和大于第三边，任何两边的差小于第三边；2．直角三角形的斜边大于直角边；3．三角形中，大角对大边；4．三角形的外角大于与它不相邻的任何一个内用；5．三角形中，大边对大角．上述定理有一个共同的前提：在同一个三角形中．但在很多证题中，需要证明其不等关系的边（或角）不在同一个三角形中，此时就需要通过几何变换（主要是作辅助线或辅助团形），把它们迁移到同一个三角形中，然后用上述有关定理给出证明．这就是证明边、角不等关系的…     

证明二元均值不等式链的又两个几何模型

不妨设a〉b〉0,则有均值不等式链：文[1]～[4]分别给出了这个链的几何证明,本文再提供两个几何模型证明．     

等面四面体必为等腰四面体——兼论一错解题

贵刊1994年第3期《四面体二面角平分面的性质－文中例2的证明过程有误．该题为“如呆四面体的四个面的面积相等，求证这四个面全等．”它的结论虽不错，但是在原证明中，从四面体的等面性推出四个面皆为等边三角形,这就错了.     

一道几何名题的简证及其他

文[1]中提到了如下问题:问题1在一个角(C)等于60°的已知△ABC的各边上作等边三角形,则△ABC和对着∠C的新三角形的面积之和等于另外两个三角形的面积之和.此题选自胡·施坦豪斯的《数学万花筒》,文[1]中和原著的解答所用知识超出了新教材中初中阶段的要求,本文提供一个很简洁的解答.     

海伦公式的一个简洁证明

若已知任一△ABC的三边长为a,b,c,则其面积可表示为A=√s（s-a）（s-b）（s-c）,其中s=a＋b＋a/2,此即海伦公式．关于海伦公式的证明,笔者已在文[1]中给出了中外数学史上的有关证明方法．分析发现,历史上的证法均为几何证法（添加辅助线,利用全等三角形的边、角关系或者相似三角形中的比例关系进行推导）,各种方法堪称精巧美妙,但略显复杂．本文拟给出海伦公式的一个代数证法．     

共边定理及其应用与推广

<正>几何一直是初中数学的重难点,初中几何主要研究边角关系,并要求对边,角关系进行严格的证明、推理.学生普遍感觉几何好学但解题难,难在思维的深度,尤其难在辅助线的添加,许多几何题目往往受制于这神来一笔的辅助线.如何攻克这座堡垒呢?本文将介绍共边定理这一用途极广的几何解题工具,以供广大读者参考.一、共边定理共边定理建立在共边三角形的基础上,它是指,共边三角形的面积比等于第三个顶点的连线被公共边所截得的线段比.定理如图1,设直线AB     

四类平均数的又一解析几何解释

近期文[1]、[2]、[3]分别利用四边形和圆给出高二新教材中所述的四类平均数关系问题以6种之多的平几解释.但用解几解释的甚少,仅见文[3]提供了西方学者给出的一个方案[4],"但上述模型需涉及四条二次曲线的作图,这对于中学生而言并不简单明了,因而不适合于实际课堂教学"[3].     

分类例说“角含半角”模型及其相应结论

<正>所谓“角含半角”模型,是指在一个平面图形中,一个角与另一角共顶点,且该角的大小是另一个角大小的一半．“角含半角”模型是初中平面几何中最常见的一种模型之一．通常利用“旋转的观点”看待图形的几何变化,即将这个半角顶点旋转或通过截长补短的方法,使得两个分散的角变换成为一个三角形,这又相当于构造出两个三角形全等或相似．     

不等式中的平均数及其应用

“两个正数的算术平均数不小于它们的几何平均数”,这是众所周知的,这里要和同学们谈谈另外两个平均数:平方平均数和调和平均数。这四个平均数的大小顺序是:(a_1,a_2,…a_n均为正数) 如果我们能够充分、灵活地运用以上四个平均数之间的大小关系,那么在证明有关这四个平均数的不等式的时候就会收到事半功倍之奇效。 [例1] 已知a、b、c为互不相等的正数,求证