关于角平分线的一个不等式链

建立了有关三角形平分线的一个不等式链 ,提出了有关的一个不等式猜想     

关于三角形角平分线的一个不等式

设t:,t、,t。为△ABC止条角平分线长,P二合‘a+“十“,:和R分别为内一切圆和外接圆半径,则,:、,:::,一(一誉一)当且仪当△ABC为正三角形时取等号.证由正余弦定理有乏=白c一 a么bC(b+c)2=吞‘一 a Zbc(ZP一a)2则比十t毛十嵘 =bc+ca+ /a I_+ \(Zp一a)2ab一abc 石(Zp一b)么 c、十~一—一—._ (ZP一c)2/’不妨设a)b)c>O,则 1ZP一召》 土~1——‘弓莽——ZP一b一ZP一c>O由切比雪夫不等式有一一卫一一-十(ZP一a)2 b(ZP一b)名十(ZPC一C))合‘a+”+‘,〔 1(Zp一a)2 1(ZP一b)么(ZP1一c)2〕 1厂1 .1 .1、.__.—-一一字-一一:宁一一—.…     

一个角平分线不等式的逆向

文 [1 ]证明了ｗｂｗｃ ｗｃｗｂ≥ ｂｃ ｃｂ ,①其中ｗｂ、ｗｃ 表示边ｂ、ｃ对角的平分线 .以下 ｐ表示半周长 ,ｐｂ=ｐ -ｂ ,等等 .本文证明ｗｂｗｃ ｗｃｗｂ≤ ｐｂｐｃ ｐｃｐｂ.②证明 :② ｗｂｗｃ( ｗｃｗｂ-ｐｂｐｃ) ( ｗｃｗｂ-ｐｃｐｂ)≤ 0 .③由于②关于ｂ、ｃ对称 ,故可设ｂ≥ｃ,则ｗｂ≤ｗｃ,得 ｗｃｗｂ≥ 1≥ ｐｂｐｃ,由角平分线公式ｗｂ=2ａ ｃ ａｃｐｐｂ,ｗｃ=2ａ ｂ ａｂｐｐｃ,得(ａ ｂ) 2 (ｃ ａ) 2 [ｗｃ2 ｐｂ2 -ｗｂ2 ｐｃ2 ]=4ａｐｐｂｐｃ[ｂ(ｃ ａ) 2 ｐｂ-ｃ(ａ ｂ) 2 ｐｃ]=-4ａｐｐｂｐｃ(ｂ-ｃ…     

涉及角平分线的一个不等式

在△ABC,分别记a、b、c,p,R,r,w_a、w_b、w_c为其三边长、半周长、外接圆半径、内切圆半径、三角平分线长。∑表示循环和。     

涉及三角形角平分线的一个不等式

文 [1]介绍了涉及三角形高线的不等式 :　 ｒ(5Ｒ -ｒ)Ｒ2 ≤ ｈ2 ａｂｃ ｈ2 ｂｃａ ｈ2 ｃａｂ ≤ (Ｒ ｒ) 2Ｒ2 .①文 [2 ]在①的基础上 ,建立又一不等式 :　　　 ｂｃｈ2 ａ ｃａｈ2 ｂ ａｂｈ2 ｃ≥ 4 . ②由①、②笔者得到启发 ,得出了②的一个加强不等式 :定理　设ｔａ、ｔｂ、ｔｃ分别是△ＡＢＣ的ａ、ｂ、ｃ边上的高 ,则有　　 ｂｃｔ2 ａ ｃａｔ2 ｂ ａｂｔ2 ｃ≥ 4 .③证明　记△ＡＢＣ的半周长和面积分别为ｓ和△ ,文 [3]证得　　　ａｂｃ≥ 233△ｓ.易得　ｔａ ≤ｓ(ｓ-ａ) ,ｔｂ ≤ｓ(ｓ-ｂ) ,ｔｃ ≤ｓ(ｓ-ｃ) ,于是应用 …     

二个角平分线不等式的加强

在△ABC中,记三边长BC=a,CA=b,AB=c,角A、角B、角C的平分线长分别为t_a、t_b、t_c,△ABC的外接圆半径与内切圆半径分别为R与r(下文均用此记号),笔者在文[1]与文[2]中分别证明了: ∑1/t_a≥1/R 1/2r (1) ∑1/t_a≥2/3~(1/2)∑1/a (2)当且仅当△ABC为正三角形时,(1)、(2)两式取等号(这里∑表示循环和,下同). 本文将给出较(1)、(2)两式更强的不等式,即 定理 在△ABC中,有 (∑1/t_a)~2≥(∑1/a)~2 (1/2r)~2 (3)当且仅当△ABC为正三角形时,(3)式取等号.     

一个关于三角形角平分线与旁切圆半径的不等式

约定△ＡＢＣ的内切圆半径、外接圆半径与面积分别记为ｒ、Ｒ、Δ ,ＢＣ =ａ ,ＣＡ =ｂ ,ＡＢ =ｃ ,ｓ=12 (ａ +ｂ+ｃ) ,其相应边上的高线、角平分线与旁切圆半径分别记为ｈａ、ｈｂ、ｈｃ,ｗａ、ｗｂ、ｗｃ,ｒａ、ｒｂ、ｒｃ。文 [1 ]介绍了在一个锐角三角形ＡＢＣ中 ,有不等式∑ｗａｗｂ≥∑ｈａｒａ ①其中∑是关于三边ａ、ｂ、ｃ的循环和。文 [2 ]研究了循环和∑ｈａｒａ,得到 :在任意三角形ＡＢＣ中 ,有∑ｒａｒｂ≥∑ｈａｒａ ②本文将循环和∑ｒａｒｂ 与∑ｗａｗｂ 作比较 ,得到下述定理及其推广。定理　对任意△ＡＢＣ ,有∑ｒａｒ…     

三角形中线与角平分线的一个不等式

刘健先生在给笔者信中,提及了一个三角形不等式猜想。即:     

涉及三角形角平分线的又一个不等式

命题设ta、tb、tc分别是ABC的∠A、∠B、∠C的平分线长.则有     

一个角平分线不等式的逆向形式及其它

建立一个角平分线不等式的逆向形式以及几个类似不等式。     

涉及两个三角形角平分线的一个不等式

定理 设△ABC和△A′B′C′的边长分别为a、b、c和a′、b′、c′;ω_a、ω_b、ω_c和ω′_a、ω′_b、ω′_c分别为相应边上的角平分线。则有 ω_aω′_a ω_bω′_b ω_cω′_c ≤3(aa′ bb′ cc′).(1)当且仅当△ABC和△A′B′C′均为正三角形     

关于三角形角平分线积的不等式研究综述

去年9月份以来,先后收到浙江李康海、新疆吴勤文、甘肃张赟、重庆杨定华等多篇关于三角形角平分线积的不等式的讨论文章.现请马林同志结合自己的研究结果,作一综述.     

涉及角平分线与高的一个半对称不等式

定理在△ABC中,a、b、c为其三边长,ta、ha分别为BC边所对角的角平分线长和BC边上的高,△为其面积,s为半周长,则有     

关于三角形内角平分线长的一个不等式

刘健在文[1]中建立了下述三角形不等式: 设△ABC的内角A,B,C的平分线与面积分别为w_a,w_b,w_c与△,则     

一个含三角形内角平分线的不等式的加强

<正>1引言2016年第10期《美国数学月刊》刊登了马其顿人Martin Lukarevski提供的问题11945如下.问题11945~(\[1\])设a、b、c分别是△ABC的顶点A、B、C所对边长,w_a、w_b、w_c分别是角A、B、C的内角平分线长.证明■(1)w_a w_b w_c2018年第3期《美国数学月刊》刊登了Santa Monia.Dmitry Flesichman提供的问题11945的解答.~(\[2\])本文给出问题11945的一个加强.     

关于n等角平分线的一个结论

引理[1]如图?ABC中,∠BAB1=∠B1AB2==∠B n?2AB n?1=∠Bn?1AC,则有BB1:B1B2::B n?2B n?1:B n?1C=(AB?AB1):(AB1?AB2)::(AB n?2?ABn?1):(ABn?1?AC).在此基础上,本文给出并证明如下结论:定理设BB1:B1B2::B n?2B n?1:B n?1C=b1:b2::b n,那么(1)当n(n>2)是奇数时,有(1)/221121sin1(     

关于旁切圆半径和角平分线的两个不等式

建立两个涉及两个三角形的有关旁切圆半径和角平分线的不等式。     

关于三角形高线角平分线旁切圆半径的两个不等式

笔者在研究三角形中的不等式时得到下面几个有趣的三角形不等式,即 定理1 在△ABC中,设a,b,c分别为BC,CA,AB的边长,相应于顶点A,B,C,△ABC的中线长为ma,mb,mc;内角平分线长为wa,wb,wc;高线长为ha,hb,hc,旁切圆半径为ra,rb,rc,△ABC的面积为S,则4S√m2a/r2a+m2b/r2b+m2c/r2c≥ab+bc+ac≥4S√m2a/ω2a+m2b/ω2b+m2c/ω2c≥4√3S.(1)     

关于角平分线的证明

从一个角的顶点引一条射线，把这个角分成两个相等的角，这条射线叫做这个角的平分钱．几何学习中，关于角平分线的证明问题屡见不鲜．解答它们，既可以根据定义，也可以运用角平分线的判定定理．下面介绍几种常用方法．一、考虑要证的角平分线把角分成两个相异的角，利用定义证明例1如图1，已知：E、F分别为ABC的ZAB及边CA的延长线上的点，AE—AF，AD”EF．求证：AD平分＊BAC．证明”．“AE—AF，zAEF一二F．AD／／EF，．．．三1一zAEF，＜2一LF．if一二2．故AD平分工BAC．例2如图2，已知：thABC中，AB—AC，LI—zZ…     

角的平分线定理的一个推广

三角形内(外)角平分线定理三角形的内(或外)角平分线分对边所得两条线段和这个角的两边对应成比例。证明:这里采取利用三角形面积的证法。如图1,AD(AE)是△ABC的内角∠CAB(外角∠CAF)的平分线,作DG⊥AB,自D作AC的垂线交延长线于H,则DG=DH。于是 S_(ΔABD):S_(ΔACD)=(1/2AB×DG):(1/2AC×DH)=AB:AC又设BC与AD的夹角为α(锐角),则当以AD为底时△ADB与△ADC的高BM、CN分别为BDsinα,DCsinα。这样,S_(ΔADB):S_(ΔADC)=(1/2AD×BDsinα)