不等式(a~2+b~2)/2>((a+b)/2)~2的推广与应用

本文以熟知的不等式(a~2+b~2)/2≥((a+b)/2)~2(统编高中《数学》第三册66页习题三第5题(3))为例,谈谈它的推广与应用。 (一) 不等式半(a~2+b~2)/2≥((a+b)/2)~2的证明非常容易(略),细心观察其两边的结构特征,可以联想到三个实数的平方的算术平均数不小于这三个实数的算术平均数的平方,进一步还可猜想到n个实数的平方的算术平均数的一般情形,进而通过证明得出以下几个推论:     

定义新运算中考题例析

“定义新运算”中考题源于竞赛试题的一类中考题,它既能检测考生的阅读理解能力、信息迁移能力,又有较强的选拔功能,是近年来频频出现的一类问题.兹以2006年中考题为例予以说明.1直接套用例1在实数范围内定义一种运算“*”,其规则为a*b=a2-b2.根据这个规则,方程(x 2)*5=0的解为     

从x~2≥0到平均不等式

1从实数的性质说起由于实数有“大小可比性”,因此才有关于实数的“不等式”.由于实数的平方有“不负性”,因此才有了正数的“平均不等式”.设x∈R,则有x~2≥0,令x=a-b,则有(a-b)2≥0a~2 b~2≥2ab,用a替代a~2,用b替代b~2,则有a b≥2ab,于是得到(a b)/2≥ab(a=b时等号成立).这就是著名的平均不等式:2个正数的算术平均数不小于它们的几何平均数.显然,要证明这个不等式的正确性,可用配方法回到“实数平方的不负性”上.证明因为a2 b-ab=a-22ab b=12(a-b)2≥0a 2b≥ab.图解在平均不等式a2 b≥ab中,视a2 b和ab分别为2条线段长,可以解释它们之间的…     

定义新运算

我们从小学就开始学习了数的加、减、乘、除四则运算.到了初中,所学习的数域扩大了,运算又增加了乘方和开方.除此之外,还可以定义新运算,考察大家临场反应能力,运算能力.例1(2006年,北京)用“×”定义新运算,对于任意实数a,b,都有a×b=b2 1,例如,7×4=42 1=17,那么5×3=___________;当m为实数时,m×(m×2)=___________.解析题中定义了新运算a×b=b2 1,这个新运算过程由平方和加法构成,新运算结果与a无关,题中还针对新定义运算给了一个例子,通过阅读更易理解新定义运算.5×3=32 1=10;当m为实数时,m×(m×2)=m×(22 1)=m×5=52 1=26.例2(2006…     

a~2+b~2≥2ab的五个重要推论及应用

如果a,bR,那么a2+b2≥2ab(当且仅当a=b时取“=”号).该结论利用作差法极易证明.下面给出其推论及应用.推论1如果a,b是正数,那么a+b2≥ab√(当且仅当a=b时取“=”号).这个定理又可叙述为:两个正数的算术平均数不小于它们的几何平均数.其应用极其广泛,常用于求最值、比较大小、求取值范围和证明不等式等.例1若实数a,b满足a+b=2,则3a+3b的最小值是A.18B.6C.23√D.234√解3a+3b≥23a·3b√=23a+b√=6(当且仅当a=b=1时取“=”号).即3a+3b的最小值为6.选B.推论2如果a,bR,那么a2+b2≥2｜ab｜(当且仅当｜a｜=｜b｜时取“=”号).证明∵a2+b2=…     

一元二次方程新题型

近年来,对一元二次方程有关知识的考查出现了一些新题型,认真研究这些试题,能拓宽我们的视野,提高我们综合应用知识解决问题的能力.这些新题型有: 类型一 定义运算型 例1 (2013年白银卷)现定义运算“”,对于任意实数a、b,都有ab =a2-3a+b,如:35=32-3×3+5,若x2=6,则实数x的值是____. 解析:根据新定义将x2=6变形得x2-3x+2=6,即x2-3x-4=0, 解得x1=4,x2=-1,故实数x的值是-1或4. 温馨小提示:本题属于定义新运算问题,需要运用新定义把它转化为常规问题来解决.     

对数平均数不等式的证明与应用

已知a,b为两不等的正实数,我们称a-b/lna-lnb为a,b的"对数平均数".它与a,b的"几何平均数√ab"及"算术平均数a+b/2"之间有如下不等关系:√ab相似文献   

2005年决胜冲刺试题（一）

一、选择题 :(每小题 5分 ,共 6 0分 )1.已知集合A ={ 2 ,3} ,集合B A ,则这样的集合B一共有 (　　 ) .A .1个　B .2个　C .3个　D .4个2 .若z=2 +4i,w =z2 +4z2 - 12i,求 |w|=(　　 ) .A .0　　B .2 　　C .2　　D .13.已知f(x)是定义在R上的偶函数 ,且在 (-∞ ,0 )上是增函数 ,f(1) =0 ,若xf(x) <0 ,则x的取值范围是 (　　 ) .A .(- 1,0 )∪ (0 ,1)B .(-∞ ,- 1)∪ (0 ,1)C .(- 1,0 )∪ (1,+∞ )D .(-∞ ,- 1)∪ (1,+∞ )4 .用“ ”表示求两个实数a与b的算术平均数的运算 ,即a b =a +b2 .已知数列 {xn}满足x1=0 ,x2 =1,xn =xn -…     

初中数学竞赛中的“新题”

在近年来的初中数学竞赛中,常出现一些学生未曾相识的新运算、新符号、新概念等题型,这些题型主要考察学生的应变能力。本文试拟数例加以剖析,以提高学生解决这类“新题”的能力。例1.x、y为任意实数,定义运算“※”:x※y=ax by cxy,其中 a、b、c为实常数,等式右端的运算是通常的实数加法,乘法运算, 已知1※2=3,2※3=4,并且有一个非零实数d,使得x※d=x恒成立。求d的值。     

应用均值定理求最值的错解及分析

（a+b）/2≥ab^1/2（a,b∈R⁺,当且仅当a=b时取"="号）,（a+b）/2为a,b的算术平均数,ab^1/2为a,b的几何平均数.此不等式即两个正数的算术平均数不小于它们的几何平均数的均值定理.应用均值定理时,需满足正（a,b均大于0）、定（a,b的和或积为定值）、等（a=b可以成立）三个条件.但是一些学生在应用解题时,常会出现貌似合理的解法,却造成矛盾或错误的结果等现象,究其原因,往往是对均值不等式中的"="的理解出现误区所致.实际上,均值不等式本身有其双重性.一方面,     

设置新的情境 考查创新潜能

近年来上海数学高考试题在坚持能力立意、全面考查学生的数学知识、方法和数学思想的基础上 ,从测量学生的发展性学力和创造性学力着手 ,突出对一般能力的要求 ,积极探索试题的创新设计 ,在试题中给出新的定义 ,设置新的情境 ,考查创新能力成为试题的一大特色 .1　在试题中给出中学教学内容中没有遇到过的新知识 ,包括新的定义、新的概念、新的规则等 ,要求学生读懂并理解 ,然后根据这个新的知识做进一步演算或推理 ,其目的是考查学生独立获取信息、加工信息的学习能力 .例 1　若记号“ ”表示求两个实数a和b的算术平均数的运算 ,即a b =a…     

点击均值不等式的4个层次

均值不等式√ab≤a＋b/2（a≥0,b≥0）,其中a＋b/2称为a、b的算术平均数，√ab称为a、b的几何平均数，因而该定理又可叙述为：2个正数的算术平均数不小于它们的几何平均数，其中等号成立的前提是a=b．     

由教材例习题引发的思考

“如果a ,b∈R ,那么a2 b2 ≥2ab(当且仅当a =b时取“=”号)”,这是高中数学一个非常重要的定理,有着广泛的应用.如果限定a ,b∈R ,则得到a b2 ≥ab ,其中a b2 、ab分别称为正数a、b的算术平均数与几何平均数.对此,《教师教学用书》要求:“掌握两个(不扩展到三个)正数的算术平均数不小于它们的几何平均数的定理,并会简单的应用.”教材在编写上也不涉及三个正数的情形,对于出现含三个正数的不等式,则是建立在两个正数的基础上,运用不等式的性质相加得到的,不属于三个正数平均值范畴.纵观不等式全章,我发现在所提供的两个正数不等式中,有…     

灵活运用基本不等式,全面破解高考题

基本不等式(一些教材上也称重要不等式或均值不等式)可以叙述为:两个正数的算术平均数不小于它们的几何平均数,即a+b2≥槡ab(a≥0,b≥0)(这里a,b可以为0).基     

三元均值不等式的面积证法

初等数学中有一个重要的不等式:当a、b、c均为正实数时,(a b c)/3≥(abc)~(1/3).即三个正实数的算术平均数不小于它们的几何平均数。     

立足基本 从项做起

新教材“不等式”一章中 ,把两项的重要不等式 a2+ b2 ≥ 2 ab ( a,b∈ R)和 a + b2 ≥ 2 ab ( a,b是正数 ) ,独立地列为一节“6 .2算术平均数与几何平均数”,删去了旧教材中三项的重要不等式 ,这说明了新教材更突出了基本知识和基本的转化思想 ,其它我们仅从这个最基本的不等式出发就可以做出精彩的文章 ,甚至解一些高难度的问题 .一、拆项例 1　 (第 9届“希望杯”高二培训题 )已知 x,y,z是正数 ,求函数 u( x,y,z) =xy + yzx2 + y2 + z2 的最大值 .解 :u( x,y,z) =xy + yzx2 + y2 + z2= xy + yz( x2 + y22 ) + ( y22 + z2 )≤ xy + yz2 x…     

基本不等式的证明及其一些性质

设a>0,b>0,那么2/(1/a+1/b),(ab)(1/2),(a+b)/2,((a~2+b~2)/2)/(1/2)分别叫做a,b的调和平均数、几何平均数、算术平均数及平方平均数,我们可以得到下列不等式(2/(1/(a~2)+1/(b~2)))(1/2)≤2/(1/a+1/b)≤(ab)(1/2)≤(a+b)/2≤((a~2+b~2)/2)(1/2)≤(a~2+b~2)/(a+b).     

信息迁移 方法唯先

信息迁移在高考中多见于一些探索题、开放题等新题型,能有效地考查学生的思维品质和创造性地分析问题、解决问题的能力·解信息迁移题,需要较多的分析和数学方法的综合应用,那么,解决这一类问题有哪些常用方法呢?一、直接推算,合理嫁接很多信息迁移题,通过仔细阅读、认真审题,可由题设给定的规律、定义及其它相关信息直接得到解题方法·例1设M是由直线Ax+By+C=0上所有点构成的集合,即M={(x,y)|Ax+By+C=0},在点集M上定义运算:对任意(x1,y1)∈M,(x2,y2)∈M,则(x1,y1)(x2,y2)=x1x2+y1y2·(1)对M是直线2x-y+3=0上所有点的集合,计算(1,5)(-2…     

构造方程时要三注意

贵刊1990年第五期《方程组的解法及其应用》一文中的例5及其解法是: 若a、b为实数,且a~2+3a+1=0,b~2+3b+1=0,求b/a+a/b的值。(1987年泉州市初二双基邀请赛题) 解:由已知及方程根的定义可知,a、b是方程x~2+3x+1=0的两根,由韦达定理得a+b=-3,ab=1,∴b/a+a/b=(a~2+b~2)/ab=((a+b)~2-2ab)/ab     

均值不等式的推广

【定理】如果a,b是正数,那么a＋b/2≥√ab（当且仅当a=b时取“=”号）． 定理又可叙述为：两个正数的算术平均数不小于它们的几何平均数．