一个猜想的证明及推广

题目已知a,b为满足a b=1的正数,求证:(1/a~3-a~2)(1/b~3-b~2)≥((31)/4)~2.这是《中学数学教学参考》编辑部举办的第二届数学智能通讯赛中的一道试题,原证明用了31元均值不等式,贵刊文[1]给出了一种简单证法,并提出如下:     

一道分式题的推广和证明

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一道联赛题的简证、推广与引申

2001年世界城际间数学联赛第6题是: AD,BE,CF是△ABC的高,K,M,N分别为△AEF,△AFD,△COE的垂心。求证:△DEF和△KMN是全等三角形。文[1]中给出一个三角法证明,本文给出一个简洁的纯平几证明,并对此试题加以推广和引申研究。     

一个猜想的推广及证明

在文[1]中,陈宇老师证明了文[2]提出的猜想： 若a,b,c为满足abc=1的正数,则√a^2＋1＋b^2＋1＋√c^2＋1≤√2（a＋b＋c）,并提出新的猜想：     

一个猜想的证明及推广

题目 已知a,b为满足a＋b=1的正数,求证：（1/a^3-a^2）（1/b^3-b^2）≥（31/4）^2.     

一个平几命题的推广

题　如图1,内接于圆的四边形ABCD的对角线AC与BD垂直相交于点K,过点K的直线与边AD,BC分别相交于点H和M.求证:(1)如果KH⊥AD,那么CM=MB;(2)如果CM=MB,那么KH⊥AD.这是九年义务教育初中几何课本第三册第210页B组第2题.本文作如下推广:推广1　圆的两弦AC,BD所在直线垂直相交于点K,过点K的直线与弦AD,BC分别相交于点H和M(如图2,3),则KH⊥ADCM=MB.图2　　　　　　　　　图3特别地,平移BD或AC,使BD为圆的切线,B(D)为切点(如图4),此时,上述结论仍成立.证明此略.图4　　　　　　　　　　图5推广2　设直线x y n=0,x-y p=0的…     

对一道IMO试题推广的证明

陈胜利老师在《中学教研(数学)》2003年第1期的《一道IMO试题的推广》一文的末尾提出如下猜想设a,b,c为△ABC三边长,n∈R,且n≥2,证明或否定     

Safta猜想的推广和证明

文[1]“100个未解决的问题”中的问题80是: Safta猜想 设AA_1、BB_1、CC_1是△ABC三条任意Cevian线。若AA_1∩B_1C_1=P,BB_1∩A_1C_1=Q,CC_1∩A_1B_1=R,猜想sum AP/(PA_1)≥3。     

三角法证明平几题

有些平面几何题巧用三角法进行证明，往往不需要添加或少添加辅助线，使解题过程简捷、直观．     

一个不等式的证明及推广

我们先给出一个常见的不等式证明题: 问题1已知:a,b∈R ,a b=1.求证:(1 1/a)2 (1 1/b)2≥18.     

对一个平面几何问题的思考

问题 (不妨称为命题 1 ) :在△ＡＢＣ中 ,ＡＢ >ＡＣ ,ＡＤ为∠Ａ的平分线… (1 ) ,点Ｅ在△ＡＢＣ内部 ,且ＥＣ⊥ＡＤ交ＡＢ于Ｆ… (2 ) ,ＥＤ∥ＡＣ… (3 ) .求证 :射线ＡＥ平分ＢＣ边… (4 ) .这是《数学教学》2 0 0 1年第 4～ 5期“数学问题与解答”栏的问题 5 3 6,条件中的标号为笔者所加 .原作者使用梅尼劳斯定理及角平分线性质给出了一种证法 ,其证明较繁 .这里首先讨论其证明 ,然后对命题本身谈几点看法 ,供有兴趣的读者参考 .1　问题的证明首先提供一种能使一般初中学生容易接受的纯正的初等方法 .证法 1 :如图 1 ,延长ＤＥ交ＡＢ…     

椭圆的两个新性质及其证明

定理 1　如图所示 ,记椭圆Ｃ的切线ｌ与以椭圆长轴为直径的圆Ｏ从左至右依次交于Ａ、Ｂ两点 ,则直线Ｆ1Ａ ⊥ｌ且直线Ｆ2 Ｂ ⊥ｌ(其中Ｆ1、Ｆ2 表示椭圆的左、右焦点 ) .证明　当切点是椭圆的顶点时结论显然成立 ;当切点不是椭圆的顶点时 ,设Ｃ的方程为ｂ2 ｘ2 +ａ2 ｂ2 =ａ2 ｂ2 　 (ａ>ｂ >0 ) ,则圆Ｏ的方程为ｘ2 + ｙ2 =ａ2 .设直线ｌ与椭圆Ｃ的切点为Ｍ(ａｃｏｓθ ,ｂｓｉｎθ) ,则得切线ｌ的方程为ｂｃｏｓθ·ｘ +ａｓｉｎθ·ｙ=ａｂ . ①由①解出 ｙ并代入ｘ2 + ｙ2 =ａ2 ,整理得(ａ2 ｓｉｎ2 θ +ｂ2 ｃｏｓ2 θ)·ｘ2 - 2ａｂ2…     

微积分中值定理的统一证明及推广形式

Cauchy中值定理统一了微积分中值定理各种形式，从而建立了微分中值定理和积分中值定理之间的内在联系,以Rolle中值定理为基础，借助不同形式辅助函数可对其它几个中值定理作出多种形式的统一证明；利用Taylor公式可以进一步导出微积分中值定理的推广形式。     

一类特殊比例式的证明策略

在各地中考试卷中,常出现一类形如a·bc·d=ef的比例式的证明问题,这里谈谈证明这类比例式的策略.策略一“裂项”法.欲证a·bc·d=ef,只需证ac=ex且bd=xf.例1在直角ABC中,AD为斜边BC上的高,以AD为直径的圆交AB于E.求证:AC2AB2=AEBE.分析欲证AC2AB2=AEBE,只要找出线段x,使ACAB=AEx且ACAB=xBE.证明连结DE.∵AD是直径,∴DE⊥AB.又AB⊥AC,AD⊥BC,∴ABC∽ABD∽AED∽BDE.∴ACAB=AEED,ACAB=EDBE,∴AC2AB2=AEED·EDBE=AEBE.策略二“升幂”法.欲证a·bc·d=ef,只需证a·b=e·x,且c·d=f·x.例2设AD是RtAB…     

一个不等式的简捷证明

文【l]给出了一对非常优美的姐妹不等式:设a，b，:是正数，且a b十。=1，则有(六一)(六一。)(六一)妻(晋)’(‘，当且仅当。二。一告时取等号·(六 ·)(六·。)(六二)妻(誓)’(2)“且仅当。·。一告时取等号·本文仅给出了(l)的一个简捷证明.引理设a‘，b‘>0，i=1，2，3，则(a     

勾股定理的证明、探究与应用

勾股定理是平面几何中的一个重要定理，在国外又叫“毕达哥拉斯定理”，在现实生活中有着非常广泛的应用，用勾股定理构造方程解题是中学数学中的常用方法，勾股定理的证明方法有多种多样，目前全世界共有四百多种证法．它们的共同特点是：采取拼补图形的方法借助面积的割补加以证明，下面略介绍几种以供同学们欣赏。     

矩形的一个性质及其推广

命题平面内的任意一点,到该平面内一矩形的两个相对顶点的距离的平方和,与它到另外两个相对顶点的距离的平方和相等.