圆的切点弦问题

<正>过圆x2+y2=r2上一点P0(x0,y0)作该圆的切线,只有一条,易知其方程为x0x+y0y=r2.当点P0(x0,y0)在圆x2+y2=r2外时,切线有两条,设切点分别为A、B,那么如何求直线AB的方程呢?本文借助一道高考题展开.例1(2013年山东高考题)过点(3,1)作圆(x-1)2+y2=1的两条切线,切点分别为A、B,则直线AB的方程为().(A)2x+y-3=0(B)2x-y-3=0(C)4x-y-3=0(D)4x+y-3=0     

圆锥曲线的一个有趣性质

性质　过圆锥曲线上任一点 P(x0 ,y0 )作倾斜角互补的两直线交该曲线于 A,B两点 ,则直线 AB的倾斜角为定值 ,且直线 AB的倾斜角与该曲线在 P点的切线的倾斜角也互补证明　以下只证明椭圆情况 ,双曲线与抛物线同理可证 .设椭圆方程为 :x2a2 y2b2 =1,图 1(1)当 y0 =0时 ,直线 AB的倾斜角与 P点处切线的倾斜角都是90°,知结论成立 ;(2 )当 y0 ≠ 0时 ,设直线的参数方程为 :x=x0 tcosα,y=y0 tsinα,(t为参数 )代入椭圆方程整理得 :(b2 cos2 α a2 sin2 α) t2 2 (b2 x0 cosα a2 y0 sinα) t b2 x20 a2 y20 =a2 b2 .∵点 P在…     

数学问答

问题 9．过椭圆C:x2/8 y2/4=1上一点P(x0,y0)向圆O:x2 y2=4 引两条切线PA、PB,A、B为切点,如果直线AB与x轴、y轴交于M、N两点． (1)求直线AB的方程(用x0、y0表示)． (2)求△MON的最小值(O为原点)． (河北晓风)     

有关圆锥曲线定值问题的几个结论

<正>题目如图1,已知椭圆C:x2/a2+y2/b2=1(a>b>0)的离心率为3¹/2/2,以椭圆C的左顶点T为圆心作圆T:(x+2)2+y2=r2(r>0),设圆T与椭圆C交于点M与N.(1)求椭圆的方程;(2)求→TM·→TN的最小值,并求此时圆T的方程;(3)设点P是椭圆C上异于M,N的任意一点,且直线MP、NP分别与x轴交于R、S,O为坐标原点,求证:|OR|·|OS|为定值.     

椭圆内接直角三角形的一个性质——对2007年高考山东卷理21题（文22题）的探源、推广、引申

题目已知椭圆C的中心在坐标原点,焦点在x轴上,椭圆C上的点到焦点距离的最大值为3,最小值为1.(1)求椭圆C的标准方程;(2)若直线l:y=kx m与椭圆C相交于A,B两点(A,B不是左右顶点),且以AB为直径的圆过椭圆C的右顶点.求证:直线l过定点,并求出该定点的坐标.若设椭圆C的右顶点是A2,则△ABA2为直角三角形.利用一般化、特殊化、类比的思维方法,可以发现椭圆内接直角三角形的一个性质.性质椭圆x2a2 y2b2=1(a>b>0),A2(a,0),直线l与椭圆交于A,B两点,若AA2⊥BA2,则直线l过定点Ma(a2-b2)a2 b2,0.证明设直线AA2:y=k(x-a),联立y=k(x-a),x2a2 y2b2=…     

圆锥曲线的一个优美性质

笔者近日在学习和研究圆锥曲线时,发现圆锥曲线与其切线有关的一个优美的性质,现表述如下,以期与同仁分享. 性质1 已知A,B是椭圆C:x2/a2+y2/b2=1(a＞b＞0)上不同的两点(不同时在坐标轴上,或kOA·kOB≠-b2/a2),O为椭圆C的中心,椭圆C在点A,B处的切线分别与直线OB,OA相交于P,Q两点.则AB∥PQ. 证明:如图1,设A(x1,y1),B(x2,y2).则切线AP,BQ的方程分别为:x1x/a2+y1y/b2=1,x2x/a2+y2y/b2=1.直线OA,OB的方程分别为:y=y1/x1x,y=y2/x2x由方程组｛x2x/a2+y2y/b2=1 y=y1/x1x,解得点Q的坐标为xQ=a2+b2+x1/b2x1x2+a2y1y2,yQ=a2+b2+y1/b2x1x2+a2y1y2.     

探求一个问题的结论后面的规律

正问题:如图1,已知圆C:x2+y2=r2与直线l:y=kx+m没有公共点,设点P为直线l上的动点,过点P作圆C的两条切线,A、B为切点。证明:直线lAB恒定过点Q。分析:利用我们常用的一个结论:若点P(x0,y0)是圆x2+y2=r2外一点,则过点P作圆的两条切线,切点分别为A、B,则过A、B两点的直线方程为:x0·x+y0·y=r2。     

对一道解析几何模考题的探究

正题目如图1,已知椭圆C1:x2a2+y2b2=1(ab0)和圆C2:x2+y2=b2,圆C2将椭圆C1的长轴三等分,且圆C2的面积为π.椭圆C1的下顶点为E,过坐标原点O且与坐标轴不重合的任意直线l与圆C2相交于点A,B,直线EA,EB与椭圆C1的另一个交点分别是点P,M.(1)求椭圆C1的标准方程.(2)①设PM的斜率为kPM,直线l的斜率为t,求kPM t的值;②求△EPM面积最大时直线l的方程.(2014年宁波市高三十校联考数学模拟试题     

圆锥曲线中点弦问题的解题策略

直线和圆锥曲线的位置关系中,涉及弦的问题特别多,其中以弦的中点问题最为丰富多彩.中点弦问题是中学数学的一类重要问题,解决圆锥曲线的中点弦问题,有以下几种策略.1“设而不求”的策略例1已知P(1,1)为椭圆22194x+y=内一定点,过点P的弦AB被点P平分,求弦AB所在直线的方程.分析常规思路设直线AB的斜率为k由方程组求A、B的坐标,由AB的中点坐标建立k的方程求k,但注意到弦的中点坐标公式x=12(x1+x2),y=12(y1+y2),故可用韦达定理,绕过求交点的步骤.设所求直线的方程y=k(x?1)+1,并过A(x1,y1),B(x2,y2)两点,由方程组:22(1)1,1,94y k xx y????…     

椭圆切线的一种简单作图法

我们知道 ,圆是椭圆的一种特殊情形。利用直尺和圆规可以作出圆上任一点的切线。这一方法能否推广到椭圆上呢 ?即能否作出椭圆上任一点的切线 ?本文利用圆切线的作法给出一种简单的椭圆切线作法。设P(x0 ,y0 )是椭圆 x2a2 +y2b2 =1上的任一点 ,求作经过此点的椭圆的切线。显然 ,当P(x0 ,y0 )是椭圆的顶点时 ,不难作出过该点的椭圆切线 ,因此可设P(x0 ,y0 )不是椭圆的顶点 ,这时有x0 ≠ 0 ,y0 ≠ 0。作法如下 :①如图 ,以坐标原点为圆心 ,以长半轴的长度a为半径作圆x2 +y2 =a2 ,②过点P作x轴的垂线交圆于点P′,③连接OP′,过点P′作圆的…     

题库(二十二)

1·已知a,b为正实数,且满足a+b=2.(1)求1+1a+11+b的最小值;(2)猜想1+1a2+1+1b2的最小值,并证明;(3)求1+1an+1+1bn的最小值;(4)若a+b=2改成a+b=2p(p≥1),猜想1+1an+1+1bn的最小值.2·已知某椭圆的焦点是F1(-4,0),F2(4,0),过点F2并垂直于x轴的直线与椭圆的一个交点为B,且|F1B|+|F2B|=10,椭圆上不同的两点A(x1,y1),C(x2,y2)满足条件|F2A|,|F2B|,|F2C|成等差数列.(1)求该椭圆的方程;(2)求弦AC中点的横坐标;(3)设弦AC的垂直平分线的方程为y=kx+m,求m的取值范围.3·设曲线C:y=x2(x>0)上的点P0(x0,y0),过P0作曲线C的切线与x轴交于Q1,过Q…     

圆锥曲线中参数的取值范围的多种求法

题目:已知椭圆x92 y42=1上总有关于直线l:y=x m对称的两点,试求m的取值范围.一、运用二次方程的判别式求参数的取值范围解法1:设A(x1,y1)、B(x2,y2)是椭圆上关于直线l对称的两点,线段AB的中点为C(x0,y0).因为AB⊥l,所以直线AB的斜率为-1,于是再设直线AB的方程:y=-x b.由于A、B点既在椭圆上,又在垂直于l的直线AB上,点C既在直线AB:y0=-x0 b上,又在直线l:y0=x0 m上,从而联立:x29 y42=1y=-x b,消去y得:13x2-18bx 9b2-36=0,依韦达定理和中点坐标公式得:2x0=x1 x2=1183b,∴x0=193b.从而y0=-x0 b=143b.于是有413b=193b m,得m=-153b,而由于A…     

有趣的直线x_0x/a~2+y_0y/b~2=1

在高二教材中的圆锥曲线一章中,有这样的结论: 如图1,若P(x0,y0)是椭圆x2/a2+y2/b2=1(a >b>0)上的一点,那么经过该点的椭圆的切线方程为x0x/a2+y0y/b2=1 问题:若点P(x0,Y0)在椭圆外部(或内部)时, 直线l:x0x/a2+y0y/b2=1是什么样的直线?与椭圆有怎样的关系?     

x0x＋y0y=R^2的几何意义及其应用

1 x0x y0y=R2的几何意义 我们知道,若P(x0y0)在圆x2 y2=R2上则x0x y0y=R2是过P(x0y0)点的圆的切线;若P(x0,y0)在圆外,过P点作圆的切线PA,PB,其中A,B是切点,则x0x y0y=R2是直线AB的方程;若P(x0,y0)在圆内,直线x0x y0y=R2与圆x2 y2=R2外离,其几何意义是什么?笔者在研究这个问题时,发现其几何意义是:过P(x0,y0)任作一弦AB,过A,B分别作圆的切线l1、l2,l1、l2交点的轨迹是直线x0x y0y=R2.     

求直线方程的又一种方法

概念: (1)曲线C上的点的坐标都是方程f(x,y)=0的解; (2)以方程f(x,y)=0的解为坐标的点都是曲线C上的点, 称方程f(x,y)=0为曲线C的方程.充分利用曲线与方程的关系,可简化问题的求解. 例1 过点P(-1,1),作直线与椭圆x2/4+y2/2=1交于A、B两点,若线段AB的中点恰     

椭圆的一个几何特征

圆锥曲线有很多优美的几何特征,随着对其研究的逐步深入,新的几何性质不断被发现.下面就是笔者新近发现的椭圆的一个独特性质.定理椭圆的长半轴为a,短半轴为b,中心为O,过椭圆上一点P作长轴的垂线交辅助圆于点A,B,延长半径OA交P点的法线于点C,半径OB交P点的法线于点D,则OC=a b,OD=a-b,CP=PD.图1证明如图1,分别以椭圆的长轴、短轴所在直线为x轴、y轴建立直角坐标系.设椭圆的方程为b2x2 a2y2=a2b2(a>b>0),辅助圆的方程为x2 y2=a2.设P点坐标为P(x0,y0),则b2x20 a2y20=a2b2,过切点P的法线方程为a2y0x-b2x0y=(a2-b2)x0y0.因为AB垂直于x…     

圆的切线方程求法比较

人教版全日制普高教材《数学》第二册(上),求圆的切线方程,就出现一道例题,一道练习题,一道复习参考题.下面笔者就经过点(x,y),求圆的切线方程给出几种解法,并比较最佳求法.已知圆的方程(x?a)2+(y?b)2=r2,求经过点M(x0,y0)的切线方程.分析根据圆的切线性质,过圆上一点有且只有一条直线和圆相切,过圆外一点有且只有两条直线和圆相切.解法一不妨设切线的斜率为k(若k无解,则表示相应切线斜率不存在,以下同),则切线方程为y?y0=k(x?x0),把y=kx?(kx0?y0)代入(x?a)2+(y?b)2=r2,得222(x?a)+[kx?(kx0?y0+b)]=r,整理得22(1+k)x?2[k(kx0?y0+b)+a]x+222…     

椭圆的一个优美性质

经研究发现,椭圆有如下一个优美性质:定理A为椭圆(x2)1/2(a2)+(y2)1/2(b2)=1(a>b>0)上一个动点,B为直线y=(ab)1/2c上一点,若OA⊥OB,则直线AB与圆x2+y2=b2相切.证明如图1,设直线OA方程为y=kx(k≠0),则直线OB方程为     

一道高考试题的探讨

06年全国高考数学理科试题(北京卷)第19题:已知点M(-2,0),N(2,0),动点P满足条件|PM|-|PN|=22.记动点P的轨迹为W.(Ⅰ)求W的方程;(Ⅱ)若A,B是W上的不同两点,O是坐标原点,求OA.OB的最小值.解:(Ⅰ)依题意,点P的轨迹是以M,N为焦点的双曲线的右支,所求方程为:x2-y2=2(x>0)(Ⅱ)当直线AB的斜率不存在时,设直线AB的方程为x=x0,此时A(x0,x22-2),B(x0,-x02-2),∴OA.OB=2.当直线AB的斜率存在时,设直线AB的方程为y=kx b,代入曲线方程x2-y2=2(x>0)中,得:(1-k2)x2-2kbx-b2-2=0(*)依题意可知方程(*)有两个不相等的正数根,设A(x1,y1),B(x2,y2)…     

有趣的直线x_0x+y_0y=r~2

在高二解析几何教材的圆锥曲线一章中有这样的一个结论 :若P(x0 ,y0 )是圆 :x2 + y2 =r2 上的一点 ,那么过该点的圆的切线方程是x0 x + y0 y =r2 .(证明见教材 ) .问题 :若点P(x0 ,y0 )在圆x2 + y2 =r2 外(或圆内 )时 ,直线l:x0 x + y0 y =r2 是什么样的直线 ?与圆x2 + y2 =r2 有什么关系 ?不妨设点P(x0 ,y0 )不在坐标轴上 .直线l:x0 x + y0 y =r2 的斜率是kl =-x0y0(y0 ≠ 0 ) ,而kOP =y0x0(x0 ≠ 0 ) .∵klkOP =-1,∴直线l⊥OP .圆心O(0 ,0 )到直线x0 x + y0 y=r2 的距离为d =r2x20 + y20=r2｜OP｜.①由①可见 ,直线l与圆的关系由｜…