由一道国际数学奥林匹克试题谈起

1 引言第43届国际数学奥林匹克试题第二题: BC为圓Γ的直径,Γ的圆心为O,A为Γ上的一点,0°相似文献   

圆

A组一、选择题1. (北京市 )如图 ,CA为⊙ O的切线 ,切点为 A,点B在⊙ O上 ,如果∠ CAB =5 5°,那么∠ AOB等于(　　 )(A) 5 5°.　 (B) 90°.　 (C) 110°.　 (D) 12 0°.(第 1题 ) (第 2题 )2 . (北京海淀区 )如图 ,四边形 ABCD内接于⊙ O,E在 BC延长线上 ,若∠ A =5 0°,则∠ DCE等于 (　　 )(A) 4 0°.　 (B) 5 0°.　 (C) 70°.　 (D) 130°.3. (安徽省 )如图 ACB的半径为 5 ,弦 AB =8,则弓形的高 CD为 (　　 )(A) 2 .　 (B) 52 .　 (C) 3.　 (D) 163.(第 3题 ) (第 4题 )4 . (江西省 )如图 ,AB是 AB所对的弦 ,AB的…     

九年级(上)期末学业考试数学试题

一、选择题 (每题 3分 ,共 36分 )1 点 ( 2 ,3)关于x轴的对称点是 (　　 ) ;(A) ( 2 ,- 3)　 (B) ( 3,- 2 )(C) ( - 2 ,3)　　 (D) ( - 2 ,- 3)2 下列命题正确的是 (　　 )(A)长度相等的两条弧是等弧 ;(B)经过三个点一定可以作圆 ;(C)平分弦的直径平分弦所对的弧 ;(D)三角形的内心到三边的距离相等 ;3 如图 1,⊙O的两条弦AE、BC相交于点D ,连结AC、BE、AO、BO ,若∠ACB =6 0° ,则下列结论中正确的是 (　　 ) .(A)∠AOB =6 0°　　 (B)∠ADB =6 0°(C)∠AEB =6 0°　　 (D)∠AEB =30°　　 4 如图 2 ,EF切⊙O于点A ,则…     

第十届美国数学竞赛试题及解答

美国第十届数学竞赛于今年五月举行。下面是竞赛题和解答。 1.已知一角大小为180°/n,其中n为不能被3整除的正整数。证明:这个角可以用欧几里得的作图工具(圆规与直尺)三等分。解:因为n是不能被3整除的正整数,所以n=3K±1。如果n=3K+1,由于180°/3-K×180°/n=180°/3n(n-3K)=180°/3n,且180°/n为已知角,所以K×180°/n可用圆规与直尺作出,显然180°/3=60°可用圆规直尺作出,所以180°/3n可作。也就是说,这时180°/n可以用圆规直尺三等分。如果 n=3K-1,那么由于 K×180°/n-180°/3=180°/3n(3K-n)=180°/3n     

有关圆问题的双解举例

有关圆的问题是中考常见题型，当题目中没有给出确定的图形时，由于点、线与圆的位置关系不明确，常常会出现双解或多解．因此，解这类题要全面、周密，以防漏解．例１在⊙O中，圆心角∠AOB的度数是１００°，则弦AB所对的圆周角的度数是．分析：如图１，弦AB所对的圆周角有两个，顶点分别在弧A 和弧AD 上，它们互补，度数应为５０°或１３０°．例２如图２，已知AB是⊙O的直径，AC是弦，AB＝２，AC＝２√，在图中画出弦AD，使AD＝１，则∠CAD的度数为．分析：弦AD与AC在直径AB的同侧时，∠CAD的度数为６０°－４５°＝…     

S_5的连通弧传递陪集图

称图Γ是弧传递图,如果Γ的自同构群AutΓ作用在其弧集上传递.在valΓ≥3的情形下,本文给出了S5的连通弧传递陪集图的一个完全分类.证明了在同构意义下,这样的图有18个:2个3度弧传递图;7个4度弧传递图;3个5度弧传递图;5个6度弧传递图;1个8度弧传递图.     

与圆有关的折叠

我们对圆的折叠问题接触不多,解题时也难找到突破口.为方便你掌握此类问题的求解策略,现举例说明折叠问题的解法,供你学习时参考. 一、求折叠后弧的度数 例1(2016年舟山卷)把一张圆形纸片按图1所示方式折叠两次后展开,虚线表示折痕,则(BC)的度数是( ) A.120°.　　B.135°. C.150°.　　D.165°. 解:如图1所示,连接BO,过点O作OE⊥AB于点E, 由题意,得EO=1 BO,AB∥DC,所以∠EBO=30°, 故∠BOD=30°,则∠BOC=150°, 即(BC)的度数是150°.选C.     

第42届IMO试题1的又一三角证明

第42届IMO试题1是一道平面几何题。题目设锐角△ABC的外心为O,从A作BC的高,垂足为P,且∠BCA≥∠ABC+30°,证明:∠CAB+∠COP<90°. 文[1]给出了一个构思精巧的纯平面几何证明,文[2]给出一个三角证法.笔者在对该题作出研究之     

第42届国际数学奥林匹克试题

1.设锐角△ABC的外心为O,从A作BC的高,垂足为P,且∠BCA≥∠ABC 30°。证明:∠CAB ∠COP<90°。 2.对所有正实数a、b、c。证明:     

IMO40第5题的一种综合证法

第40届IMO第5题:两个圆Γ1和Γ2被包含在圆Γ内,且分别与圆Γ相切于两个不同的点M和N.Γ1经过Γ2的圆心.过Γ1和Γ2的两个交点的直线与Γ相交于A和B.直线MA和MB分别与Γ1相交于点C和D.证明:CD与Γ2相切.     

聚焦圆中角的应用

在圆中,圆心角与圆周角是最常见的角.它们与弦、弧和扇形面积的联系比较密切,是中考命题的重点.下面以2016年的中考题为例,说明圆中角的各种应用. 一、求角的大小 1.利用圆心角求圆周角 例1(2016年绍兴卷)如图1,BD是⊙O的直径,点A、C在⊙O上,(AB)=(BC),∠AOB=60°,则∠BDC的度数是( ) A.60°.　　B.45°.　　C.35°.　　D.30°. 解析:连接OC,∵(AB)=(BC), ∴∠BDC=1/2 ∠BOC=1/2 ∠AOB=1/2×60°=30°.选D.     

和圆有关的计算题归类解析

圆的有关知识在日常生活和工农业生产中有广泛的应用,圆是整个初中数学的一个重点和难点,是历年中考的重要考点.本文以2005年中考题为例,对和圆有关的计算题归类解析,供同学们参考.一、求圆心角例1(2005年长春市中考题)如图1,若∠BAC=35°,∠DEC=40°,则∠BOD的度数是()(A)75°(B)80°(C)135°(D)150°点拨:连结OC,运用定理“一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半”求解,因此∠BOD=∠BOC+∠COD=2×35°+2×40°=150°.所以选(D).二、求圆周角例2(2005年乌鲁木齐中考题)如图2,已知AB是⊙O的直径,C、D是⊙O上的两点,且∠D…     

直径——圆中重要的辅助线

在解圆的有关问题时,若能巧妙地作出圆的直径,将能获得简捷的解题思路,现举数例如下.例1(2005年宁波市)如图1,△ABC内接于⊙O,∠B=30°,AC=2cm.⊙O的半径为.解:连AO且延长交⊙O于D,连CD,则∠ACD=90°,∠D=∠B=30°,所以AD=2AC=2×2=4,所以⊙O的半径为2cm.例2(2005年自贡市)如图2,P是⊙O的弦CB延长线上一点,点A在⊙O上,且∠BAP=∠C.求证:PA是⊙O的切线.证明:作⊙O的直径AD,连BD,则∠C=∠D,∠ABD=90°,即∠D+∠BAD=90°,所以∠C+∠BAD=90°.因为∠C=∠PAB,所以∠BAD+∠PAB=90°,即AP⊥AD,所以PA为⊙O的切线.例3(…     

纲要信号理论在初三数学总复习中的运用——成功与不成功案例的启示与思考

面对品类名目繁多的教育理论流派 ,一线教师如何根据自己的教学实际选用合适的理论指导 ,是一个教师教育科研能力的综合体现 .沙塔洛夫的“纲要信号”理论以其简要明了易于操作为广大教师所熟悉 .本文是笔者在初三数学总复习阶段运用沙塔洛夫的“纲要信号”理论引导学生进行有效复习的个案 ,供同行参考 .1　成功案例一例 1　如图 1,已知AB是半圆的直径 ,O是圆心 ,∠DOC =60° ,求半径OD、OC及弧DC所围成的阴影部分的面积 .图 1　　　　　　　图 2例 2　如图 2 ,已知AB是半圆的直径 ,O是圆心 ,弧DC =60° ,求线段AD、AC及弧DC所围…     

初中地理计算、判断题盘点

一、有关经纬度的计算和判断1.同一经线上根据两点的纬度求距离。公式:两点间距离=2πR/360°×相差纬度数R为地球的平均半径6371千米,2πR/360°为1°对应的弧长(约     

江苏省第十八届初中数学竞赛试题

初二年级　第 1试　　 一、选择题 (每小题 7分 ,共 56分 )以下每题的 4个结论中 ,仅有一个是正确的 ,请将正确答案的英文字母填在题后的圆括号内 .1 如图 1 ,AB=CB ,四边形ABDE和CBFG都是矩形 ,∠BAC=70° ,则∠DBF等于(　　 ) .(A) 10 5° (B) 12 0° (C) 130° (D) 14 0°2 如图 2 ,矩形ABCD的长为 16 ,宽为 12 ,沿着对角线BD剪开 ,得两个三角形 .将这两个三角形拼出各种凸四边形 ,设这些四边形中周长最大为m ,周长最小为n ,则m +n的值为 (　　 ) .(A) 12 0 (B) 12 8(C) 136 (D) 14 43 两位数ab与ba的和是完全平方数 ,这样…     

第42届IMO试题解答

1.设锐角△ABC的外心为O,从A作BC的高,垂足为P,且∠BCA≥∠ABC 30°。证明: ∠CAB ∠COP<90°。 证明:令α=∠CAB,β=∠ABC,γ=∠BCA,δ=∠COP。 设K、Q为点A、P关于BC的垂直平分线的对称点,R为△ABC的外接圆半径。则     

圆中常见辅助线作法

一、涉及到有关弦、弦心距、弦长时，常作垂直于弦的直径例１．如图１，已知CD为⊙O的弦，且∠COD＝９０°，CD＝樤２，A为(CD中点，弦AB交CD于H，且∠BHD＝６０°，求AB．分析：连结OA交CD于F，作OG⊥AB于E．利用CD长，∠COD＝９０°，求半径OA的长；再利用∠BHD＝６０°，求∠OAE的度数，进而在Rt△OAE中求AE长，从而求出AB．二、涉及到直径时，常作直径所对的圆周角（直角）例２．如图２，已知：AB为⊙O直径，PC切⊙O于C，PE⊥AB交AC于F，交AB于E，交⊙O于G，求证：PF＝PC．证明：连结BC，有∠１＝∠２P…     

一道中考题的多解及变式

2005年淄博市中考数学试题第21题为:如图1,一副三角尺叠放在一起,含45°角的三角尺的斜边与含30°角的三角尺的长直角边恰好重合.(1)求∠AEB的度数(2)若含30°角的三角尺的短直角边BD长为a,求两三角尺重叠部分△ABE的面积.解法1(1)由∠DAB=30°及∠BAC=45°知∠CAE=15°,那么∠AEB=∠CAE+∠C=105°.图1图2(2)如图2,过E作EO垂直于AB交AB于O点.由∠CBA=45°知△OEB为等腰直角三角形,则OB=OE.由于BD=a,由∠DAB=30°得AD=2a,由勾股定理得AB=3a.易知△OEA∽△BDA,则BODE=AABO,即BODE=ABA-BOE.所以有OE=AB.BDAB…     

第39届IMO预选题8别证

题目:在△ABC中,∠A=90°,∠B<∠C。过点A作△ABC的外接⊙O的切线,交直线BC于D。设点A关于BC的对称点为E,作AX⊥BE于X,Y为AX的中点,BY与⊙O交于Z。证明:BD为△ADZ的外