二次函数零点式的应用

对于二次函数f(x)=αx^2 bx c(α≠0)，若方程f(x)=0有两个根x1、x2，则有零点式f(x)=α(x-x1)(x-x2)．运用二次函数零点式，可使一些问题得到简解．下面略举几例．     

书讯

题目设函数f(x)=x^2+x+α(α∈R^+)满足f(m)&;lt;0，试判断f(m+1)的符号．     

一道函数求值题的常见错误剖析

题目：函数,f(x)=αx^2-b(a,b∈R)且-4≤f(1)≤-1,-1≤,(2)≤5．求：f(3)的取值范围。     

两类幂指函数的性态及应用

通过讨论两类幂指函数f(x)=xα/x和f(x)=x1/xα的性态,给出了几种常见的超越方程的根的分布.     

关于循环差集的一个存在性定理

本文介绍了一个循环差集的存在性定理．主要结果是：设f(x)是域F2^d=L上一个置换多项式，如果f(x)是一个几乎完全非线性函数，则Im△f(x)是L^ =L＼{0}中一个循环差集当且仅当对任意a(≠0，1)∈Fq，|Sa|=q=2^m．这里，Sa={(x，y)|△f(x) a△f(y)=0}．△f(x)=f(x 1) f(x)|Sa|表示集合Sa的元素个数，作为应用，证明了在一定条件下，对f(x)=x^3。和f(x)=x^5，Im△f(x)是L^ 中一个循环差集．     

也谈由函数方程确定的周期函数

读本刊1991年第五期《由一类函数方程确定的周期函数》》,深受启发,特再给出几种由函数方程所确定的周期函数,权作该文的补充。定理1 若函数f(x)(x∈R)对任x满足方程 f(x+α)+f(x+β)=k (1) (α、β、k均为实常数,α≠β),则f(x)是以2|α-β|为一个周期的函数。证明由(1)可知,对(?)x∈R有 f(x+a)=k-f(x+β) 将上式中x换成x-a,则有 f(x)=k-f(x+(β-α)) 反复使用上式,则有 f(x)=k-[k-f(x+2(β-α))] =f(x+2(β-α)) 同理可证 f(x)=f(x-2(β-α)) 则f(x)是以2|α-β|为一个周期的函数。定理2 若函数f(x)(x∈R)对任x满足方程 f(x+a)+f(x+β)=2f(x+(α+β)/2)cosmπ/n(2) (其中α≠β,n为非1自然数,m为非零整数,且n、m     

Robin问题的一个存在唯一性定理

对于Robin问题{x^n=f(t,x,x^1); a0x(a)－a1x^1(a)=A,b0x(b)＋b1x^1(b)=B在主要假设f,fx,fx^1连续，fx≥－β(t),－a(t)≤fx^1≤a(t)(1＋|x^1|)之下，给出一个存在唯一解的充分条件。     

核心素养导向下对一道高考试题的解法探析

1试题呈现(2020年高考全国Ⅲ卷理科21题)设函数f(x)=x^3+bx+c,曲线y=f(x)在点(1/2,f(1/2))处的切线与y轴垂直.(Ⅰ)求b;(Ⅱ)若f(x)有一个绝对值不大于1的零点,证明:f(x)的所有零点的绝对值都不大于1.     

两个方程根之间的关系及其推论

设函数y=f(x),y=g(x)的反函数分别为:y=f~(-1)(x),y=g~(-1)(x).记方程f(x)=g(x)及f~(-1)(x)=g~(-1)(x)的根分别为α、β.若F(x)=f(x)-g(x)是单调函数,则有β=f(α)=g(α).     

Selmer多项式不可约性的一个新证明

由n次多项式f(x)的全部根α1,α2…,αn ,构造一个关于根的对称多项式S(f)=n∑i=1(αi-1/αi) ,如果多项式f(x)在(◎)[x]可以分解为多项式g(x)h(x) ,利用恒等式S(f)=S(g)+S(h) ,得出多项式g(x)的可能形式,并利用上述方法给出Selmer多项式不可约性的一个统一证明.     

对一道高考题的思考

先看一道高考题及其解答,规定:函数h(x)= f(x)·g(x),若g(x)=f(x+α),其中α是常数,且α∈ [0,π],请设计一个定义域为R的函数y=f(x),及一个α的值,使得h(x)=cos4x,并予以证明．     

伴随式项式的组合性质

设G是一个图，GPm表示将G的一边用路Pm代替所得的图，h(G,x)表示图G的伴随多项式，F（t)是h(GPm,x)的生成函数，得到了以下结果：（1）当m≥4时，h(GPm,x)＝x(h(GPm-1,x) h(GPm-2,x));(2)h(GPm,x)=1/α-β（Aα^m Bβ^m)；这里α＝x √x^2 4x/2,β=x-√x^2 4x/2,A=h1-βh0;(3)F(t)=h0 (h1-xh0)t/1-xt-xt^2。     

一道高考题探源

2007高考广东卷理科压轴题已知函数f(x)=x~2 x-1,α,β是方程f(x)=0的两个根(α>β),f′(x)是f(x)的导数.设a_1=1,a_(n 1)=a_n-(f(a_n)/(f′(a_n)))(n=1,2,…).     

函数条件f(α+x)=f(α-x),f(x+α)=f(x-α)的应用

通过对函数条件f(α+x)=f(α-x),f(x+α)=f(x-α)的讨论,以结论的形势给出了它们所对应的函数性质,并辅以一定例子说明它们的应用.     

教学难点的阶梯式处理

先来看一个例子：已知f(2x 1)=x^2-2x，求函数y=f(x)的表达式．像这类“已知复合函数f[g(x)]和g(x)的表达式，求f(x)”的习题，在高中数学教学中是十分常见的．这类题的一般处理方法是：令t=2x 1，则x=t-1/2，代入原式即得f(x)的表达式．这种解法对于初学者来说是难以理解的，     

一元二次方程实根分布新探

设一元二次方程αx^2＋bx＋c=0（α≠0）（1），其实根为x1，x2．对应的二次函数为f（x）=αx^2＋bx＋c（α≠0），则f（0）=c．     

求数列αn＋1=qαn＋P（n）〈p（n）为多项式〉的通项的积分解法

设f(x)=αx,x∈1[1, ∞],且f(1)=m,(m∈R),     

若干初等函数方程之求解

本文给出几个常见的初等函数方程之求解,为讨论方便起见,始终假定所讨论的函数在其定义域上连续。命题1(线性函数方程)对于任何实数x,y,有f(x y)=f(x) f(y)当且仅当存在实数a,使得f(x)=ax。证明:只须证明“仅当”部分(以下的所有命题都是这样)。首先由f(0)=f(0 0)=2f(0)得f(0)=0,对于任何实数x,f(2x)=f(x x)=2f(x),用数学归纳法不难证明对于任何实数x,任何自然数n有f(nx)=nx,而且f(x)=f(n·x/n)=nf(x/n),即f(x/n)=     

妙用f(x)+n/(f(x))=c+n/c的解(初三)

可以证明:形如f(x) n/f(x)=c n/c(其中f(x)为一个含有x的代数式,c,n是不为零的常数)的方程的解为f(x)=c或f(x)=n/c(本文将此重要结论记为(*)).下面通过数例说明如何妙用f(x) n/f(x)=c n/c的解.     

函数单元测试题

一、选择题(只有一个答案正确) (1)下列函数f(x)与ф(x)表示同一函数是( )。 (A)f(x)= ф(x)=f~(-1)(x); (B)f(x)=x,ф(x)=x~2/x; (C)f(x)=x,ф(x)=2~1/x~2; (D)f(x)=lnx,ф(x)=1/2lnx~2。