等差（比）数列存在等比（差）子数列的充要条件

本文解决了文[1]提出的一个值得探讨的问题:使非常数等差数列存在等比子数列的充要条件是什么?     

探究等差数列的等比子数列的公比范围

从等差数列中抽取部分项构成等比数列（或寻找等差数列与等比数列的公共项）是数列中的常见问题之一．为了揭示这类问题的规律，本文约定：如果从无穷等差数列{an]．中抽取部分项，按原来的顺序能构成一个无穷等比数列{akn}，那么我们把数列{akn}称为等差数列{an}的一个等比子数列．本文试图通过研究等比子数列的公比范围，力求形成具有一定解题指导意义的结论．     

等差(比)数列的等差累进和

文[1]给出了等差数列的等比累进和,探讨并举例说明其应用.作为[1]的继续,本文讨论等差数列的等差累进和及等比数列的等差累进和.……     

正项等差数列不等式

含有正项等差数列若干项的不等式,为行文便利不妨叫做正项等差数列不等式,文[1]、[2]、[3]研究了这样的不等式,本文继续研究.为了叙述简便起见,本文规定数列{an}是公差为d(d＞0)的正项等差数列,n为正自然数.     

求解等差乘等比型数列求和问题的新路径

<正>黄元华老师在文[1]中介绍了由学生想出来的利用待定系数法解决{a_nb_n}(其中{a_n}是等差数列,{b_n}是等比数列)这类等差乘等比型数列求和问题的思路,但对问题背后隐含的规律并没有给出一般性证明. 笔者对其进行研究,发现了问题背后隐藏的规律,并对其进行了推广,得出了此类问题求解的另一条路径. 现整理成文,与读者共享.在文[1]中求通项公式为a_n=n·2ⁿ的数列{a_n}的前n项和S_n时,解题过程中利用了假设     

如何求解数列的综合问题

[考点解释]1.理解等差数列、等比列的概念,掌握等差数列、等比数列的通项公式与前n项和公式并能解决简单的实际问题.2.掌握递推数列化归构造新的辅助数列为等差或等比数列,或“叠代法、累加法或累乘法”求通项或通过“归纳-猜想-证明”探索其通项的方法.3.掌握特殊数列求和的方法:直用公式;裂项相消法;错位相减法;反序求和等.     

K阶差等比数列——等差、等比数列的统一

众所周知,一个数列的k阶差是等差数列时,可求出此数列的通项及前n项之和(参见文[1])。若一个数列的k阶差是等比数列时,能求出它的通项及前n项之和吗?本文将给出肯定的回答,并指出等差、等比两类最基本的数列能统一起来。如果数列{a_n}的k阶整是以q为公比的等比数列,则称数列{a_n}是k阶差等比数列,称q为k阶差等比数     

等比数列的几个性质及应用

文[1]给出了等差数列的几个性质及应用，笔者拜读后颇受启发，等差数列与等比数列被称为“孪生数列”，说明在很多方面二者存在相似性或共同点，经过类比研究，笔者发现在等比数列中也有类似的性质，同时介绍笔者的一点拙见，作为对文[1]的补充，供参考。     

有关正项等差数列方幂的不等式

文[1]给出正项等差数列方幂的若干个不等式,本文再补充几个这样的不等式.为了简便起见,以下规定数列{an}为正项等差数列,公差为d,前n项和为Sn,m,n,k,p均为正整数.     

创新型数列问题分类解析

数列问题一直是高考考查的重点内容.近年来,在高考和各地模拟试卷中出现了大量的创新型数列问题.本文从中精选几例,加以归类解析,旨在探讨解题规律,提高解题能力,对高考复习有所帮助.1子列型一个数列从中抽取部分项构成的新数列称为原数列的子列.这类问题要理清子列与原数列的关系,抓住子列中的任何一项既在子列中又在原数列中,既具备子列的特征,又具备原数列的特征,从而沟通子列与原数列.例1(2005年全国卷Ⅲ)在等差数列{an}中,公差d≠0,a2是a1与a4的等比中项,已知数列a1,a3,ak1,ak2,…,akn,…成等比数列,求数列{kn}的通项kn.解已知a22=a1a4…     

平均数的性质及在数列中的活用

等差数列前n项的算术平均数与前n项和、数列第n项有密切联系,活用它的性质,对解等差数列题有很大帮助;同样等比数列前n项的几何平均数也有类似性质.本文谈谈等差(或等比)数列前n项的算术平均数的性质及其在等差(或等比)数列中的应用.     

等差数列的不等式及其拓广

等差数列与等比数列的前n项和是高中数学的重要内容.在文[1][2]中,作者证明了等差数列与等比数列的前n项和的一些统一性质.在文[3]中,作者列举了等差数列的一个有趣性质:命题【3】 设{an}为等差数列且满足公差d≥0以及a1>0,则当n≥2时成立如下不等式:2(√an+1 -√ an )< d/√an <2(√an -√an-1 ).(1)本文目的主要是推广以上的不等式并把等差数列的结论推广到一类更广泛的递推数列中去.     

用几种特殊数学方法解物理习题例析

本文用数列、解析几何等数学方法,求解几道物理习题,示例如下: 1.数列知识的运用类 这类题目的内容常常涉及到等差数列、等比数列等,主要利用数列的通项公式和求和公式.在等比数列的问题中,还经常应用无穷递缩等比数例.     

正项等差数列方幂不等式

由正项等差数列若干项的方幂构成的不等式,叫做正项等差数列方幂不等式,数学教学讲到等差数列问题,很少联系不等式,为了沟通等差数列与不等式的联系,文[1]从等差数列三项的足数成等差数列出发,引出几个正项等差数列方幂不等式.本文再从等差数列三项的足数成等比数列出发,引出几个这样不等式.为了简便起见,以下规定数列{an}是公差为d(d≥0)的正项等差数列,Sn为其前n项的和,m,n,p,k为正整数,且n≠k.     

几种特殊数列求和的方法和技巧

特殊数列求和问题在高考中既是难点又是重点.本文主要列举几种以等差数列、等比数列的通项公式为依据,综合运用化归的思想来解决既非等差又非等比的一类数列的方法.     

再谈数列一个性质的证明

<正>性质 如果各项均为正数的等比数列和一个等差数列,首项、末项、项数分别相等,那么等比数列的各项均不超过等差数列的对应项.文[1]中,运用函数思想通过恰当的换元,将上述数列问题转化为一个与幂函数相关的不等式问题来解,并给出了函数不等式的几何解释.让读者既能感受到思路的巧妙、解法的合理又能体会到几何的直观,真的受益匪浅.在研读文[1]的过程中,笔者又得到了上述性质的另两种证法,现陈述如下,供大家参考.设等比数列和等差数列的首项为a,     

数列求和的若干种方法

对于等差数列、等比数列 ,教材中给出了明确的求和公式 ,但对于非等差、非等比的数列 ,我们如何求它们的和呢 ?本文总结介绍一些常见的特殊数列的求和基本方法 ,供同学们在学习中参考 .1　公式法这种方法就是利用现成的公式直接求数列的和 .除了教材中已有的等差数列、等比数列求和公式外 ,常用的公式还有 :自然数的平方和公式 12 2 2 32 … n2 =16 (n 1) .(2 n 1) ;自然数的立方和公式 13 2 3 33 … n3 =(1 2 3 … n) 2 =[n(n 1) ]24等等 .对于能转化为具有这种结构的数列 ,我们可直接利用这些公式进行求和 .例 1　已知数列 { an…     

数列中的高斯函数

定义1设x∈R,用[x]表示不超过x的最大整数,则y=[x]称为高斯函数,也叫取整函数.显然,y=[x]的定义域是R,值域是Z.其对应法则不能用解析式表示,如图1所示,其图象呈阶梯状,要掌握高斯函数这一概念要抓住两个关键:(1)对任何x,[x]是整数;(2)[x]≤x<[x]+1;定义2{x}=x-[x]称为的“小数部分”,显然,函数y={x}的定义域为实数集,值域0≤{x}<1,其图象如图2所示.图1y=[x]的图象图2y={x}的图象数列———高考热点之一,高斯函数———竞赛考点之一.于是,近年数列与高斯函数结合的试题在高考、竞赛中频频出现,高斯函数关联着连续和离散两个方面,有其独特的性质和广泛的应用,因而两者结合的试题屡次出现,值得关注.1等差等比相关例1(2009年湖北文科9)设x∈R,记不超过x的最大整数为[x],令{x}=x-[x],则三个数5+12,52+1,52+1A.是等差数列但不是等比数列B.是等比数列但不是等差数列C.既是等差数列又是等比数列D.既不是等差数列也不是等比数列解可分别求得52+1=52-1,5+12=1,则由等比数列性质易得三者构成等比数列.答案:B点评本题主要考查等比的定...     

再探一类分式型递推数列

<正>文[1]给出了一类分式型递推数列通项公式的统一求法.本文就此类数列问题作更一般化研究,将其分为可构造等比数列和周期数列两大类,并举例说明其简单应用.一、分式型递推关系式的界定文[1]研究了形如     

巧构等比等差数列 速解三角求值问题

<正>对某些看似与数列毫无关联的三角求值问题,若已知条件含有或可以变形整理成为"ab=G2"或"a+b=2A"的特征式,则往往可以通过构造等比或等差数列,来改变问题的原有结构,实现三角向代数的转化,达到优化解题思路的目的.本文略举数例介绍如何构造等比、等差数列,解决此类三角求值问题,供参考.