再探椭圆焦点三角形的性质

在《高中数学课程标准》中关于椭圆内容有这样的要求:经历从具体情境中抽象出椭圆模型的过程,掌握椭圆的定义、标准方程及简单几何性质.其中,椭圆焦点三角形的性质为学生应掌握的椭圆相关性质之一,以它为载体可以考查学生的基础知识、基本技能、基本方法和三者综合应用的能力.因此,很有必要对椭圆焦点三角形的性质展开研究.     

椭圆焦点三角形的若干性质

如图,设/%、/*是椭圆-*"*+.*0*&%("1012)的焦点,3是椭圆上的任意一点(异于长轴的端点),则称!/%3/*为椭圆的焦点三角形。设"/%3/*&!,"3/%/*&","3/*/%&#,椭圆的离心率为4,则!/%3/*具有如下的性质。定理%53/%5·53/*5&0*678*!*证明:在!/%3/*中,由余弦定理得:53/%5*+53/*5*$*·53/%5·53/*5678!&,6*(%)又因为53/%5+53/*5&*"所以53/%5*+53/*5*+*53/%5·53/*5&,"*(*)(*)$(%)得:*53/%5·53/*5(%+678!)&,("*$6*)&,0*所以53/%5·53/*5&*0*%+678!&0*678*!*定理*9!/%3/*&0*·:";!*如图,设/%、/*是椭圆-*"*+.*0*&%("1012)的焦点,3是椭圆上的任意一点(异…     

椭圆中焦点三角形的若干性质

椭圆x2/a2+y2/b2=1(a＞b＞0)中除长轴两端点外的任一点P(x1,y1)与两焦点F1(-c,0)、F2(c,0)所组成的三角形PF1F2叫做焦点三角形.焦半径| PF1 |=a+ex1,|PF2 |=a-ex1.焦点三角形具有不少有益的结论,而对这些结论的证明亦颇有启迪性;并且这些结论在解题中也能起到不少帮助.     

椭圆的“顶焦点三角形”性质探究

在椭圆中,我们通常把焦点与过另一个焦点的弦所围成的三角形叫做焦点三角形,类似地,我们也把顶点与过另一个顶点所对应的焦点弦围成的三角形叫顶焦点三角形.在椭圆的顶焦点三角形中有许多与椭圆焦点三角形相类似的几何特     

椭圆焦点三角形内心性质的简证

贵刊文[1]探寻了如下的一个结论:定理:设P是椭圆x2a2+yb22=1(a>b>0)上的一点,F1,F2是两个焦点,I是△PF1F2的内心,e是椭圆的离心率,两条焦半径PF1与PF2的长分别是r1,r2,PI=d,则有rd1r22=11-+ee.作者在证明该问题时借助了文[2]的一个引理.本文给出该问题的一个更自然、更易被学生接受的证明,供参考.证明如图1,因I为内心,延长PI交F1F2于M,由角平分线定理可得IMPI=FP1FM1=FP2FM2=F1M+F2MPF1+PF2=22ac=e,所以F1M=e PF1=er1,F2M=e PF2=er2.又由余弦定理可得cos∠F1PM=PF1 22+PF P1 M·2P-M F1M 2=PF2 22+PF P2 M·2P-…     

椭圆、双曲线焦点三角形的一个性质

文[1]、[2]研究了椭圆和双曲线焦点三角形的一些性质，本文给出椭圆和双曲线焦点三角形的另一个性质．     

椭圆双曲线焦点三角形的若干对偶性质——兼证法探微

定义以椭圆 x~2/a~2 y~2/b~2=1(a>b>0)(1)的两个焦点 F_1(-c,0)、F_2(c,0)(c=(a~2-b~2)~(1/2))及椭圆上任意一点 P(但不是长轴顶点)为顶点的△F_1PF_2,叫做椭圆的焦点三角形;以双曲线 x~2/a~2-y~2/b~2=1(a>0,b>0)(2)的两个焦点F_1(-c,0)、F_2(c,0)(c=(a~2 b~2)~(1/2))及双曲线上任意一点 P(但不是双曲线顶点)为顶点的△F_1PF_2,叫做双曲线的焦点三角形(由对称性,本文姑且设 P 在双曲线的右支上).     

对椭圆的两个新性质再研究

文[1] 给出有关椭圆的两个性质 ,对于这两个性质本文给以引申和证明 .　　　　　　图 1推论 1　如图1所示 ,椭圆b2 x2 +a2 y2 =a2 b2 　 (a>0 ,b>0 )过切点M的切线l与以椭圆长轴为直径的圆O从左至右依次交于A、B两点 ,则以线段MF1、MF2 为直径的圆与圆O分别内切于A、B两点 (其中F1、F2为双曲线的左右焦点 ) .证明　设M (acosθ ,bsinθ) ,F1(-c,0 ) ,F2 (c,0 ) ,由文 [1]定理 1证明 ,可知A(ab2 cosθ -a2 csin2 θa2 sin2 θ +b2 cos2 θ ,a2 bsinθ +abcsinθcosθa2 sin2 θ +b2 cos2 θ ) ,B(ab2 cosθ+a2 csin2 θa2 sin2 θ+b2…     

椭圆与双曲线焦点三角形的性质

所谓焦点三角形，就是圆锥曲线的两个焦点F1，F2与圆锥曲线上的任意一点P，组成的三角形．它在圆锥曲线中有着重要的地位．下面分椭圆与双曲线两部分进行探讨．     

椭圆焦点三角形内心的一个新性质

笔者最近对椭圆作了一些研究,得到一个新性质,现说明如下,供同行参考.     

椭圆、双曲线焦点三角形的一个性质

文[1],[2]研究了椭圆和双曲线焦点三角形的一些性质,本文给出椭圆和双曲线焦点三角形的另一个性质.     

椭圆的焦点弦性质

圆锥曲线是高中数学中一个重要内容，是每年高考的重点和热点。为此，在圆锥曲线的复习过程中，我们非常有必要对教材进行认真的研究和发掘。教材中研究了抛物线焦点弦的一些性质，那么椭圆焦点弦性质又有哪些呢？现在为同学们总结如下：     

椭圆中的“焦点三角形”性质及应用

“焦点三角形”问题是考试中比较常见的考题．椭圆“焦点三角形”的定义为：椭圆上的任意一点（除长轴端点外）与两个焦点构成的三角形．通常“焦点三角形”的问题都有意地考查了椭圆的定义、三角形中的正弦、余弦定理、三角形的面积、内角大小等知识,现笔者就椭圆“焦点三角形”的性质及应用举例分析如下．     

浅谈椭圆焦点三角形的性质

所谓椭圆焦点三角形是指椭圆上任一点与其两焦点构成的三角形 .本文以椭圆 x2a2 + y2b2 =1　 (a >b>0 )为例 ,利用其定义及性质来证明△F1PF2 的十一个性质 .记P(x0 ,y0 ) ,∠F1PF2 =γ ,∠PF1F2 =α ,∠PF2 F1=β ,c =a2 -b2 ,e =ca ,则有以下性质 :性质 1　△F1PF2 的周长为 2a + 2c .证明略 .性质 2　 |PF1| =a +ex0 ,|PF2 | =a -ex0 .证明略 .性质 3　△PF2 F1的面积S =b2 tan γ2 .证明　设 |PF1| =m ,|PF2 | =n ,则△PF2 F1的面积S =12 mnsinγ .由椭圆定义得m +n =2a .又由余弦定理得4c2 =m2 +n2 - 2mncosγ=(m +n) 2 -…     

椭圆、双曲线焦点三角形的性质及应用

设F1，F2为椭圆或双曲线的两个焦点，P是椭圆或双曲线上一点(长轴或实轴端点除外)，则称△PF1F2为此椭圆或双曲线的焦点三角形．     

椭圆焦点三角形的性质探究与应用——椭圆的“第三定义”

我们知道,椭圆上任意一点(除去长轴端点)与两焦点所构成的三角形称为椭圆的焦点三角形。那么该三角形有哪些特殊的性质呢?本文对椭圆的焦点三角形的性质进行探究并举例说明其应用。     

过椭圆焦点的垂直弦的性质

已知椭圆C：x^2/a^2＋y^1/b^2（a〉b〉0）,其相应于焦点F（2,0）的准线方程为x=4．     

椭圆正交焦点弦相关性质在高考中的应用

圆锥曲线是高中数学一块重要的内容,也是学生学习中经常望而生畏的一个难点.如何破解难点,提升学生对这块知识的学习兴趣,笔者觉得除了必要的常规训练,数学思维培养外,适当地挖掘圆锥曲线中一些优美的性质,让学生体会这些经典性质的应用,在对性质的探讨和摸索中欣赏高考题的背景知识,从而走近高考,攻克难点.     

“母子”椭圆和双曲线的有趣性质再探

椭圆b^2x^2＋c^2y^2=c^2b^2（a〉c〉b〉0,c=√a^2-b^2）内含于椭圆b^2x^2＋a^2y^2=a^2b^2（a〉b〉0）,双曲线b^2x^2-c^2y^2=b^2c^2     

椭圆的“类焦点”的牲质初探

文[1]中介绍了椭圆的“类准线”x=a^2/m（m〉0）的一些优美性质,读后颇受启发．因为椭圆的焦点也具有许多优美的性质．按照文[1]的思路,我们称点F（m,0）（｜m｜〈n,且m≠0）为椭圆x^2/a^2＋y^2/b^2=1（n〉b〉0）的“类焦点”．经过探究,发现椭圆的“类焦点”也具有许多优美的性质,现介绍如下：