递推数列通项公式的求法

对于函数f（x）,若数列{xn}满足x1=a,xn＋1=f（xn）（n∈N）,则称{xn）为递推数列,f（x）称为数列{xn}的迭代函数,x1=a称为初始值．递推数列是数列中的一类非常重要的问题,求递推数列的通项公式,既是中学数学学习中的一个难点,又是近几年高考的一个热点．     

一个关于凸函数最值命题的两个应用

命题f（x）为定义在[a,b]∈R上的实凸函数,实数x1,x2,…,xn∈[a,b],且满足x1＋x2＋…＋xn=s（na≤s≤nb）．     

一个不等式猜想及证明

猜想（数学问题315．2）设xi〉0,i=1,2,…,n（n≥3）,则有Sn=x2/x1（x3＋x4＋…＋xn）＋x3/x2（x4＋…＋xn＋x1）＋…＋xn/xn-1（x1＋x2＋…＋xn-2）＋x1/xn（x2＋x3＋…＋xn-1）≥（n-2）n∑i=1xi.     

应用方差的特性与公式解竞赛题

如果一组数据x1，x2.x3,…，xn其平均数为x^-=1/n（x1＋x2＋x3＋…＋xn）．①     

2006女子数学奥林匹克

第一天 1．设a＞0，函数f：（0，＋∞）→R满足f（a）=1．如果对任意正实数x、y，有f（x）f（y）＋f（a/x）f（a/y）=2f（xy）, 求证：f（x）为常数。     

函数单调性的一些应用

1．恒成立问题的求参 例1已知函数，f（x）=a＋2x-x^2/x，x∈[1，＋∞），若对任意x∈[1，＋∞），f（x）〈0恒成立，试求a的取值范围．     

与过定点直线相关的一类问题韵处理

直线是解析几何的基础,在解题时经常遇到一些特殊的过定点的直线,如过定点肘（x0,y0）的直线系方程为y—y0=五（x-x0）及x=xn;过直线l1：a1x＋b1y＋c1=0和l2：a2x＋b2y＋c2=0的交点的直线系的方程为（a1x＋b1y＋c1）＋λ（a2x＋b2y＋c2）=0（不含l2）．定点只是一个特殊点,但不要忽视它,定点若是运用得好,在解题中会起到意想不到、事半功倍的效果．     

2008年高考江西卷压轴题的简解及推广

题已 知函数f（x）=1/√1＋x＋1/√1＋a＋√ax/ax＋8,x∈（0,＋∞）. （1）当a=8时,求f（x）的单调区间; （2）对任意正数a,证明1〈f（x）〈2．     

一类数列求通项公式问题的探讨

2007年全国高考四川卷．理21：已知函数f（x）=x^2-4,设曲线y=f（x）在（xn,f（xn））处的切线与x轴的交点为（xn＋1,0）（n∈N^＊）其中x1为正实数．     

点列中的通项公式问题求解策略

按一定次序分布的若干个点P1，P1，…，Pn…叫做点列．同一平面上的点列P1，P2，…，Pn，…置于平面直角坐标系后，分别对应坐标（x1，y1），（x2，y2），…，（xn，yn），…，该点列的横、纵坐标分别排成一列数就形成两个数列{xn}，{yn}．若lim n→＋∞ xn=a，lim n→＋∞ yn=b，则称点列P1，P2，…，Pn，…存在极限点P（a，     

一道竞赛题的解法分析与命题背景

2009年浙江省高中数学竞赛试题第20题： 题目设函数f（x）=3ax^2-2（a＋b）x＋b，其中a〉0，b为任意常数．证明：当0≤x≤1时，有｜f（x）｜≤max{f（0）,f（1）}．     

超级难题的简单解法（九）

例1 已知函数f（x）=x^2·e^ax,x∈R,其中e为自然对数的底数,a∈R．若对于任意的a〉0,都有f（x）≤f＇（x）＋x^2＋ax＋a^2＋1/a·e^ax成立,求x的取值范围．     

对一道高考难题的再思考

2008年高考江西卷（理科数学）的压轴题为： 已知函数f（x）=1/√1＋x＋1/1√1＋a＋√ax/ax＋8,x∈（0,＋∞）. （1）当a=8时,求f（x）的单调区间; （2）对任意正数α,证明：1〈f（x）〈2．     

一道早期冬令营试题的导数解法

题目设a1，a2，…，an是给定的不全为0的非负实数，r1，r2，…，rn都是非负实数，使得不等式∑k=1^nrk（xk-ak）≤（∑k=1^nxk^2）^1/2-（∑k=1^nak^2）^1/2①对任意非负实数x1，x2，…，xn都成立．求r1，r2，…，rn的值．[第一段]     

一类恒成立问题的解题误区

题目 设不等式x^2＋ax＋1〉2x＋a,对a∈（1/4,4）恒成立,求实数x的取值范围． 解法1 由x^2＋（a-2）x＋1-a〉0对任意a∈（1/4,4）成立, 令g（a）=（x-1）a＋x^2-2x＋1,需[g（a）]min〉0.     

例谈局部调整法在不等式证明中的应用

在中学数学竞赛中,局部调整法（又称磨光法）是证明不等式常用的手段与技巧.理论上其逐步逼近目标,直至最后彻底解决问题,实际上它主要可以表示成如下定理1~4.本文选用一些常见的数学竞赛题和网络流行题为例,说明局部调整法的作用.定理1设n∈N,n≥2,I（-∞,＋∞）是一区间,若对于任意的x1,x2,…,xn∈I,n元连续对称函数f满足f（x1,x2,x3,…,xn）≥（≤）fx1＋x22,x1＋x22,x3,…,x（）n,则f（x1,x2,…,xn）≥（≤）f（A,A,…,A）,其中A=x1＋x2＋…＋xn n为它们的算术平均.     

统计知识

1单元知识网络2要点剖析2．1“三数”（1）平均数（也称算术平均数）：n个数据x1,x2,x3,…,xn的平均数可记作x=1/n（x1＋x2＋…＋xn）;     

关于函数图象对称性的几个重要结论及应用

结论1 设a、b为常数。则函数Y=f（z）的图象与函数Y=g（T）的图象关于直线x=a＋b/2笋对称的充要条件是：对任意实数z。都有f（a＋x）=g（b—z）．     

江苏卷第20题（2）

题目 设f（x）是定义在区间（1,＋∞）上的函数,其导函数为f′（x）．如果存在实数a和函数h（x）,其中h（x）对任意的x∈（1,＋∞）都有h（x）〉0,使得f′（x）=h（x）（x^2-ax＋1）,则称函数f（x）具有性质P（a）．     

2008年全国高考江西卷（理）22题解题思路剖析

题目：已知函数f（x）=1/√1＋x＋1/√1＋a＋√ax/ax＋8,x∈（0,＋∞）,（1）当a=8时,求f（x）的单调区间; （2）对任意正数a,证明：1〈f（x）〈2。