在几何体上的蚂蚁爬行问题

在各地的初中数学竞赛和中考试题中，经常遇到有关蚂蚁从几何体的某点出发，沿几何体表面，爬行到图形的另一点或某直线上，求蚂蚁爬行的最短距离的问题。解决这类问题通常是把几何体展开成平面图形，再利用“两点之间线段最短”或“点到直线垂线段最短”等性质，找出蚂蚁爬行的最短路线，然后再通过计算求得结果．下面几例供同学们参考。     

蚂蚁爬行中的最短路程

"蚂蚁爬行中的最短距离(路程)问题",具有浓厚的趣味性,成为中考命题的热点,解决这类问题通常把几何体展开成平面图形,再利用"两点之间线段最短"或"点到直线垂线段最短"等性质,找到蚂蚁爬行的最短路线,然后再通过计算,得出结果,现举例分析如下.     

“化折为直”思想在解高中数学几何题中的应用

正化折为直,以直代折是解数学题的一种重要思想,通过化折为直,使得问题化生为熟,化难为易,化繁为简.化折为直的思想在求值、求最大(小)值地位举足轻重,不可藐视.一、利用展开变换化折为直求解多面体表面上最短距离在多面体表面上的两点连线一般是折线,如果直接在几何体中求解两点在表面上连线最短往往比较复杂,由于多面体的表面总可以展开成平面图形,所以可以将此问题转化到平面解     

立体图形中的距离最短问题

<正>立体图形上点与点之间的最短距离问题,往往通过把立体图形转化为平面图形,然后再运用"两点之间线段最短"来解决。可以利用轴对称或平移或旋转等几何图形的变换,把两条或多条线段和最短的问题转化为平面上两点之间的距离最短的问题来处理。一、通过平移来转化     

例析与立体几何图形相关的考点

几何体的平面展开图或三视图(从不同方向看几何体所得到的平面图形),是借助平面图形认识几何体的两种方法.下面对相关考点进行例析.考点1:对图形的认识把从实物中抽象出的各种图形统称为几何图形.点、线、面、体是图形的基本要素.有些几何图形的各个部分都在同一平面内,它们是平面图形.有些几何图形的各部分不都在同一平面     

利用展开法求几何体上两点间的最短距离

侧面展开图除用以计算几何体的面积外,还有一个作用,教材上很少涉及,但对学生来说却很有趣,这就是用以解决小虫沿几何体爬行于两点间的最短距离问题．这类问题乍看起来无从下手,但作适当的转化后,就可找到问题的突破口,使问题变得简单明了．本文通过教学中的例子对这个问题进行探讨．一、对于多面体上两点间的最短距离,直接求解往往有困难,可采取把立体图形展开成平面图形,通过“化折为直”的途径予以解决．例１　如图１,长方体ＡＢＣＤＡ１Ｂ１Ｃ１Ｄ１的三条棱长分别为ａ、ｂ、ｃ,且ａ＞ｂ＞ｃ．现有一个小虫从Ａ点出发沿长…     

《几何图形初步》考点透视

学习几何图形与实物的关系,要注重对它们概念的掌握和性质的理解.将几何体表面展开或旋转,从不同的方向看几何体,是借助平面图形认识几何体的几种手段.下面对相关知识点进行剖析.考点1:对图形的认识把从实物中抽象出的各种图形统称为几何图形.点、线、面、体是图形的基本要素.有些几何图形的各个部分都在同一平面内,它们是平面图形.长方体、正方体、圆柱、圆锥、球、棱柱、棱锥     

立体表面上两点之间最短路程的求法

通过把立体图形展开为平面图形，可把立体表面上两点之间的最短路程转化为平面上两点之间的线段的长度．     

如何解决空间几何体表面上的最值问题

<正>所谓空间几何体表面上的最值问题,是指空间几何体表面上的两点之间的最小距离或某些点到某一个定点的距离之和的最值问题。将空间几何体表面进行展开是化解该难点的主要方法,对于多面体可以把各个面按照一定的顺序展开到一个平面上,将旋转体(主要是圆柱、圆锥、圆台)按     

展平法求几何体表面两点间的最短距离

通过对柱、锥、台等几何体表面的展平,讨论质点沿几何体表面运动的最短距离.     

“课标版”增加的内容（赠阅）——丰富的图形世界

本讲主要内容是：认识常见的几何体及构成立体图形的点、线、面的一些性质；会对常见几何体进行不同的分类；了解物体的三种视图；从平面图形与几何体的转换中认识一些平面图形的性质．     

关于截面的教学

截面问题是立体几何教学中的一个难点。现就截面问题的教学谈一些个人的体会。一、作截面的根据和方法所谓“截面”,就是用一个平面去截几何体,该平面与几何体的交集,叫做这个几何体的截面,它是一个封闭图形。截面与几何体表面的交线叫做截线。截线与几何体的棱的交点叫做截点。欲作出符合条件的截     

关于立体几何截面问题的探究

立体几何截面问题在高中数学中十分常见,探究学习的关键是理解截面的概念.用一个平面去截一个几何体所得到的平面图形称之为截面,需要把握其中的两点:一是截面的常见形状;二是影响截面形状的因素,与几何体、截取方式密切相关.本文结合具体实例,探究常见立体几何截面的问题.     

几种常见几何体的截面分类

用平面去截一个几何体,所截出的面,就叫截面（section）,我们可以想象,类似于用刀去切（截）几何体,把几何体分成两部分,刀在几何体上留下的痕迹就是截面的形状,截面是一个平面图形。     

祖暅原理的平面类比及其应用

<正>祖暅原理的表述为:"缘幂势既同,则积不容异".翻译成现代汉语就是:夹在两个平行平面间的几何体,被平行于这两个平面的任意平面所截,如果截得的两个截面的面积总是相等,那么这两个几何体的体积相等.本文将其向平面类比,可以得到以下结论:定理夹在两条平行直线之间的两个平面图形,被平行于这两条直线的任意直线所截,如果截得的两条线段的长度(或者截得的两组线段的长度和)总是相等,那么这两个平面图形的面积相等.     

古树开花——兼谈一道数学联赛题的两种解法

我国古代数学可谓博大精深 ,其中有许多光辉的数学思想与方法值得我们学习 .比如 ,著名的祖 日恒原理 ,即“幂势既同 ,则积不容异” ,意思是 ,介于两平行平面之间的两个几何体 ,如果被任一平面所截得的两个截面面积都相等 ,则这两个几何体的体积必相等 .用之可将不规则几何体转化为与它等积的规则几何体 ,从而求出其体积 .又比如对于曲面不规则的立体图形 ,用规则的立体图形去覆盖 ,可以得到其体积的大概范围 .本文应用这两种思想方法解一道 2 0 0 2年全国高中数学联赛试题 .题目 :由曲线ｘ2 =4ｙ ,ｘ2 =-4ｙ,ｘ =4,ｘ =-4围成的图形 (见图 …     

旋转体不同面上两点最短联线

本刊1989年11期余秉辉同志关于《几何体表面两点的最短联线》一文,在(二)中存在一些错误,其中有求最短联线的错误结论。当两点分别在旋转体的侧面与底面上时,不能利用在平面图形中,直线段AB是A,B两点的最短联线这一结论。对于旋转体,相邻两曲面的交线是曲线,通过曲线C上某点P,有唯一的切平面,切平面上通过P的所有直线都是过P点的切线,因此m_1m_2应定义为B点所在平面与切平面的交线。图三的右图亦是错误的,在圆柱侧面上,通过点P只有唯一的直线,此直线为母线,当BP不通过上底面圆心时,根本不存在∠APM_1,更不用说和∠BPM_2相等。正确的画法如右图。     

旋转平面求最短距离(高一、高二)

涉及计算多面体表面上两点的最短距离,一般采用表面展开的方法.其想法是将空间折线段“伸展”在同一平面上变为一条“直”线段;其过程是将多面体某些面旋转适当角度,使之与原来一固定面共面,从而实现“折”变“直”;其实质是旋转平面内的线段不改变长度,计算“直”线段的长度就达到求最短距离的目的.用这种方法可以简便解出“希望杯”中两道有关折线段和最小     

你会求蚂蚁爬行的最短路程吗

在中学数学中,有一类蚂蚁在几何体的表面从一点爬到另一点,求其最短路程的问题．解此类问题的关键是将问题转化为平面上两点之间线段最短的问题来解,下面举例说明．     

两个基本原理的推广及应用

原理1 夹在两条平行直线间的两个平面图形,被平行于这两条直线的任意直线所截,如果截得的两条线段的长度总相等,那么这两个平面图形的面积相等.推广1 夹在两条平行直线间的两个平面图形,被平行于这两条直线的任意直线所截,如果截得的两条线段的比总是一个常数.那么这两个平面图形的面积比等于这个常数.原理2(祖暅原理)夹在两个平行平面间的两个几何体,被平行于这两个平面的任意平面所截.如果截得的两个截面的面积总相等.那么这两个几何体的体积相等.