不定方程n(n+1)=k(k+2)的参数解法

3一4 一一奋 旅方程可化为 (无+1)2一 (无+1)2即一一一二丁一一叫 (了3/2)2 1、,吸拜十一丁)一 艺一—二1 (丫3/2)“因此可命k十1“了3SeC甲,:·寺穿‘g弘有无=亿3Zc0s甲一1,了3 2 1COS甲 1别n尹一百=(。、1)。in,一鲁. ‘ 欲使:、k为整数,必须使sin甲取有理数,而c。。甲为无理数.因此,命甲取30。、150。、210。、330。各值,依次求出伍,。)为:(o,o),(一2,一1),(一2,o)(o,一z),它们都是原方程的解. 利用圆的参数方程可类似求解,(。十2)=k(2一无)。不定方程n(n+1)=k(k+2)的参数解法@朱允声$上海松江二中~~…     

上期问题解答

(根据读者意见,从木期起停止“数学问题”栏。一一编者)1.已知a>l,、〔刃,证明1++-一丛___ 1+a+aZ2.试求椭圆互2、厂厂!勺丈fl’!为。的+…+两条切线的交点的轨迹方程。 ︵a1上+ 一 一J.1二1的两条切线的方程为亏‘Zy一户口 +叮即叮翻戈a l1+a+aZ+…丁一*<2十a解设椭圆21口 一一 ,.1 山证明吞k=山真分数不等式有。、毛一l<一斌人尹1,2,…,(n+1),并相加得一__、Q一l+。l,+…十n U“一IU1l一l1订 一a 一<2(;十姿+梦3+…十几)一“1一 召二无、x+胡、① 扮=k:戈+,,,:②则有二,’二。k之“+护, ,z::乙’一a艺k“+占2..’.nl,“一m 02=了(左,…     

关于1984的数学题

1.试证:1984可以表为某些i生井自然数证明f限设 1984=l、十(l、+!、干…+(k+n).(空}吸2沁一卜n)(n十卜)二2?·只1.川洁为素炎交.(k2kneN)那么198、!业旦士髻竺卫一,11斗+n二2‘,}二3 1.(])(2)2二31=(Zk+n)(n+1) 2 (l) 21=3 0. 故19 84可自然数的币约两式联立解之.得k二Jg,火表为拍一j不为49.末顶为79的3}个为.46“甲,泞纵与-一-~一...‘匆........‘二.数 2.试证:1984不能表为c:+C己+C乏+…+C公的和。(11任N) 证明根据二项式定理,有 (1+:).=C呈+C二x+C呈x“+…+把!:面的n个等式两边相加.便得 厂n(n+1)、 ]。+2。+3。+…+no=l——I .二…     

一个奇妙的无理方程(系)的解

~~(上接第39页) M兄＄Bg“e-------x------m二 3(x2-Zx+1)的实数根。 解:由上述结论(8):。。6,m=3 1+/二+丛X6 矿(川=——一一二一二土一上一二二二上=1 2X3 解Xz一ZX+1=1得 xl“0,xZ=2 例4、求方程 .I*r+11。…。111.、。、 V-6-;厂 j-+””’+。卜:十 2(1+tgx) vyb V62 一 1.。、。。__。。=5(1+toX)的买数解。 2“·——、---,、l- M:h七述结论(a):n一1,*一1, ————-—·—、-6”2’ 1+11+4Xt一?-) 4l_.yU_0M;4 1 十r*x=———————————=1 十二D一上三 ZXrt一“ 2 V3 rgx“三 ””””3 x。k刀十4(k。0.1.2,3…….) 6…     

一九八二年全国高等学校统一招生数学试题(理工农医类)解答

甲八一一、〔解〕(1)x=0. (2)x为任意实数. (3)x为任意实数. (4)!xl簇1 (5)x>0 (6)x为任意实数二、〔解〕(1)T:。=C委言(一1)61“ 直接展开,或利用行列式的性质得 2不丁3y一6一O图形是直线。一一C孟君-一C全。-一38了60(2)Xy厂、‘ 一一,人八OJ任 (2)y产=三、〔解〕(1){ 1一—心In 3“2xl2x3=1十eos甲=Zsin甲一3y 6化为(x一1)2+yZ_,—一i 4图形是椭圆。四、〔解一〕设园柱体半径为r,高为h. 由△ACD。△AOBH一h H由此得H一h二RR一H一一︸︸园柱体体积V(h)~二r’h一爵H一“’Zh两边对h求导V了(h)-(H一h)(H一3h)R一护以一H令V/(h)…     

每期一题

扭求证:1+了万(:>z). 1 .1二l、____._.1_1 .1一下于十-井于十’”十一下=户小等式两边问加一:;二;二,得1+一母=十…十-丘二丫Z丫乃丫月了k十l了2了龙 (高中代数第二册(甲种本)第112页第11题) 证法1(数学归纳法) 当,=2时,不等式成立. 假设:=泛任>幻时,不等式成立,即 1 .1二1、一‘+方+方+’“+方>了‘·要证:一。+1时,不等式仍成立,即证;+毛 一一--一’一’一‘”’一、’‘~一’,一’了万“.+去+一一吕二>办下丁,在假设条件下, ’.了了’石耳万一’一’一’,·-一-、·…+揣>汀+击。代 若汀+六>~成“,则不等式得证·于是考虑左边减右边的…     

用拆项法求分数项数列前n项和

1.直接拆项求和i一犷 + 劣 了气例1.求和尽。钊:+立一)+ 歹十。。。一卜 1‘留”十丽一解(劣,鱿=l) 夕一1军”(军一1),(公二1,夕戈1)S”==劣(]一劣n)一r 1.,1一工(x今1,夕,1)毛些卫丝斗1一劣 参一1夕”(今一1)(劣戈1,夕戈1.)2.用部分分式拆项求和~盆_。_、_。1”IJz·水利巧”二不可嘴’万l十 1+一丽不万灭而石犷’/..、114解S,=之).,11\十、—一尸二户少 5日+。二十(一生一-一-二一)一4几一34界+1〕 几石万‘ 一般地,若a:,aZ,数列,a,戈0,花=1,2,得: 一生一+卫匕+.” 口x口2口2口3a,,…为等差公差为d,则易 1十一 口”口”+l 件一一, G工…     

一个不等式的加强及最佳结果

.若,:)2,则13,1 .1_l,3石1又二万万十二二一石十”’十石二又几-.‘任n十l“州卜“r.,(1)’二+、渝J这是许多书刊上选用的一个不等式,它是不等式:.若n)2,则(月+l)(,:十2)甲、.产、.声 门J.在︸口自.卜/.、i,1_1 ..1,.下又二二二~二十二了下十’‘’十石二-又1。‘一“一l”十“I.十…+(Zn一])·2,:的加强。 本文指出,不等式(l)还可加强为: 若n》2,则 4_11__1,J了 公(二二;二+二下+…+‘二花厂(一-二~。 7、”+1’陀+2”Zn、2’并且有最佳结果: 7_1_1-一1,一 鑫,落支竺-今一兰+…丰份斗了In2 12、n+1’”+2‘’2”、一一沙眼一洁)十(汤一…     

拆项求和琐谈

翻阅案头几本有关高中代数的书刊。发现凡介绍数列求和者,均未忘记介绍“拆项求和”一法。油然生趣。遂对此法加以归纳探讨。略有收益,笔录如下。一拆项的手段 (一) 利用乘法公式例1。求和 S_n=1~2+2~2+3~2+…+n~2。略解:∵(k+1)~3=k~3+3k~2+3k+1, ∴k~2=1/3[(k+1)~3-k~3-3k-1]。     

云

卜产冲甘翻~十一一卜一二一1叫一一一一一一一十,~斗--+一斗一一-于一干一一4一湘田、,灿一一习一钾俘~斗-~一卜一砂一=卜月~一一一州一日.甲U一l吧一护.,一 I白云白,蓝天蓝.好像 2.不装鱼,不装虾.装的乃一_声产,卜._刁虎冲住知一书一+一弓一汁一一一一—卜户一书‘一尹‘一卜石阵--一--州卜斗一一斗二润氏价-‘汤--书~----曰卜二一一一~-卜卜-斗--十-州}斗一一一一一一州一日-.‘斗-}U}内。洲叶叶甲}洲叶丫1州洲叶,叮,卜卜,、~了拭)训卜书且翻—lesf洲‘卜汁月一1~l刁es干侧一+一十斗日~十廿一州一子一卜十斗斗月“絮户十书十reseses,esr…     

分式方程“陷阱”题例析

一六解得/一‘’而‘- 一1显然不是原分式方程的增 根,故它不合题意,因此不存在 k,使原方程产生增根. 例2当k为何值时,关于x 一一~xx一k .Zx 阴力性万二一只一—十一下一一下一一u 工—乙盆工一—‘X 夔毅塔少 分式方程 蒸瓤黝瓤髓 有惟一解,并求出这个解 错解:去分母,转化为整式方程得:(4 k)x一2k ,,.、、.,,_,一,~一Zk 所以当k护一4时,有惟一解二一并下 ,/’叮’一’、z‘”刁’曰’阵’.汗一4 k 简析:应当排除增根x一2和x一O的情况,即 Zk_一Zk ,产六笋2且二共一笋O,此时k括O 4 k‘-一4 k’-·/。一~一 因此当k尝。且k并一4时,方程有…     

带余除法的妙用

例1.已知a“十a一1=O,求“”+Za“+的值. 解:应用长除法,得 as+2a2+3=(。+1)(aZ+a一1)+4=4. 仁,!2。n为自然数,求证3“’‘干“一s;一9是4的倍数. 证:、“l时,命题显然成立,应用长除: 32(凡+1)十2一8仁无+l)一9 =3 Zk+4一8孟一17 =9(32人千2一8无一9)+64(忌+1). 故只要厅“h时命题成立,则。=k十1时命题成立.20x一29 4x一5.解:由带余除法得,1、气“十乏玉二丁少=(不匕简: 32坑玉二16)一(5一价、)(5一互坛生‘).二百妥万而+蓬至万弓·3一一 一为 + 1ZX一3 1O解之得x二一二一 ‘巾.求函数了(·卜釜资备袱的极值.甫夕:f(x)二1- 7xZ+:十1二‘…     

关于三角形角平分线的一个不等式

设t:,t、,t。为△ABC止条角平分线长,P二合‘a+“十“,:和R分别为内一切圆和外接圆半径,则,:、,:::,一(一誉一)当且仪当△ABC为正三角形时取等号.证由正余弦定理有乏=白c一 a么bC(b+c)2=吞‘一 a Zbc(ZP一a)2则比十t毛十嵘 =bc+ca+ /a I_+ \(Zp一a)2ab一abc 石(Zp一b)么 c、十~一—一—._ (ZP一c)2/’不妨设a)b)c>O,则 1ZP一召》 土~1——‘弓莽——ZP一b一ZP一c>O由切比雪夫不等式有一一卫一一-十(ZP一a)2 b(ZP一b)名十(ZPC一C))合‘a+”+‘,〔 1(Zp一a)2 1(ZP一b)么(ZP1一c)2〕 1厂1 .1 .1、.__.—-一一字-一一:宁一一—.…     

取倒数解题几例

取倒数解题技巧性强,在竞赛中经常用到.本文举几例说明之.例1 已知:1bc百’万干石。、b、‘为实数,且 召ba十b一奋于六一含,~_,abc刀卜饭久二万一下一又丁一不二二一 ‘‘心尹一「砚沪‘刁一‘4名一 (1997年“希望杯”数学邀请赛初二试题)对已知条件中各式取倒数得 1_1月一-下一-J,几尸 口O+工一4,工十工一5,‘口解1一a 1,1 .1 —州卜~下,州卜—~ “口Cab+bc十caabe1二一一b取倒数得abcab+bc+‘a例2设a- 工y+二 y二+x,‘一:共,二,且x十y+z半 ‘￡.牛.y ~二a .bU,纵U二,不一丁~卜夏卜不-下尸刊一 “甲尸1口门尸1 ‘‘+1(1996年“五羊杯”数…     

比例式中的设值法

初二《几何》教材中,推导等比性质“若含一备竺(b+d十f+·~一了一”‘~+n笋O),则“+c+e+…十mb十d+f+…十。一牛”时,所采用的方法“设粤~共一 口Oe蚤一一登一‘”是一种重要的解题方法·有些数学题·根据条件的结构特征,选用这种“设值法”,巧妙转化,往往能打通解题思路,迅速求解.下面举例说明. ~二__‘_.一__、,__ab‘.、、_ 例1已知a,b,‘,d都不为。,且羊一兰一斗.求证: “‘一/.。一一’一’一~一’/J一,一b cd’勺、~.令 倪 b一k,则k并O,a一bk,b=ck,c一dk, 二d 一一 占一ca一d一一“3+b3+e,夕+ca+d“一解题方法一十一护左式一(bk)(ck…     

证明不等式的若干技巧

一、放缩法例1.。>O,6>O,求证鹦》(碧~)’‘铲/征明:a. b。 2 1 Fla b.=不.‘~一1犷-一宁 艺L\乙夔 2.la b一a一b\门_la b\,个几~气下下一~甲一飞犷一刀.~屯一一万一一叫, 、“IJ、‘l二la 石\一,la一b c‘.又一厄一)火份了一\:._/a 乙\“.十.‘坛多‘~一下一1,、‘/. 二、合成一一将若千不等式相加或相乘 例2。在众ABC中,求证abe)8(P一a)(P一6)‘,一e).其中,一告(a “ 。). 证;aZ)。,一(b一c)2>0,护)bZ一(e一a)2)o沙李价一(。一吞),>。,三式相乘取算术根得 abC》(a b一e、(b e一a)(c a一b)二8(P一a少·(P一b)(户一c). 三、配方 例3.…     

关于勾股数组的一个命题

命题均可表为任一勾股数组(a,白,c)(a(b)(a。,a。+k,cn),其中a。二无(e矛。、:+e少。、,.2+…+C矛J十:·Zn一‘)c。=k(C绪n十;+C萝。、1·2+…+C矛J草亡.zn).(k,n任N)证明因a<白,可设b=a+k(k任N).因aZ+(a+k)“=cZ:·(,+窄)2=一工,一Zk训丝十无一(华)‘‘)(1十令-二~1。因(1+侧丁)““辛=(一1)么n十‘=一1,.(1一侧玄)2”+‘ 可令十侧2kc=(1+侧丁)2“+‘,+毕一哗一“一(l一训厄一户·1 K尤(n任N)。。日、。k。,月‘,二、。。_贝tJI苛a二丁比、上卞V乙)一’ q+(1一训丁)Zu宁‘一2〕C〔(1+侧丁)之”+1k一︷4 一(1一训丁):n+,展开整理即…     

小学六年级数学综合练习(二)

2一7 八O 一~、文字题: (1)。。的12%除以3。的冬,商是多少? ’一’-一‘一‘一”’一’一”’5”’~一一. (2)比87.6多13.4的数与0.25的商是多少? ,_、‘。,‘,、2、_、二.。~一J_~, (3)一个数的宁减去‘”,等于,”,这个数是多少? (4)60减去40个0.25相加的和,再除以0.01,商是多少? (。)甲乙两数的和是冬,甲乙两数的比 、一‘’一‘’~~”’~8尹’一‘’~’一’一是3:2,甲乙两数各是多少? (6)最大的三位数比最小的四位数少百分之几? 二、式题:(3)510+(0。27+2。4 x3。8一33 xo。13)“)一今孺髻~(5)-5。4 Xl。48又0 XO。625+4180 XO。125 …     

数学问题解答(选译自(苏)初等数学习题集)

1.指出,对于任意自然数n,有将以上不等式相加,得典一琦一琴 …*-2‘3‘1厂<旦卫 ll1 .11二1/‘1砰十乎十班十“’十平火1一万=n一1111 一一证明,因为<共 1.乙 1一丁’所以22 l,1-二歹一峨几、又一万O一乙.j万一万’琴灯一工4‘’3一414’岁·矗·扣…乒<宁一2.化简、‘X ·,‘XZ 一)…(xZn一‘ 。2“一‘),.一八Q若x年a,则(x、a)(xZ a“)1,1吸、牙甲一.下二一一二 气fi一1少1111n一In·…了Zn一‘2’‘一‘、 \X a/犷 /Zn一‘2飞一’、(x一a)(x a)(x乙 a‘)…\x、a/_(xZ一a“)(x“ a“)(x名 a弓)…/2九一‘2几一‘\、·x a/X一aX一a,…     

竞赛中的整式求值问题

初中数学竞赛中,经常遇到与整式有关的求值问题,解答时.难度较大.下面举例介绍几种方法和技巧. 例1已知“+b+c一O,口+l,l十尸一1.刀肠么a(b十c)“十b(c+“)穷+c(“一十b)“一 (1996年“聪明杯”初一数学竞赛试题) 解由‘、十b+(·一O,得 b粉c-一“,c十~“一一b,“一卜b一一c. 原式一。(一。)3十拭一的3+‘、(一‘,)3 一一(“’朴bl一c“)-一1. 侈112若】。一bl+(l.二2)2一。,则。+乃一(). (A)一4(B)一2(C)O(D)注 (1998年成都市初一数学竞赛试题) 解在等式}。一川十(/,+2)2一。中, ,-’{。一b{妻三O,(b十2)2二)O, l。一b]一。,(b+2)“一0…