代数式(之四)

(3)(a+b)2是宝库从上一节已经知道:八个乘法公式中有6个是可以从(a十b)2直接或间接地导出的,由此可见公式(a+b)2=a2+2ab+b2的不平凡.这一节你将看到由这个公式可生长出很多有趣又有用的东西,它们让你惊奇,…在公式(a+b)2=a2+2ab+b2中,让a表示自然数n,让b表示1,它就变成 (n+1)2=n2+2n+1. 这是一个恒等式.当n取某一个具体的自然数时,它就变成一个具体的数字等式.例如当n取99时,就得到     

分数分解的定理与方法

一、预备知识——共轭约数 对于一个自然数N来说,如果它能表示为两个不同自然数a与b的积,即 N=ab (a≠b) 那么称呼a与b为N的一对共轭约数。     

几道含特殊定义的竞赛题

近年来国内外数学竞赛中,含有特殊定义的问题时有出现。其题型有写出要求符合定义的数(或数组)有多少个,写出符合定义的数或数组等。解答这类问题的关键之一在正确理解题中的特殊概念。特殊定义的含意,并以此为依据进行推理或计算。以下举出三例。例1 (1991年北京市中学生数学竞赛试题)如果能找到自然数a和b,使得n=a b ab,则称n为一个“好数”。例如3=1 1 1×1。即3是一个好数。在1～100这些自然数中,“好数”共有多少个? 先观察“好数”的特征:n=a b ab。由此可知n 1=a b ab 1=(a 1)(b 1)为合     

自然数的互素平方差分拆

1 自然数的平方差分拆 文[1]给出了任意自然数的全部平方差分拆及其组数,即求出了 n=x~2-y~2(n是已知的任意自然数)①的全部自然数解及其组数,但定理结论的叙述有些零乱,可把文[1]的定理1、2及推论3综述为 定理1 (1)当2n且n>1时,①有自然数解,且全部自然数解为x=(1/2)(a b),y=(1/2)(a-b),其中.a,b∈N,ab=n,b相似文献   

自然数公理系统的科学意义

在自然数理论中,皮亚诺公理系统把“0”、“自然数”、“后继数”(记号为“′”)作为原始概念,用下述五条公理作为发展自然数理论的最根本的命题: Ⅰ.0是自然数; Ⅱ.自然数n的后继数n′是自然数; Ⅲ.如果b、c是自然数a的后继数,则b、c是相等的;     

第五讲 数的整除

数的整除是指:整数a除以自然数(小学里对于a和b都限于自然数),除得的商正好是整数而没有余数(也就是余数为0),我们就说a能被b整除,或者说b能整除a。这时,a叫做b的倍数,b叫做a的约数,显然零是任何自然数的倍数,1是任何自然数的约数。但零不是任何自然数的约数。     

对一个拆数问题的探索及结论

问题是这样的:把正常数A拆分为两个非负数a,b之和,在不同的拆法中:(1)积ab的大小关系如何?(2)n次方和a~n b~n(n>0(n>0)的大小关系又如何?首先,由不等式ab≤((a b)/2)~2(a,b∈R_ )知,当A拆为a=A/2,b=A/2时,积ab有最大值(A/2)~2。但在a≠b的拆法中,积的大小尚不明了。考察10 0=1 9=2 8=3 7=4 6=5 5。其积有10×0<1×9<2×8<3×7<4×6<5×5,猜想把正数A拆成x和A-x时,“两数越接近积越大,两数相差越悬殊     

素数与合数

若a和b是自然数,且a=bq其中q也是个自然数,则q叫做是由数a除以数b所得到的商,并记作q=a/b.也可以说a能被b整除,或b除a而无余数。能除尽a的任何一个数b都叫做a的因数.数a本身相对于它的因数来说叫做倍数.因此,b的倍数是b,2b,3b,…数2的任何倍数(也就是能被2除尽的数)叫做偶数,不能被2整除的数叫做奇数.每一个自然数或是偶数,或是奇数.若两数a_1,a_2都是b的倍数,则它们的和a_1+a_2也是b的倍数.这显然可从下列得到:     

高考数学压卷题破题要害探索

1抓住试题中的命题要害,步步逼近 例1设a、b均为大于1的自然数,函数f(x)=a(b sin x),g(x)=b cos x,且存在实数m,使得f(m)=g(m).(1)试求a、b的值;(2)设数列{an}的首项a1=3ab,对任意的n∈N ,有(a 1)an 1 b·an=0,记Sn=a1 a2 … an,Tn=a1·a2…an,分别求出{Sn}、{Tn}中的最大项.     

转化思想在解数学题中的应用

一、等式与不等式的转化例1若正数a,b满足ab=a+b+3,则ab的取值范围是______.分析为了求ab的取值范围,只要将原等式转化为不等式即可.解运用不等式a+b≥2ab姨,原等式可化为不等式.∵ab=a+b+3≥2ab姨+3,∴ab-2ab姨-3≥0.又ab姨>0,∴ab姨≥3,即ab≥9.例2已知不等式a2+b2+c2+4≤ab+3b+2c,求正整数a,b,c.分析本题所给的是不等式,而求的是a,b,c,故应将原不等式转化为3个等式,才能解决问题.解∵不等式的两边是整数,∴将a2+b2+c2+4≤ab+3b+2c配方得(a-b2)2+3(b2-1)2+(c-1)2≤0.则有a-b2=0,b2-1=0,c-1=0,∴原不等式有唯一的一组解a=1,b=2,c=1.二、常…     

不等式证明的分解方法

众所周知,实数集合有下面两个基本的性质: 性质1 (两正数的和为正数) 若a＞0,b＞0,则a b＞0. 性质2 (两正数的积为正数) 若a＞0,b＞0,则ab＞0.     

怎样用a+b+c=0?(初一、初二、初三)

夕,几口尸月J‘J、切~‘r闷目,曰一口目J子、-‘~户Jj 代数学习中,含条件a+b+。一0的问题屡见不鲜.解此类题时,可考虑以下三种转化. 1.移项 例1已知a十b+。=o,a‘十b‘+c峨一1,那么a(b+。)“+b(。+a)“+。(a+b)“=(D)解不能确定是正数、负数或零. (02年十三届希望杯初二竞赛)易得,(a+b+。)2=o,即解由 (96年聪明杯初一竞赛)a+b+‘一O,得 b+e=一a,c+a=一b,a+b故原式=a(一a)3+b(一b)3+。(一一—C。c)“ 矿十少十了+2(ab十阮+ca)一。, 1 ab+加+ca-一音(丫+梦+c“). 一.一,一2、一因为ab。<0,所以 a共O,b笋O,c界0,aZ+bZ+cZ>0.即ab十阮十ca<0…     

对偶海伦平均、几何平均与幂平均的不等式(一)

对于任意的实数p,两正数a与b的幂平均定义如下:Mp(a,b)={(ap+bp/2)1/p p≠0(√ab)p=O.以下将证明:M2/3(m+2)(a,b)≤1/3Hm(a,b)+2/3G(a,b)≤Mlog2/long3(m+2)(a,b)其中当且仅当a=b时,等号成立,同时参数2/3(m+2),log2/long3(m+2)对于不等式是最优的临界值.给予两正数a与b,定义Hm=a+b+m(√ab)/m+2,G(a,b)=(√ab).     

联系小学实际 简介整数的性质(一)

一、约数和倍数 1.整除整数a除以自然数b,如果能够得到整数q,这时,就叫做b能整除a(或者a能被b整除)、记作b|a(或者a|b)。如果b不能整除a,记作b(?)a。小学数学教材在讲整除概念之前就提出:“在讲数的整除时,我们说的数,一般只指自然数,不包括0。”然后提出:“数a除以数b,除得的商正好是整数而没有余数,我们就说,a能被b整除。”按照这个定义,我们就不能判断0能不能被2、3等数整除,而按照前一定义,就能作出肯定的判断。     

一道竞赛题的演绎

题目(1991年“希望杯”竞赛试题)已知两数a、b,ab≠1,且2a2+1234567890a+3=0 (1)3b2+1234567890b+2=0, (2)则b/a=____. 解:显然b≠0,由(2)得, 2(1/b)2+12345678901/b+3=0,(3)∵ab≠1,∴a≠1/b.由(1)、(3)可得,a、1/b分别是一元二次方程2x2+123467890x+3=0的两个根,因此b/a=a·1/b=3/2.     

你能找出题中的错误吗?(初二)

我的一本书上有这样一遁题:已知:“≠6,且煮aD≥0一忐 —__ u—__m)求证:1+万1a 一南a o. n 十下面是书中给出的证明:由已.知.得“‘一b。 .(“一b)(“=+曲+b=)ab(“+b)一… ab(“+b) (“一b)(a?+曲+b。)一0.因为 a≠b,所以 a。+ab+b。一0,所以 a。+2ab+b。一拍,即 (n+6)!一ab,所以 “+6一了竿了,所以 了a+b一鬲1 ,所以 上+÷一—匕. a D n+D 可是,这看似天衣无缝的证明过程却存在着一个不容忽视的错误:由已知,得志 a。(a+6)一b。(“+6),因为 a+b≠0,所以 a。一b。,a—b,这与已知a≠b矛盾,所以原题不成立.你能找出题中的错误吗?(初二)@高…     

安庆市第七届初中数学联赛试题

(1 995年11月26 E1) 一、选择题 (本题满分48分,每小题8分) 1.若实数口,b,f满足Ia ＆一0。IabI=ab,I c—c一0.那么,代数式~/b。一I a b l一--~/c。一2拓 6。 d c【化简后结果等于 ( ) (A)2c—b. (B)2c一2a. (C)一b. (D)b. 2.已知口,b是方程T。 (m一2)z 1—0的两个根,则(1 ma 口。)(1 mb b。)的值为 ( ) (A)1. (B)2. (C)3. (D)4. 3.从1,2,3,4,……,1994,1 995,1996这1996个自然数中,任取k个数都至少有两个互质,则k的最小值为 ( ) (A)997. (B)998. (C)999. (D)1000. 4.若P是自然数,方程3z。一Pz 2751—0的两根都是质数,则-‘E- 1的值…     

迎新年 解趣题

值2002年新年到来之际,特拟一组与2002有关的新年趣题,献给本刊亲爱的读者!1.设a、b、c、d是0到9之间的自然数,且2002=abed+abc+ab+a,则abcd=____ 2.自然数1、2、3、…、2001、2002之和是一个奇数.现将这2002个数中的任意n(n <2002)个数添上负号,记这时的2002     

用平均值代换法证一不等式

题　设实数 a,b满足 ab>0 ,证明 :3 a2 b2 (a b) 24≤ a2 10 ab b212 ,并求等号成立条件 .一般地 ,证明 :对任意实数 a,b均有3 a2 b2 (a b) 24≤ a2 ab b23,并求等号成立的条件 .这是《数学通讯》2 0 0 1年第 2 1期上刊登的第 14届爱尔兰数学奥林匹克第 1试第 5题 .参考解答在证这道题的后一部分时用了分类讨论法 (分 ab>0 ,ab≤ 0 ) ,这里用平均值代换法 ,可以一气呵成 .证明　设 x=a b2 ,y=a- b2 ,则 a=x y,b=x - y,不等式3 a2 b2 (a b) 24≤a2 ab b23等价于3 (x2 - y2 ) x2 ≤ 3x2 y23,等价于 2 7(x2 - y2 ) x2≤ (3x2 y2 ) 3 ,即 2…     

一个命题的修正及推广

《数学方法与解题方法论》第 130页有这样一个命题 :形如 aa…aan个bb…bbn个(a≠ 0 ,a,b∈ { 0 ,1,2 ,3,… ,8,9} ,n∈ N* )能够表示成两个连续自然数的乘积的充要条件是 a=1,b=2 .笔者经过仔细的证明 ,发现此命题是错误的 ,应修正为 :形如 aa… aan个bb… bbn个的自然数 (a≠ 0 ,a,b∈ { 0 ,1,2 ,3,… ,8,9} ,n∈N* )能够表示成两个连续自然数的乘积的充要条件是 a=1,b= 2或 a=4 ,b=2或 a=9,b=0 .证明　 (必要性 ) :aa…aan个bb…bbn个(n∈N* )=(1+10 1 +10 2 +… +10 n-1 )× 10 na+(1+10 1 +10 2 +… +10 n-1 ) b=(1+10 1 +10 2 +… +…