运用整体思想解题

整体思想是一种重要的数学思想 ,其思维方法是指在思考问题时 ,把注意力放在问题的整体上 ,把一些看上去彼此独立 ,实质上紧密联系的量 ,作为一个整体来考虑 ,达到顺利解决问题的目的 ,现举例说明 ,供参考 .一、整体代入例 1　已知 x2 + x - 1=0 ,求 x3 + 2 x2 + 2 0 0 1的值 .分析 :若解方程 x2 + x - 1=0 ,求出 x,再代入 ,计算求值 ,思路自然 ,但计算繁难 .若将所求代数式分解变形 ,运用整体思想 ,则可化难为易 .解 :原式 =( x2 + x - 1) ( x + 1) + 2 0 0 2 .∴当 x2 + x - 1=0时 ,原式 =2 0 0 2 .二、整体固定例 2　化简 2 ( 5- 3)4 - 1…     

例谈因式分解的应用

因式分解是初中数学中的重要的数学思想方法 ,在解题中有着广泛的应用 ,现举例说明 .一、用于计算例 1　计算 ( 1) (江苏赛题 ) 1.34 5× 0 .34 5× 2 .6 9 - 1.34 53 - 1.34 5× 0 .34 52 =.( 2 ) 2 0 0 33 - 3× 2 0 0 32 - 2 0 0 02 0 0 33 + 2 0 0 32 - 2 0 0 4解 :( 1)原式 =- 1.34 5( 1.34 52 - 0 .34 5× 2 .6 9+0 .34 52 )=- 1.34 5( 1.34 52 - 2× 1.34 5× 0 .34 5+ 0 .34 52 )=- 1.34 5( 1.34 5- 0 .34 5) 2 =- 1.34 5.( 2 )原式 =2 0 0 32 ( 2 0 0 3- 3) - 2 0 0 02 0 0 32 ( 2 0 0 3+ 1) - 2 0 0 4=2 0 0 32× 2 0 0 0 - 2 0 0…     

因式分解在数学中的应用

在数学运算中 ,利用因式分解的方法 ,往往使运算由繁化简 ,化难为易 :一、解决计算问题例 1　计算 32 0 0 2 - 5× 32 0 0 1+ 6× 32 0 0 0 + 2 0 0 2 .分析 :前三项含公式 32 0 0 0 ,因此先提公因式后 ,变为简单的计算。解 :原式 =32 0 0 0 ( 32 - 5× 3+ 6) + 2 0 0 0 =32 0 0 0 × 0 + 2 0 0 2 =2 0 0 2 .二、解决求值问题例 2　已知 (ａ +ｂ) =15 ,ａ·ｂ =2 ,求代数式ａ2 ｂ + 2ａ2 ｂ2 +ａｂ2 的值 .分析 :本题关键是通过因式分解把代数式变形为只含 (ａ +ｂ)、ａ·ｂ的代数式 ,从而求出代数式的值。解 :ａ2 ｂ + 2ａ2 ｂ2 +ａｂ2 =ａ…     

因式分解中的数学思想

数学思想是数学解题的灵魂.在因式分解过程中蕴含着许多数学思想,如果能灵活地运用这些数学思想,往往能更好地解决因式分解问题.一、整体思想用整体思想分解因式,就是将要分解的多项式中的某些项看成一个整体而加以分解.例1把多项式(x2-1)2+6(1-x2)+9分解因式.分析:把(x2-1)看成一个整体,利用完全平方公式进行分解,最后再利用平方差公式分解.解:(x2-1)2+6(1-x2)+9=(x2-1)2-6(x2-1)+9=[(x2-1)-3]2=(x2-4)2=(x+2)2(x-2)2.例2把多项式(a+b)2-4(a+b-1)分解因式.分析:此多项式既无公因式可提,又无公式可套用,似乎无从入手.若视a+b为一个整体,局部…     

例谈整体思想的解题策略

运用整体思想解题,是指通过观察把解题的注意力和着眼点放在问题的整体结构上,从而触及问题的本质,达到求解的目的,它是数学解题中一个极其重要而有效的策略,是提高解题速度及效率的有效途径.■一、整体代入把题中的一些组合式子视作一个“整体”,并把这个“整体”直接代入另一个式子,可以避免由局部运算带来的麻烦.例1如果虚数Z满足Z3=8,那么Z3+Z2+2Z+2的值是多少?解:由Z3=8可得Z3-23=0,也即:(Z-2Z2+2Z+4=0.由于Z为虚数,从而有Z≠2,∴Z2+2Z+4=0,也即Z2+2Z+2=-2∴Z3+Z2+2Z+2=8-2=6.■二、整体观察有些选择题看似要推算,但若能凭借有…     

易出错的“—”号

负号或减号后的数式应视作一个整体参与运算,这一点往往被一些同学忽视,在考试中造成不必要的失分.下面选取相关的知识点作简要阐述.一、数的运算例1计算-2-2.分析:2-2是一个整体,先求2-2,再在前面添上“-”号.结果为-41.例2计算-11-#2.分析:11-#2是一个整体,-11-#2=-(1-#12 #)(12 #2)=-1 -#12=1 #2.例3规定x*y=x2 y2,计算-2*(-3).分析:2*(-3)是一个整体,-2*(-3)=-[22 (-3)2]=-13.二、去绝对值例4计算-(#22-1)2#.分析:-(#22-1)2#=-│#22-1│,│#22-1│是一个整体.│#22-1│=-(#22-1),∴原式=-[-(#22-1)]=#22-1.三、公式中的“-”号如a2-b2=(…     

绝对值中的数学思想

绝对值是中学数学中的一个重要概念,它的应用十分广泛,在学习中不仅要深入理解概念,灵活应用,而且要注意领悟其中的思想方法.一、整体思想例1若x 3=-x-3,求x的取值范围.解:视x 3为整体a,把原等式变形为x 3=-(x 3),由a≤0时a=-a知x 3≤0,从而x≤-3.或由x 3≥0得-x-3≥0,从而x≤-     

分式求值的“11”个常用技巧

正分式求值是分式运算中的一类常见问题,对计算能力的要求较高。在求解此类问题时,既要注意基本法则的应用,也要掌握相关的解题技巧。下面举例说明。一、整体通分3例1计算x2+x+1-x3/x-1分析:把(x2+x+1)看成一个整体,对其进行通分,并且分子还可利用乘法公式简化运算。解:原式=(x-1)(x2+x+1)-x3=x3-1-x3=-x-1x-1x-11。x-1二、部分通分例2计算:1-1-2-4x-1x+1x2+1x4。+1分析:按照常规解法是把四个分母一起通分,这样求解过于繁琐。若选择前面两个分式通分,然后再逐个通分,这样化繁琐为简单。解%原式=2-2-4(x+1)(x-1)x2+1x4=+1     

优化多元求值问题的若干整体思维策略

整体思维策略是数学解题策略中的一种重要数学思维方法 ,对于某些多元求值问题 ,如果我们不加分析 ,直接求解 ,往往造成过程繁琐 ,运算量大 ,且结论常常出错 .在教与学中 ,若能运用整体思想对多元求值问题作整处理 ,则可另辟蹊径 ,化繁为简 ,降低解题难度 ,提高解题的灵活性和准确性 .本文结合实例谈谈处理多元求值问题的若干整体思维策略 .1　避繁求简　整体代入把已知或运算得到的式子作为一个整体 ,将其代入需要解决的式子中去 ,可以避免因局部运算带来的麻烦 .例 1　已知ｘ2 +ｘｙ=3,ｘｙ+ｙ2 =- 2 ,则 2ｘ2-ｘｙ - 3ｙ2 = .( 2 0 0 2年…     

第七章数学思想

近年来 ,全国各地的中考题中关于思想的题目时有出现 .数学思想很多 ,但在考题中已出现的大体上有以下几种 :一、例题解析1.特殊与一般的思想例 1　如果方程 ( x- 1) ( x2 - 2 x+m) =0的三根可作一个三角形的三边之长 ,则实数 m的取值范围是(　　 )A .0≤ m≤ 1　　　 B.m≥ 34C.34 相似文献   

运用整体思想解题的几种策略

整体思想是一种重要的解题策略 .本文仅以历年“希望杯”竞赛题及其培训题为例 ,将初中阶段体现整体思想解题的十个主要策略归纳如下 :一、凑整运算对算式中的数 ,若是分数的凑成整数 ,若是整数的凑成整十、整百等后进行运算 .例 1　计算 :1 1 + 1 92 + 1 993 + 1 9994+1 99995+ 1 999996 + 1 999997+ 1 99999998.( 1 998年“希望杯”初一培训题 )解　原式 =( 2 0 -9) + ( 2 0 0 -8) +　　… + ( 2 0 0 0 0 0 0 0 0 -2 )=2 2 2 2 2 2 2 2 0 -( 9+ 8+… + 2 )=2 2 2 2 2 2 2 2 0 -44=2 2 2 2 2 2 1 76 .二、整体求解视所求问题中的某一部分为…     

运用数学思想方法简捷解题

在学习二次根式的过程中,若能注意运用数学思想方法,则在解题时就会简捷、迅速、准确、高效.一、整体代入的思想有些二次根式问题,直接计算很繁琐,若把注意力和着眼点放在问题的整体上,从整体入手,则解法简明.例1已知x=&3-&2&3+&2,y=&&33+-&&22,则3x2-5xy+3y2的值是.解:∵x=(&3-&2)2=5-2&6,y=(&3+&2)2=5+2&6,xy=1,x+y=10.∴3x2-5xy+3y2=3(x2+2xy+y2)-11xy=3(x+y)2-11xy=3×102-11×1=289.二、分类讨论的思想分类是初中数学中应用极其广泛的一种思想方法.应用分类的思想方法去解题的思路是:首先要有分类的意识,仔细分析遇到的问题是否需要分…     

分类讨论思想的应用

分类讨论可以把一个复杂的问题拆分成若干个简单的问题,通过解决各个简单的问题,从而解决这个复杂的问题.请看下面的例子. 一、方程中的分类讨论 例1 若关于x的方程kx2-3x-9/4=0有实数根,则实数k的取值范围是() A.k=0.B.k≥-1或k≠0.C.k≥-1.D.k＞-1.     

聚焦整式加减中的整体意识

意识一:“代”整体 即把题设条件式作为一个整体,直接代入所要求解的代数式进行求解. 例1 若a+b=3,则 (a+b)2-5/a+b+a+b-2的值为——, 思路点拨:由于所要求解的是关于a+b的代数式的值,于是把a+b作为一个整体,直接代人求解即可,详见如下: 解:(a+b)2-5/a+b+a+b-2=(a+b)2-5/(a+b)+(a+b)-2由a+b=3得原式=32-5/3+3-2=25/3.     

换元法解分式方程

换元法是十分重要的数学方法 ,特别是在中考解分式方程时应用极广 .那么如何恰当地换元 ,则要根据各个方程自身的结构特点加以分析 .一、整体换元例 1　解方程 :ｘｘ- 12 - 5 ｘｘ- 1 +6 =0 .(2 0 0 1年新疆生产建设兵团中考题 )　解　设ｙ=ｘｘ - 1 ,则原方程可化为ｙ2 - 5ｙ+6=0 .解得ｙ1 =2 ,ｙ2 =3.当ｙ=2时 ,ｘｘ- 1 =2 .解得ｘ=2 .当ｙ=3时 ,ｘｘ- 1 =3 .解得ｘ=32 .经检验 ,ｘ1 =2 ,ｘ2 =32 是原方程的根 .二、倒数换元例 2　解方程 :ｘ2 -ｘ- 1 2ｘ2 -ｘ- 4 =0 .(2 0 0 1年黑龙江省哈尔滨市中考题 )　解　设ｙ=ｘ2 -ｘ,则原方程可化…     

妙用“整体思想”解整式问题

在整式的化简或求值过程中,若能把某部分看做一个“整体”,便能迅速简洁地解答出问题.下面举例谈谈“整体思想”在《整式加减》中的运用. 例1 求值2(2α+b)~2-3(2α+b)+8(2α+b)~2-6(2α+b),其中α=-3/4,b=1/2. 分析把2α+b,(2α+b)~2各看做一个“整体”,先合并,再代     

初一第一学期期末数学测试题

一、填空 (每小题 2分 ,共 2 0分 )1 .n棱柱有个顶点 ,条棱 ,个面 .2 .下列事件 :1打开课本 ,有一卡通图片 ;2明天下雨 ;3地球自转 ;4在 - 5℃的户外 ,水不会结冰 .其中是必然事件 ,是不可能事件 ,不确定事件 .3.观察下面一列数 ,按规律在横线上填上适当的数 :- 32 ,1 6,- 8,4,,,.4.若 |2 x +6| +2 |3 - y| =0 ,则 (xy) 5=.图 15.如图 1 ,图形的周长是 .6.x表示一个两位数 ,y表示一个三位数 ,如果把 x放在 y的左边 ,组成一个新的五位数 ,用代数式可以表示成 .7.用运算符号把 - 2 ,3,4,1 0连成一个算式 ,允许添括号 ,使这个算式的结果等于 2 …     

七年级（上）数学期中自测卷

一、填空题(共12小题;每小题2分,共24分)1.-132的相反数等于.2.已知下列各数:6,-7.5,0,-91,243,0.03,-72,将负数填入负数集合内.负数集合:{…}.3.某天上午6∶00长江水位为80.4米,到上午11∶30水位上涨了5.3米,到下午6∶00水位下跌了0.9米.则到下午6∶00水位为米.4.绝对值小于5大于2的正整数是.5.用科学记数法表示302400,应记为.6.计算36×32-59+172=.7.用计算器计算(-3)5-24+12=.8.写出一个能表示式子-60+15-32实际意义的例子.9.x比它的一半大6,可列方程为.10.已知2是关于x的方程3x+a=0的一个解,则a的值等于.11.澳门人口43万,90%居住在半岛…     

和初一新生谈谈“整体思想”

初一新同学在解决代数问题时,习惯上盯着某个局部特征,总想各个击破,分而治之.而有时这样做把问题弄得很复杂,无从下手.这里我向同学们介绍一种重要的数学思想方法——整体思想,也就是着眼于问题的整体结构,从大处考虑,由整体入手,突出问题的整体结构的分析和改造,这样做往往能收到理想的效果.下面举例谈谈整体思想在解题中的运用.一、求值中运用“整体思想”例1　已知x2+x-1=0,求2x3+4x2+3的值.简析:由已知,得x2+x=1,将x2+x视作一个“整体”代入求值式,得2x3+4x2+3=2x(x2+x)+2x2+3=2x+2x2+3=2(x2+x)+3=2×1+3=5.例2　若(3x+1)5=ax5+bx4+cx3…     

一元二次方程中的数学思想

一元二次方程是初中数学的重要内容,也是中考的热点.下面以2013年中考题为例,说明一元二次方程中常用的数学思想. 一、整体思想 例1 (2013年黔西南卷)已知x=1是一元二次方程x2+ax+b=0的一个根,则代数式a2+b2+2ab的值是____. 解析:∵x=1是一元二次方程x2+ax+b=0的一个根, ∴12+a+b=0,∴a+b=-1, ∴.a2+b2+2ab=(a+b)2=(-1)2=1. 温馨小提示:本题主要考查一元二次方程解的概念,把根直接代入方程,即可求得a+b的值,然后整体代入求出代数式的值.