重视一题多解教学,培养创新精神

一、在例题解法分析过程中培养学生思维能力和创新精神对于某些例题可以从不同的角度进行探讨 ,给出多种解法 ;变通思路 ,发散思维。例１、如图 ,点Ｐ是△ＡＢＣ内的一点 ,连结ＡＰ、ＢＰ,已知∠１＝３０°，∠２＝２５°，∠Ｃ＝７０°求∠ＡＰＢ的度数。（１）利用三角形的外角性质分析（图１）延长ＡＰ交ＢＣ于点Ｄ,则∠ＡＰＢ是△ＢＤＰ的外角 ,因此∠ＡＰＢ＝∠２+∠ＰＤＢ，∠ＰＤＢ＝∠１+∠Ｃ ,所以∠ＡＰＢ＝∠２+∠１+∠Ｃ。解法一 :利用三角形的外角性质（图１） ,延长ＡＰ交ＢＣ于点Ｄ。∵∠ＰＤＢ＝∠１ +∠Ｃ，∠ＡＰＢ＝∠２…     

三角形三边关系用法举例

三角形三边关系定理及其推论有多方面的应用,现举例分述如下：一、证明线段间的不等关系．常用于证明两线段的和（差）大于（小于）第三线段．一般是选择或构造三角形,使这个三角形以相关线段为边,然后用定理或推论证明．例１如图,已知Ｄ、Ｅ是△ＡＢＣ内的两点．求证：ＡＢ＋ＡＣ＞ＢＤ＋ＤＥ＋ＥＣ．证明延长ＤＥ交ＡＣ于点Ｇ,延长ＥＤ交ＡＢ于点Ｆ．在△ＡＦＧ中,ＡＦ＋ＡＧ＞ＦＧ．（１）在△ＦＢＤ中,ＦＢ＋ＦＤ＞ＢＤ．（２）在△ＧＣＥ中,ＧＣ十ＥＧ＞ＥＣ．（３）将（１）、（２）、（３）式相加,得ＡＦ＋ＡＧ＋ＦＢ＋ＦＤ…     

怎样寻找相似三角形

利用相似三角形的性质证明线段的比例式或等积式，需要寻找相似三角形．寻找相似三角形，常从以下几方面考虑．一、三点定形法所谓三点定形法，就是在所要证明的比例式中，直接找到几个点，证明它们组成的两个三角形相似．例１如图１，Ｅ是ＡＢＣＤ的ＣＤ边上的任意一点，ＡＥ与ＢＣ延长后交于Ｆ，求证：ＡＢ·ＥＡ＝ＡＦ·ＥＤ．（９２南京中考题）简析　将ＡＢ·ＥＡ＝ＡＦ·ＥＤ改写为于ＡＢ／ＡＦ＝ＥＤ／ＥＡ，Ａ、Ｂ、Ｆ可组成△ＡＢＦ，Ｅ、Ｄ、Ａ三点可组成△ＥＤＡ．要证结论成立，只须证△ＡＢＦ∽△ＥＤＡ即可．证明在△ＡＢＦ与…     

几种特殊形式成比例线段的证题方法

１．ａｎ∶ｂｎ＝ｃ∶ｄ型如果欲证的等式是ａｎ∶ｂｎ＝ｃ∶ｄ形式,一般要考虑证明分别含有ａ、ｂ为对应边的两个三角形相似,然后利用面积关系或射影定理进行证明．图１例１　从圆外一点Ｐ引圆的切线ＰＡ,割线ＰＣＢ．求证ＡＢ２∶ＡＣ２＝ＰＢ∶ＰＣ．分析：含ＡＢ、ＡＣ、ＰＢ、ＰＣ的三角形是△ＰＡＢ和△ＰＣＡ,而易证△ＰＡＢ∽△ＰＣＡ,∴ＡＢ２ＡＣ２＝Ｓ△ＰＡＢＳ△ＰＣＡ＝１２ＰＢ·ＡＨ１２ＰＣ·ＡＨ＝ＰＢＰＣ．例２　已知矩形ＣＥＤＦ内接于圆Ｏ,过Ｄ作圆的切线与ＣＥ、ＣＦ的延长线分别交于点Ａ、Ｂ．求证：ＢＣ３Ａ…     

三棱柱内接平行六面体的一个性质及其应用

文［１］给出了三角形内接平行四边形的两个性质定理,笔者发现很容易将其移植到空间中去．为了便于说明,先将文［１］中两个定理抄录如下：定理１　△ＡＢＣ中,Ｄ为ＢＣ上一点,Ｅ、Ｆ分别在ＡＣ、ＡＢ上,且ＤＥ∥ＡＢ,ＤＦ∥ＡＣ,分别记△ＢＦＤ、△ＣＥＤ、ＡＦＤＥ、△ＡＢＣ的面积为Ｓ１,Ｓ２,Ｓ′,Ｓ△,则（１）Ｓ′＝２Ｓ１Ｓ２;（２）Ｓ△＝（Ｓ１＋Ｓ２）２．（图１）定理２　△ＡＢＣ中,四边形ＤＥＦＧ为内接平行四边形,分别记△ＡＤＥ、△ＢＤＧ、△ＥＦＣ、ＥＦＧＤ、△ＡＢＣ的面积为Ｓ１,Ｓ２,Ｓ３,Ｓ′,…     

高中数学竞赛模拟试题

第一试一、选择题１．在△ＡＢＣ中,若ｃｔｇＡｔｇＡ２＋ｃｔｇＢｔｇＢ２＋ｃｔｇＣｔｇＣ２≥１,则△ＡＢＣ的形状是（　　）．Ａ．任意三角形　　Ｂ．直角三角形Ｃ．钝角三角形　　Ｄ．等边三角形２．已知ｘ,ｙ∈Ｒ,且３ｘ＋５ｙ≥３－ｙ＋５－ｘ,则ｘ与ｙ满足（　　）．Ａ．ｘ＋ｙ＞０　　Ｂ．ｘ＋ｙ≥０Ｃ．ｘ＋ｙ＜０　　Ｄ．ｘ＋ｙ≤０３．已知Ｐ是正方形ＡＢＣＤ所在空间任一点,则ＰＡ２－ＰＤ２与ＰＢ２－ＰＣ２的大小关系是（　　）．Ａ．ＰＡ２－ＰＤ２＞ＰＢ２－ＰＣ２Ｂ．ＰＡ２－ＰＤ２＜ＰＢ２－ＰＣ２Ｃ．ＰＡ２－Ｐ…     

巧用面积关系证题

一、利用面积之和证题通过引辅助线 ,把三角形分割成几个小三角形 ,则原三角形的面积等于分割成的各个小三角形的面积之和 .运用这一关系 ,可以证明线段之间的和差关系 .例 1　已知 :如图 1 ,△ＡＢＣ中 ,ＡＢ =ＡＣ ,Ｐ为ＢＣ上任一点 ,ＰＤ⊥ＡＢ ,ＰＥ⊥ＡＣ ,垂足分别为Ｄ、Ｅ ,ＣＦ是ＡＢ边上的高 .求证 :ＰＤ ＰＥ =ＣＦ .分析　由ＰＤ、ＰＥ是垂线段不难联想到三角形的高 ,由高进一步联想到面积 .这样 ,思维的角度就定位在面积关系上了 .连结ＡＰ ,容易看出ＰＤ、ＰＥ、ＣＦ分别是△ＡＰＢ、△ＡＰＣ、△ＡＢＣ的高 ,而这三个三角形…     

一道几何题的多种证法

一题多解有利于开拓思路，培养思维能力．本文将研究一道几何题的多种证法，供读者参考．题目如图１，已知ＡＢＣ为等边三角形，延长ＢＣ到Ｄ，又延长ＢＡ到Ｅ，使ＡＥ＝ＢＤ，连结ＣＥ、ＤＥ．求证：ＣＥ＝ＤＥ．分析利用全等三角形证明两条线段相等是最基本而又最常用的方法．但在给定图形中并没有以ＣＥ、ＤＥ为一对对应边的全等三角形，因此必须添加辅助线，构成证题所需的全等三角形．具体添加辅助线的方法有如下六种：（１）在ＡＥ上取一点Ｆ，使ＡＦ＝ＣＤ，连结ＤＦ（如图１），则ＥＦ＝ＢＣ＝ＡＣ，ＢＦ＝ＢＤ．于是，欲证ＣＥ＝Ｄ…     

三角形垂心的性质及其应用

1　基础知识三角形三边上的高的交点称为三角形的垂心 .三角形垂心有下列有趣的性质 :设△ＡＢＣ的三条高为ＡＤ、ＢＥ、ＣＦ ,其中Ｄ、Ｅ、Ｆ为垂足 ,垂心为Ｈ .性质 1　垂心Ｈ关于三边的对称点 ,均在△ＡＢＣ的外接圆上 .性质 2　△ＡＢＣ中 ,有六组四点共圆 ,有三组 (每组四个 )相似的直角三角形 ,且ＡＨ·ＨＤ =ＢＨ·ＨＥ =ＣＨ·ＨＦ .性质 3　Ｈ、Ａ、Ｂ、Ｃ四点中任一点是其余三点为顶点的三角形的垂心 (并称这样的四点为一垂心组 ) .性质 4　△ＡＢＣ ,△ＡＢＨ ,△ＢＣＨ ,△ＡＣＨ的外接圆是等圆 .性质 5　在非直角三角形中 ,过…     

成果集锦

成果集锦一个“平面一点型”三角形不等式定理设△ＡＢＣ的边为ａ、ｂ、ｃ，其内切与外接圆半径分别为Ｒ、ｒ，Ｐ为平面内任一点，则（１ａ＋１ｂ＋１ｃ）（ＰＡ＋ＰＢ＋ＰＣ）≥（２５＋６ｒＲ－ｒＲ－ｒ）１２（△ＡＢＣ为正三角形，Ｐ为其中心）．定理的证明需用如下事...     

等腰三角形“三线合一”性质的应用

“三线合一”指的是《几何》第二册第６７页上的一个推论：“等腰三角形的顶角平分线、底边上的高、底边上的中线互相重合．”这是等腰三角形的重要性质之一,运用时应作如下理解：如图１,△ＡＢＣ中,ＡＢ＝ＡＣ,Ｄ为ＢＣ上一点,在下列三个条件中：（１）∠ＢＡＤ＝∠ＣＡＤ;（２）ＡＤ⊥ＢＣ;（３）ＢＤ＝ＤＣ,满足其中任意一个条件时,都能立刻推出其余两个成立．下面举例说明它的应用．一、证明线段相等例１如图２,△ＡＢＣ中,Ｄ、Ｅ在ＢＣ边上,ＡＢ＝ＡＣ,ＡＤ＝ＡＥ．求证：ＢＤ＝ＣＥ．证明作ＡＦ⊥ＢＣ于Ｆ,则由“三线合…     

正三角形内任意一点的性质

正三角形内任意一点的性质○黄兴丰（江苏南通市天星湖中学２２６０１０）正三角形是最完美的三角形，它有许多优美的性质．那么，正三角形内任意一点是否也具有一些特殊的性质呢？性质１正三角形ＡＢＣ内任意一点Ｐ到各边的距离之和为一定值（等于该三角形之高ｈ）．性质...     

三角形中线一个性质的巧用

三角形中线一个性质的巧用□兰州科学院中学封自珍三角形中线分三角形成两个面积相等的三角形,这一性质在解题、证题中应用很广泛．例１已知Ｅ、Ｆ分别是ＡＢＣＤ的边ＡＤ、ＣＤ的中点．求证Ｓ△ＡＢＥ＝Ｓ△ＦＣＢ．分析：连结ＢＤ,得Ｓ△ＡＢＥ＝１２Ｓ△ＡＢＤ,...     

关于三角形的等外接圆点

设Ｐ是△ＡＢＣ内的点,使得△ＰＡＢ、△ＰＡＣ、△ＰＢＣ的内切圆半径相等,则称Ｐ为△ＡＢＣ的“等圆点”。《中等数学》１９９７年第３期（三角形的“等圆点”问题）对这种等四点作了研究。受此文启发,本文考虑使△ＰＡＢ,△ＰＡＣ,△ＰＢＣ外接圆半径均相等的点Ｐ的性质问题,得出以下结果。定理设Ｐ是△ＡＢＣ所在平面上的一点,那么Ｐ使△ＰＡＢ、△ＰＡＣ、△ＰＢＣ的外接回半径均相等的充要条件是Ｐ是否△ＢＣ的垂心或Ｐ在西△ＡＢＣ的外接回上。证明设△ＡＢＣ、△否则明、△ＡＯＣ、△ＢＰＣ的外接四分别为Ｏ、Ｏ１、Ｏ２、Ｏ…     

根据角平分线条件构建全等三角形

几何题中有不少问题的证明都是通过全等三角形来实现的．这里，如何构造全等三角形自然成为解决问题的关键．本文就角平分线条件构建全等三角形谈些思路．思路Ｉ过已知边上一点作角平分线的垂线，延长此垂线段与另一边相交得全等三角形，例１如图１，在西△ＡＢＣ中，∠ＡＢＣ＝３∠Ｃ，∠Ａ的平分线为ＡＤ，ＢＰ⊥ＡＤ，Ｐ是垂足．求证：ＢＰ＝１／２（ＡＣ－ＡＢ）．证明延长ＢＰ交ＡＣ于Ｑ．∵ＡＰ平分∠ＢＡＣ，且ＡＰ⊥ＢＱ，∴Ｒｔ△ＡＰＢ≌Ｒｔ△ＡＰＱ．∵∠１＝∠２，∴∠ＡＢＣ＝∠１＋∠３＝∠２＋∠３＝（∠３＋∠Ｃ）＋∠３＝…     

一道课本复习题的推广

一道课本复习题的推广○朱汉林（苏州大学数学系２１５００６）初中《几何》课本第二册Ｐ２６４上一道复习题为：过△ＡＢＣ的顶点Ｃ任作一直线，与边ＡＢ及中线ＡＤ分别交于点Ｆ和Ｅ．求证：ＡＥ∶ＥＤ＝２ＡＦ∶ＦＢ．（提示：过点Ｄ作ＤＭ∥ＣＦ交ＢＦ于点Ｍ．）本题可...     

界心、Nagel点及其他

1　近几年来关于三角形“界心”的研究从 1 995年文 [1 ]提出三角形“界心”概念以后 ,近几年来围绕“界心”的文章不断涌现 (见文 [2 ]-[8]) ,形成一个小小的热潮。设Ｐ、Ｑ是△ＡＢＣ周界上的两点 ,如果这两点将三角形周界分为相等的两部分 ,则称线段ＰＱ为△ＡＢＣ的一条分周线。关于“界心”研究的主要结果有如下述 :(1 )△ＡＢＣ中过顶点的分周线ＡＤ、ＢＥ、ＣＦ相交一点Ｋ ,称之为第一界心。假设ａ、ｂ、ｃ,ａ′、ｂ′、ｃ′ ,Ｒ、Ｒ′ ,ｒ、ｒ′,分别为△ＡＢＣ与△ＤＥＦ的边长、外接圆半径、内切圆半径 ,那么还有以下性质 :① Ｓ…     

正三角形的又一性质

正三角形的又一性质兰州师专温传校引理正三角形外接圆上的任一点到它的三顶点的连线段的平方和为一定值。已知：如图（１），ΔＡＢＣ是正三角形，Ｐ是它的外接圆⊙Ｏ上的任一点，⊙Ｏ的半径为Ｒ。求证：ＰＡ２＋ＰＢ２＋ＰＣ２为一定值。证明：连接并延长ＢＯ交ＡＣ于Ｄ...     

三角形内接平行四边形的一个性质及应用

三角形中内接平行四边形是一个重要的基本图形．本文介绍这类图形的一个面积定理,运用它便可有效地解决与这类图形有关的问题．图１定理１△ＡＢＣ中,Ｄ为ＢＣ边上一点,Ｅ、Ｆ分别在ＡＣ、ＡＢ上,且ＤＥ∥ＡＢ,ＤＦ∥ＡＣ,分别记△ＢＦＤ、△ＣＥＤ,ＡＦＤＥ,△...     

一个四边形面积定理的应用

一个四边形面积定理的应用曾祥术（湖南省龙山县石羔中学４１６８０１）图１如图１,ＢＤ、ＣＥ相交于△ＡＢＣ内一点Ｆ,对于四边形ＡＥＦＤ的面积,有如下定理：定理在△ＡＢＣ中,Ｄ、Ｅ分别是ＡＣ、ＡＢ边上的点,ＢＤ与ＣＥ相交于点Ｆ,且ＡＥＥＢ＝ｍ,ＡＤＤＣ＝ｎ...