利用几何图形 寻求解题思路

在初等数学教学中,利用几何图形的直观或几何方法来解代数、三角问题,这是一种重要的数学思想方法.代数、三角问题结合几何方法求解,往往可使求解过程简单、方便.将“数”与“形”两者有机地结合起来,利用几何图形,寻求解题思路,不仅可以提高学生分析问题、解决问题的能力,而且可以开阔解题思路、启迪思维,还可以沟通代数、三角、几何的基础知识.下面举例说明:1求代数式的值例1已知正实数x,y,z满足x y=5,y2 z2-yz=9,x2 zx z2=16.     

数学建模在解题中的应用

“建模法”是依据题目的条件和结论的特征 ,类比联想相关数学知识 ,选择恰当的数学工具构造出新的适当的数学关系 (如公式、方程、函数或图形等 ) ,通过对这些数学关系的研究得到解题的思路 ,从而达到解题的目的。它是一种使原来的问题情景转化为易于解决的问题情景的解题方法。“建模法”常常能打破解题常规 ,另辟蹊径 ,获得简捷、明快、精巧的解答 ,对于培养学生思维的独创性有深远意义。一、构造函数1.利用函数的单调性例 1.已知 x,y∈ R,且 2 x+ 3y>2 -y+ 3-x,求证 x+ y>0。证明 :作函数 f(x) =2 x- 3-x,因为 y=2 x 为增函数 ,y=3-x为…     

例析2003年中考试题中的“动点问题”

动点问题是 2 0 0 3年中考题中出现较多的一种题型 ,这类集几何、代数知识于一体的综合题 ,既能考查学生的创造性思维品质 ,又能体现学生的实际水平和应变能力 .其解题策略是“动”中求“静”,“一般”中见“特殊”.抓住要害 ,各个击破 .常见的题型有 :一、点在直线上运动例 1　 (2 0 0 3年常州 )如图 1,直线 OC、BC的函数关系式分别为 y =x和 y =- 2 x + 6 ,动点 P(x,0 )在 OB上移动 (0 相似文献   

数形结合的几种基本形式

数形结合是数学解题的一种重要的思想方法.它既可以借助于数的精确性来阐明形的某些属性,也可以借助于形的几何直观性来阐明数之间的某种关系.要想灵活的运用数形结合的思想指导解题,除了要准确理解数学概念、运算的几何意义和曲线的代数特征外,还必须熟悉数学问题中数形结合的一些基本形式,使解题思维迅速奔向数形结合的通道,实现数形的转化.本文着重说明借助几何直观性解决与数有关的数学问题的解法.1 .斜率型过A(x1,y1)、B(x2 ,y2 ) (x1≠x2 )两点的直线斜率是y2 -y1x2 -x1,因此涉及此类比值的问题,可考虑转化为直线斜率来求解.例1　已…     

怎样进行解题教学 才能提高思维能力

解题教学,是提高思维能力的重要环节.那么如何进行解题教学,才能提高思维能力呢?我在多年的教学实践中深深体会到,解题教学中注重发挥学生主体作用,是开发智力培养能力的重要举措.下面谈谈我的一些具体做法和体会.1给学生创造思维活动的机会解答数学问题的关键是思路.在解题教学中不要直接告诉学生思路,而是为学生提供思维活动的平台,引导学生在探究思路的过程中学会思考,让学生既知其然,又知其所以然,从而有效地提高独立分析问题,解决问题的能力.问题1已知椭圆x25+y24=1和直线l∶y=2x+t,问t在什么范围内变化时,椭圆上总有两点关于直线l对称?教学时,不要直接告诉学生解题过程,而是设置如下问题让学生思考:(1)求t的范围一般方法是什么?(解关于t的不等式)(2)根据什么特征来建立关于t的不等式?(具体方法),学生掌握了思维原则,就能从不同的角度探究解题方法.方法1利用判别式设M1(x1,y1),M2(x2,y2)是椭圆上关于直线l对称的两点.直线M1M2与l垂直,可设直线M1M2的方程为y=-x2+m,即x=-2y+2m,代入椭圆方程得21y2-32my+16m2-20=0,则关于y的二次方程有两个不等实根,其充要条件...     

“回到定义”的解题策略

定义是概括事物本质属性的语句.它既是思维的出发点,又是思维的归宿.利用定义解题往往能收到事半功倍的效果.本文举例说明“回到方程定义”的解题策略的应用,以期帮助同学们拓展思维,提高解题能力. 例 1 已知x2 x-1=0的两根为x1、x2,则(x12 2x1-1)(x22 2x2-1)的值为( ).     

体验解题过程,培养数学思维能力

波利亚认为 :“一个有责任心的教师与其穷于应付繁琐的教学内容和过量的题目 ,还不如适当选择某些有意义但又不太复杂的题目 ,去帮助学生发掘题目的各个方面 .在指导学生解题的过程中 ,提高他们的才智与推理能力 .”发现、选择一些既能启发应用基本方法 ,又能进行深入挖掘的题目 ,引导他们多角度 ,多层次地思考问题 ,同教师一道经历解题过程 ,可以有效地培养学生的创造性思维 .下面是两个运用基本不等式进行“定值求和的最小值”的问题 :例 1　求函数 y =9sin2 x+ 4sin2 x的最小值 .例 2　已知 a >b>0 ,求 a2 + 1 6b(a -b) 的最小值 .例 1中…     

妙用“1”巧证题

不等式的证明题中,常常会在给定条件或待证的不等式中含有“1”或与“1”有关的项.因此,熟知“1”的应用技巧并灵活运用,对学生拓宽解题思路、提高解题能力是十分有益的.下面就证明不等式时“1”的几个常用技巧做一总结.※“1”的等量代换法※当给定条件中有含“1”的等量关系式时,常常将“1”用式子等量代换到要证明的不等式中,对原不等式变形.[例1]已知x+y+z=1,证明x2+y2+z2≥13.证明:原不等式可变形为3(x2+y2+z2)≥1.∵x+y+z=1,∴3(x2+y2+z2)≥(x+y+z)2,左-右=3x2+3y2+3z2-(x+y+z)2=2x2+2y2+2z2-2xy-2yz-2zx=(x-y)2+(y-z)2+(z-x)2≥0∴原…     

习题教学中培养学生良好的思维品质

学数学离不开解题，本文就习题教学中如何培养学生思维品质谈几点认识 .　　一、通过一题多解培养思维的广阔性 　　思维的广阔性，是指对一个问题能从多方面、多角度地思考、分析 .教学中，教师可引导学生通过一题多解拓宽学生的思维 .　　例 1.解方程 (x－ 1）（ x－ 3）（ x－ 5）（ x－ 7） =105. 　　解：把方程左端化成 (x2－ 8x＋ 7）（ x2－ 8x＋ 15） =105，引导学生用换元法解 . 方法 (一 )：设 x2－ 8x＋ 7=y.(解略 ,下同 )　　方法 (二 )：设 x2－ 8x＋ 15=y． 方法 (三 )：设 x2－ 8x=y.　　方法 (四 )：设 x2－ 8x＋ =y． 　…     

数形结合的几种基本途径

数与形是初等数学中研究的主要对象 ,数形结合就是把抽象的数学语言与直观的图形结合起来思考 ,使抽象思维和形象思维结合 ,通过“以形助数”或“以数解形” ,使复杂问题简单化 ,抽象问题具体化 ,从而起到优化解题途径的目的 .数形结合包含两方面内容 :从几何角度看代数问题 ,或从代数角度看几何问题 .数形结合在解题过程中应用十分广泛 ,本文介绍数形结合的几种基本途径 .(1)代数式 (x-a) 2 +(x -b) 2 表示点 (x ,y)到点 (a ,b)的距离 .例 1　求函数 f(x) =x2 +15 -x2 - 6x +13的最大值 .解　f(x) =(x - 0 ) 2 +(0 - 15 ) 2 -(x- 3) 2 +(0 …     

"设而不求"法在解析几何中的应用

熟练地运用设而不求法求解析几何问题,能避免繁杂运算、简化解题过程,使解题收到事半功倍的效果.现归纳解析几何中运用设而不求法解题的几种方法如下:1利用元素的整体结构解题过程中,不直接求出所设元素,而抓住元素的整体结构,能有效地减少运算量,使解题化繁为简.1.1利用点的坐标的整体结构例1已知抛物线y2=4x,过点P(1,3)作直线l交物线于A,B两点,使P恰为弦AB的中点,求直线l的方程.解设A(x1,y1),B(x2,y2).因为点A,B在抛物线y2=4x上,所以y12=4x1,y22=4x2.两式相减可得yx22--xy11=y24 y1.又P是弦AB的中点,y1 y2=6,所以kAB=y2-y1x2-x1=32,…     

一个双边不等式的统一再处理

本刊文 [1]曾就一个常见无理不等式 (例 1) ,提出并用数形结合的方法找出了它的最小上界 (例 2 ) .本文首先用一个更简明的几何事实统一处理例 1、例 2 ,然后暴露如何从解题过程的分析中提炼新解法的思维轨迹 .1　新解法的呈现为了阅读的方便 ,我们首先对问题及其处理作一简要的陈述 .1 1　解题案例几乎在每一个谈论数形结合的场合 ,人们都会提到下述不等式的构图解法 :例 1　若 0≤x ,y≤ 1,则x2 +y2 + ( 1-x) 2 +y2 +x2 + ( 1-y) 2 + ( 1-x) 2 + ( 1-y) 2 ≥ 2 2 .等号当且仅当x =y=12 时成立 .虽然这个不等式可以直接用代数方法处理 (如…     

用判别式法求函数值域剖析

<正>判别式法是高中求分式函数值域的常用方法.但由于对此方法的原理不很清楚,许多学生在解题过程中对一些条件不能正确的处理,从而导致解题出错.下面以几个题目为例,说明判别式法的原理以及在使用过程中一些要注意的地方.例1求函数f(x)=x2-2x-32x2+2x+1的值域.解:∵2x2+2x+1=2 x+()122+12>0恒成立,∴函数的定义域为R.图1将原函数等价变形为关于x的方程:(2y-1)x2+(2y+2)x+y+3=0……(*)(1)2y-1=0即y=12时,代入(*)式,求得x=-76.∴y可以取到12.     

给切线问题开两剂“良方”

多项式函数中的切线问题是导数内容中的一个“新亮点” ,由于它涉及高中数学中较多的知识点和数学思想、方法 ,近几年 ,各类考试中命题人常以切线问题为载体 ,编制试题来考察学生的数学思维能力和素养 .但由于切线问题知识的综合性、题型的新颖性、解题方法的灵活性 ,导致学生往往不得要领 ,无从下手 .本文就切线问题的解题策略作一归纳 ,为切线问题的迅捷解决开出两剂“良方” .1 着眼于切线的斜率和方程1 1　统一斜率表达式　转换视角破定势若多项式函数y =f(x)的图象上以P(x0 ,y0 )为切点的切线上有两点P1(x1,y1)、P2 (x2 ,y2 ) ,则…     

《字母表示数》（1-3）中考展示

考点1:代数式的系数例1(2004年盐城市)-13x2y的系数是"""".解析:由“每一项字母前的数字因数叫做这一项的系数”知,-13x2y的系数是-31.考点2:列代数式例2(2005年杭州市“)x的12与y的和”用代数式可以表示为()A.12(x y)B.x 12 yC.x 12yD.21x y解析:把文字语言译成符号语言即可.“x的12”表示为21x,“21x与y的和”表示为12x y.故应选D.例3(2005年安徽)今天,和你一起参加全省课改实验区的初中毕业升学考试的学生约有15万人.其中男生约有a万人,则女生约有()A.(15 a)万人B.(15-a)万人C.15a万人D.15a万人解析:根据实际问题的意义列代数式:女生…     

数学解题中的漏解与定势思维

不少学生解题时常有一些通病如:“惧怕难题,丢三忘四,定势思维”等问题.究其原因,主要是心理因素与能力因素.下面举几例加以点评: 例1 若函数y=(m+2)x2+2x-1的图像与x轴只有一个公共点,求m的值.并求这个公共点的坐标.     

“设而不求”巧解题

解析几何的解题过程涉及变元多,往往导致运算繁琐.如能恰当地巧用"设而不求"策略,就能较大地减少运算量,简化过程,提高解题效率·一、巧求曲线方程【例1】求两圆C1:x2 y2 6x-4=0和C2:x2 y2 6y-28=0的公共弦所在的直线方程·解:设两圆的交点为A(x1,y1),B(x2,y2)则x12 y12 6x1-4=     

解题的关键——审题

审清题意是确保解题正确的前提。学生往往在未弄清题意时 ,盲目解题 ,以致造成这样或那样的错误。审题中常见的错误有如下几种 :1.题意不明。学生对数学中的一些数学术语、概念、性质理解不透 ,混淆不清。如不常用的“方位角”、“最简根式”等 ,也有一部分学生是语文基础较差 ,理解不清 ,如将“相向”与“同向”混淆。2 .漏看条件或漏看结论。如 ,求过点 m(0 ,1)且和抛物线 y2 =4 x仅有一个公共点的直线方程。有学生就可能把“一”漏看 ,误认为有公共点的直线方程。又如 ,已知抛物线 x2 =4 y与圆 x2 + y2 =32相交于 A、B两点 ,圆与y轴正半…     

谨防落入判别式的陷阱

解决与判别式相关问题时,我们往往难于审时度势地利用判别式而导致失误.本文通过相关典型例题解的成败给以评说,以便从宏观上指导我们解题思维的形成.避免在解题过程中出现决策性失误.一、判别式的迷惑在解决涉及与一元二次方程根相关问题时,往往在方法决策时,不加思考的就选择使用判别式.真所谓:“不识庐山真面目,只缘身在此山中”.而最终导致迷惑.【例1】　若椭圆x2+4(y-a)2 =4与抛物线x2 =2y有公共点,求实数a的取值范围.误解:x2 +4(y - a)2 =4x2 =2y得 2y2 + (1-4a)y+2a-2=0　　①即Δ= (1-4a)2 -16(a -1)≥0∴a≤178简评:“Δ≥0”…     

"换元法"应用举例

“换元法”是一种重要的数学思想方法,形式多种多样,也是解题中常用的转化策略,下面举例说明如何用“换元法”解决数学问题。一、式子换元1、局部换元例1、分解因式(x2 x 3)(x2-6x 3) 12x2解:设x2 3=y,则原式=(y x)(y-6x) 12x2