杠杆平衡条件的应用

求解杠杆的实际应用问题,分三步:（1）将物体抽象成杠杆模型（例如扁担、杆秤、木棒、吊车等）;（2）找出支点（O）,明确动力（F₁）、阻力（F₂）,画出动力臂（L₁）、阻力臂（L₂）（这些物理量有些是已知量,有些是未知量）;     

费马数F5能被641整除的证明方法

在浙教版初中数学实验教材八年级下册第4章的"前言"及第83页的"阅读材料"中都给出了关于费马数的一些有趣史料:形如2^2″+1（n为自然数）的数称为费马数,简记为F_n.1640年,法国数学家费马（Fermat,1610～1665）根据F₀=3,F₁=5,F₂=17,F₃=257,F₄=65537都是素数,因而作出猜测:对于所有的自然数n,     

椭圆焦点三角形中的几个结论及应用

<正> 设 F₁,F₂是椭圆（x²/a²）+（y²/b²）=1（a>b>0）的焦点,过 F₁,F₂的弦交椭圆于 P 点,称∠F₁PF₂为椭圆的弦焦角,△F₁PF₂为椭圆中的焦点三角形。如图1所示,在△F₁PF₂中,P 与 A₁,A₂不重合,设∠F₁PF₂=2α,则有下列三个结论。一、|PF₁|·|PF₂|·cos²α=b²证明在△F₁PF₂中,设|PF₁|=m,|PF₂|=n,|F₁F₂|=2c。由余弦定理得:m²+n²-2mncos2α=4c²①,又 m+n=2a,     

平面几何用于圆锥曲线五例

1.三角形中位线例1已知点Q是双曲线（x²/a²）-（y²/b²）=1（a,b>0）上异于顶点的一个动点,左右焦点分别为F₁、F₂,从F₂向∠F₁QF₂的角平分线作垂线F₂P,求垂足P的轨迹方程.     

析真题 引教学 育素养——以2023年全国甲卷理科第12题为例

<正>1.真题呈现(2023·全国甲卷·理12)已知椭圆■1,F₁、F₂为两个焦点,O为原点,P为椭圆上一点,cos∠F₁PF₂=3/5,则|OP|=()■2.解法探究根据题意知a=3,b=■,c=■,焦点在x轴,设PF₁=r₁,PF₂=r₂,P(x₁,y₁),不妨设x₁>0,y₁>0,则r₁+r₂=6.     

用杠杆原理巧解希望杯赛题

杠杆原理亦称“杠杆平衡条件”．要使杠杆平衡,应满足： 动力×动力臂=阻力×阻力臂, 对应的代数式是F1L1=F2L2．这里,F1表示动力,L1表示动力臂,F2表示阻力,L2表示阻力臂．这一原理可以巧妙地解决几何线段比问题．     

具有探索价值的一道希望杯赛题

07年第十八届"希望杯"全国数学邀请赛高二第2试第19题:设A、B是椭圆E:（x²/a²）+（y²/b²）=1（a>b>0）长轴两端点,F₁、F₂是椭圆E两焦点,C是椭圆E     

例析有关焦点三角形问题的求解策略

例1双曲线x²/9-y²/16=1的两个焦点为F₁、F₂,点P在双曲线上.若PF₁⊥PF₂,则点P到x轴的距离是_<sub><sub><sub>.这是一道典型的与焦点三角形有关的问题,焦点三角形是指以椭圆（或双曲线）的焦距F₁F₂为底边,顶点P在椭圆（或双曲线）上的三角形.解法1:（辅助圆法）以O为圆心,OF₁=5为半径作圆z²+y`2=25,与双曲线x²/9-y²/16=1联立,解得两曲线的交点即为题意中的点P（x₀,y₀）,消去x²,得|y₀|=|y|=     

巧用椭圆中“特征三角形”解题

我们知道椭圆两种标准方程x²/a²+y²/b²=1（a>b>0）和y²/a²+x²/b²=1（a>b>0）中都有等式a²=b²+c²（其中c为半焦距）,而此等式正好满足勾股定理,构成了一个直角三角形（三边为a,b,c）,那么这样的三角形我们可以叫做椭圆的"特征三角形"。以x²/a²+y²/b²=1（a>b>0）为例,设B₁,B₂分别为椭圆的下上顶点,F₁,F₂分别为左右焦点,则△F₂OB₂就是这样     

探求双曲线问题中三角形面积问题

<正>关于双曲线问题的解答题在近几年的高考中不断出现,也引起了老师和应试学生们的重视,其中的求相关的三角形面积非常有特点,本文通过对几个典型题目的分析探求,介绍常见的解题方法,希望能给同仁一些帮助．一、活用双曲线的定义例1已知F₁, F₂为双曲线C:x²-y²=2的左、右焦点,点P在C上,∠F₁PF₂=60°,求△F₁PF₂的面积．     

圆锥曲线问题中常见错误分析

一、圆锥曲线中常见问题1.不能灵活掌握圆锥曲线定义例1已知有一双曲线与x²/25+y²/16=1,且其虚轴长为4,有一点P₀,距左焦点为6,求该点距右焦点为多少.错解:用待定系数法设双曲线方程为x²/a²-y²/b²=1.易知椭圆焦点为F₁（3,0）,F₂（-3,0）,因此b=2,得a=23^1/3.因|PF₁-PF₂|=2a,得|8-PF₁i=43^1/2,得出PF₂=8-43^1/2或PF₂6+42^1/2剖析:解题过程中仅仅考虑到了取绝对值,但是因题目中给出了条件"P₀距离左焦点为6",因此可进一步判断结果有几个.正解:设双曲线方程为x²/a²-y²/b²=1,根据椭圆x²/25+y²/16=1可得焦点坐标为F₁（3,0）,F₂（-3,0）,因此b=23^1/2,假设P₀位于右曲线,取右曲线距离左焦点最小距离为23^1/2+3>6.因此可判断出P₀并不在右曲线上,只可能在左曲线上.求得结果为6+23^1/2.     

一道苏州大学预测题的来源与解法探究

引例1设F₁,F₂是椭圆C:x²/a²+y²/b²=1（a>b>0）的左右焦点,A,B分别为其左顶点和上顶点,△BF₁F₂是面积为3^1/3的正三角形,（1）求椭圆C的方程;（2）过右焦点F₂的直线l交椭圆于M,N两点,直线AM,AN分别与已知直线x=4交于P,Q两点,试探究以线段PQ为直径的圆与直线l的位置关系,     

2013年高考数学安徽理科卷第18题的拓广探究

题目（2013年高考安徽卷·理18）已知椭圆E:x²/a²+y²/1-a²=1的焦点在x轴上.（1）若椭圆E的焦距为1,求椭圆E的方程;（Ⅱ）设F₁,F₂分别是椭圆E的左、右焦点,P为椭圆E上第一象限内的点,直线F₂P交y轴于点Q,并且F₁P⊥F₁Q.证明:当a变化时,点P在某定直线上.该题立意朴实,耐人寻味,着重考查学生解决解析几何问题的基本思维方法.通过仔细研究,我们发现该题有"潜力可挖",为了能更清楚地理解问题     

探究解析几何解题思维方法

一、求解范围问题向量的夹角公式、向量的各种运算的坐标表示都可以产生范围.根据题目的不同条件,灵活地用向量求解解析几何中的范围问题,可以使我们从原始的、复杂的传统解析几何运算中解放出来,我们的解题状态才可能达到"既钻到题内,又站在题外".例1椭圆x²/9+y²/4=1的左、右焦点为F₁、F₁,P为其上一点,当∠F₁PF₂为钝角时,点P横坐标的取值范围是     

对一道高考试题的火热思考

好的高考试题总能给我们带来无限的遐想与火热的思考,2012年安徽高考解析几何试题便是成功的一例.题目（2012年安徽高考理科第20题）如图1,F₁（-c,0）,F₂（c,0）分别是椭圆C:x²/a²+y²/b²=1（a>b>0）的左、右焦点,过点F₁作x轴的垂线交椭圆的上半部分于点P,过点F₂作直线PF₂的垂线交直线x=a²/c于点Q;（Ⅰ）略;（Ⅱ）证明:直线PQ与椭圆C只有一个交点.思考1:结论能否推广到一般情况呢?     

用杠杆原理法求解线段比例问题

大家知道,阿基米德发现的杠杆原理是:动力×动力臂=阻力×阻力臂.或写作:F1·l1=F2·l2或F2/F1=l1/l2.如果在平面图形中将某些线段当作杠杆,给某些点施加一些力,那么这三点也符合杠杆原理,线段的比就可以转化为线段两端点的受力的比,反之亦然.下面就举例说明利用这个原理来解决数学中某些线段的比的问题.     

利用实验解决有关浮力的几个典型问题

《水的浮力》不仅是初中《科学》的重点内容,也是学生困惑最多的内容.为此,笔者对学生学习中存在的几个典型问题设计了针对性实验,较好地解决了学生的困惑.典型问题1浸在水中上浮的物体受到了水的浮力,浸在水中下沉的物体也受到水的浮力吗?实验器材:200 g钩码,弹簧秤,烧杯.实验过程:如图1所示,用弹簧秤测出钩码的重力（弹簧秤示数为F₁）和钩码浸没在水中时弹簧秤的读数为F₂,计算出钩码在水中受到的浮力为F_浮=F₁—F₂.     

功、动能和机械能

1.各分力功的代数和等于合力的功质点在恒力F作用下位移l,力和位移的夹角为θ,则力F对该质点做功W=Flcosθ。功的这一定义式也可用矢量表示为W=F·l。对于功的定义式的理解有两点需要特别注意:第一,如果有多个力同时作用在一质点上,则W=W₁+W₂+W₃+…=F₁·l+F₂·l+F₃·l+…=（∑_iF_i）·l即各个分力对质点做功的代数和等于这些力的合力所做的功;第二,如果作为力的作用对象的物体不能     

对一道高考题的探究、引申

题目已知椭圆（x²）/（a²）+（y²）/（b²）=1（a>b>0）的离心率为(2^1/2)/2,以该椭圆上的点和椭圆的左、右焦点F₁、F₂为顶点的三角形的周长为4(2^1/2+1).一等轴双曲线的顶点是该椭圆的焦点,设P为该双曲线上异于顶点的任一点,直线PF₁和PF₂与椭圆的交点分别为A、B和C、D.（Ⅰ）求椭圆和双曲线的标准方程;（Ⅱ）设直线PF₁和PF₂的斜率分别为k₁、k₂.证明:k₁k₂=1;     

对一道数学高考题的研究

2010年全国高考安徽卷文科第17题（理科第19题）是:椭圆E经过点A（2,3）,对称轴为坐标轴,焦点F₁、F₂在x轴上,离心率e=1/2.（1）求椭圆E的方程;（2）求∠F₁AF₂的平分线所在直线的方程（以下简称问题）.该问题是以椭圆焦点三角形内心为背景进行命制的,笔者认为它是一个很好的研究性学习问题.1.问题的推广定理1设点P是椭圆（x²）/（a²）+（y²）/（b²）=1（a>b>0）上除去四个顶点外的一点,点E、F分