Taylor公式在解题中的若干应用

讨论了带Lagrange余项与Perano余项的Taylor公式在解题中的若干应用．用Taylor公式求解涉及高阶导数的问题时，关键在于选取函数f(x)，点x0，展开的阶数n和余项形式．点x0一般应选在有特点的地方。     

关于Hermite插值余项的几点注记

研究Hermite插值余项E(x)=f(x)-H(x)=m1!f(m)(ξ)ωm(x).在一定条件下估计‖f(m)(x)‖∞和‖ωm(x)‖∞的上界.提出一种在给定精度ε下计算f(x)的算法,同时给出数值实验.     

谈谈辅助函数

对许多数学命题的论证,若能引入一个恰当的函数,再运用已知的定理、公式,问题就可迎刃而解.然而怎样作辅助函数呢?这是学生中较为普遍地存在的困难.下面就微分中值定理的证明及其应用这个方面谈谈我对此问题的一点体会.一、用Rolle定理来证明Lagrange、Cauchy二定理的辅助函数1.Lagrange定理.设函数f(x)在闭区间[a,b]上连续,在开区间(a,b)内可导,则在该区间内至少存在一点ξ:(a<ξ相似文献   

柯西中值定理的别证衍化及应用

“若函数f(x)与g(x)满足下列条件:①在闭区间[a,b]上连续;②在开区间(a,b)内可导,且对任意x∈(a,b),g′(x)≠0。则在(a,b)内至少存在一点ξ,使 (f(b)-f(a))/(g(b)-g(a))=f′(ξ)/g′(ξ) (*)” 众所周知,这是微分学的基本定理之一:柯西中值定理((*)式称为微分中值公式)。关于它的证明,关健是在于恰当地构造一个辅助函数,再利用罗尔定理。一般教科书上构造的辅助函数是:F(x)=f(x)-f(a)-(f(b)-f(a))/(g(b)-g(a))[g(x)-g(a)]     

泰勒公式的应用

若函数f（x）在含x０的某开区间（a，b）内具有一直到n＋１阶导数，即：f∈Dn＋１（a，b），那么对于x∈（a，b），有：f（x）＝nk＝０∑f（k）（x０）k。（x－x０）k＋Rn（x）（１）记Pn（x）＝nk＝０∑f（k）（x０）k。（x－x０）k（２）且Rn（x）＝f（n＋１）（ξ）（n＋１）。（x－x０）n＋１（ξ介于x与x０之间）（３）称（１）式为f（x）在点x０处的关于（x－x０）的n阶泰勒公式；称（２）为f（x）的n阶泰勒多项式；称（３）为f（x）的拉格朗日型余项。泰勒公式是微分学中很重要的一个公式。本文试举几例，说明公式的应用。１、求极…     

微分中值定理的教学体会

微分学中,费尔马(Fermat)定理、罗尔(Rolle)定理、拉格朗日(Lagrange)定理、柯西(Cauchy)定理和泰勒(Taylor)定理因为都涉及导数在给定区间内的一个中间值,因此把这些定理叫做微分学中值定理。它们是微分学的理论基础。 费尔马定理 若函数f(x)在点x_0的某邻域U(x_0,δ)内有极值,且在点x_0可导,则f(x_0)=0,它的几何意义是如果曲线y=f(x)在点x_0处具有极值且有切线,则切线必为水平的。由费尔马定理可以导出下面的罗尔定理:若函数f(x)在闭区间[a,b]上连续,在开区间(a,b)内可导,且有f(a)=f(b),则在(a,b)内至少有一点ξ,使f(ξ)=0。     

谈数学分析与复分析中的Taylor展式

在数学分析中,把一个函数f(x)在某一点的邻域内展成Taylor级数的方法是：设p(x)=a0 a1x a2x^2 … anx^n,令p(x)无限代表或近似等于f(x),经过理论分析得出p(x)的系数a0=f(0),a1=f'(0),a2=f″（0)/2!…,an=f^(n)(0)/n!,加上余项就得到f(x)在x0=0处的n次Taylor展式。在复分析中,对解析函数f(x)而言,设f(x)在点x＝“d”处的有限泰勒展开式。通过比较可以看出分析中的泰勒展开比数学分析中的推导完备。     

梯形公式余项中值的渐近性

在主要条件f(x)∈C^3(l)之下．研究了梯形公式余项中值的渐近性     

分数微积分下Taylor公式的一种推广

基于分数微积分理论,将分析学中的Taylor级数和Taylor公式推广于f=（x-a）^ν,g∈C^ω（I）型函数,并对得到的分数幂级数的系数关系和余项作了分析．     

微积分中值定理的反问题

本文考虑了微分中值定理及积分中值定理的反问题,证明了下述结果:定理1 设函数f(x)及g(x)在闭区间[a,b]上连续,在开区间(a,b)上可导.且对任意ξ∈(a,b).g′(ξ)>0,F(x)=F(x)-F(ξ)/g(x)-g(ξ)为x的严格增函数(除ξ点外)。那么存在x_1,x_2∈(a,b),x_1<ξ相似文献   

贝努利不等式的高阶推广和数值验证

利用Taylor公式及Lagrange余项定理,研究了Bernoulli不等式高阶近似的情形,得到了任意阶Bernoulli型不等式.通过MATLAB计算验证了这些不等式成立.     

积分中值定理反问题的讨论

在一般教科书中积分中值定理都叙述为:设f(x)在[a,b]上连续,g(x)在[a,b]上可积且不变号,则存在ξ∈[a,b),使得 (integral from n=a to b)f(x)g(x)dx=f(ξ)(integral from n=a to b)g(x)dx。杨新民在[1]中提出了相反的问题:若f(x)在[a,b]上连续,g(x)在[a,b]上可积且不变号,对[a,b)内每一点ξ能否找到c,d∈(a,b),满足c<ξ相似文献   

梯形公式余项中值的渐近性

在主要条件f(x)∈C（I）之下,研究了梯形公式余项中值的渐近性     

关于三个中值定理的证明

在一般的教材中,三个中值定理的证明顺序依次为 Rolle 定理、Lagrange 定理和 Cauchy 定理。本文按与上述完全相反的顺序给出证明,使整个证明显得比较简捷。定理一若 f(x),g(x)满足1°在[a,b]上连续;2°在(a,b)内可导,则存在一点ξ(ξ∈(a,b)),使     

巧解试题 了解题型——几种常见数学题型的解法

数学题是无穷尽的,题型是有限的,要熟练掌握并非难事,也并非题海所能奏效,以下讲几种题型的解法。Ⅰ.微分中值定理中欲证结论:至少存在一个ξ∈(a,b)使得f~(n)(ξ)=k(≠0),或有关a,b,f(a),f(b),ξ,f~(n)(ξ)所构成的代数式的证法。证题思路:作辅助函数F(x),验证F(x)满足罗尔定理条件,由定理得出命题的证明。常用的辅明函数F(x)的作法有两种:原函数法及常数k值法。(1)原函数法(或微分方程法)求作辅助函数F(x)的程序:①将欲证结论中的ξ换成x;②通过恒等变形将式子化为易消去导数符号的形式;     

随机变量的函数的数学期望

由“曲线分布密度”的公式φq(y)=∑kφξ(xk)|g‘k(y)|和“曲面分布密度”的公式φξ(z)=∫czφ(g(y,z),y)|g‘z(y,z)|dy，对有函数关系的随机变量η=f（ξ）及ξ=f(ξ，η)的数学期望公式E（η）=∫φ(x)f(x)dx和E（ξ）=∫∫f(x,y)φ(x,y)dxdy给出证明，并给出了若干应用。     

谈数学分析与复分析中的Taylor展式

在数学分析中,把一个函数f(x)在某一点的邻域内展成Taylor级数的方法是:设p(x)=a_0+a_1x+a_2x~2+…+a_nx~n,令p(x)无限代表或近似等于f(x),经过理论分析得出p(x)的系数a_0=f(0),a_1=f'(0),a_2=f"(0)/2!,…,a_n=f~((n))(0)/n!,加上余项就得到了f(x)在x_0=0处的n次Taylor展式。在复分析中,对解析函数f(x)而言,设f(x)在点x="d'的邻域内解析,根据已证明了的结论,通过推导就得到了f(x)在x="d'处的有限泰勒展开式。通过比较可以看出复分析中的泰勒展开比数学分析中的推导完备。     

定积分中值定理的一个推广

函数f(x)(?)(x)和g(x)(?)(x)分别在[a,b]上连续,在(a,b)内(?)(x)≠0则必存在一点ξ∈(a,b)使得g(ξ)integral from n=1 to ab f(x)(?)(x)dx=f(ξ)integral from n=1 to b(a)g(x)(?)(x)dx成立.这个结论对于多个函数对f_i(x)(?)(x),i=1,2,…,2n也成立.     

积分中值定理的推广

积分中值定理在一般的《数学分析》教材中是这样叙述的：当f(x)在[a,b]上连续时，有baf(x)dx=f(ξ）（b-1)，其中ξ∈[a,b}本将对该结论做一点推广，即当f(x)在[a,b]上连续时，有baf(x)dx=f(ξ）（b-a)，其中g∈（a,b)。     

关于多元函数的高阶微分和Taylor公式的探讨

给出了多元函数高阶可微的一个明确的定义,改进了带Lagrange余项和带Peano余项的Taylor公式.