习题教学中培养学生良好的思维品质

学数学离不开解题，本文就习题教学中如何培养学生思维品质谈几点认识 .　　一、通过一题多解培养思维的广阔性 　　思维的广阔性，是指对一个问题能从多方面、多角度地思考、分析 .教学中，教师可引导学生通过一题多解拓宽学生的思维 .　　例 1.解方程 (x－ 1）（ x－ 3）（ x－ 5）（ x－ 7） =105. 　　解：把方程左端化成 (x2－ 8x＋ 7）（ x2－ 8x＋ 15） =105，引导学生用换元法解 . 方法 (一 )：设 x2－ 8x＋ 7=y.(解略 ,下同 )　　方法 (二 )：设 x2－ 8x＋ 15=y． 方法 (三 )：设 x2－ 8x=y.　　方法 (四 )：设 x2－ 8x＋ =y． 　…     

培养学生发现问题的能力

教学贵在发现，发现是一种能力，没有发现就没有创造 .任何教学艺术和灵感顿悟，都离不开执教者引导学生独到的发现问题 .在数学教学中应从以下几方面来培养学生发现问题的能力 .　　一、以疑激疑，诱导学生发现问题 　　设疑、解疑是学生获取知识，增长能力和发现问题的重要途径之一 .例如用“配方法”分解因式教学，教师可不必将方法直接告诉学生，而是设置如下矛盾： 　　请同学们做一下 x6－ y6的因式分解，看有几种方法： 　　学生甲： x6－ y6=（ x2） 3－（ y2） 3=（ x2－ y2）（ x4＋ x2y2＋ y4） =（ x＋ y)（ x－ y）（ x4＋ x2y…     

一道德国奥林匹克赛题的再探究

文献[1]中着重研讨了式（1）解法的思维形成过程，与学生的思维有较大差距．下面是笔者的思路和想法，请广大师生批评指正．1解法探究笔者利用二次函数的恒等问题尝试求解这道赛题：解式（1）→（1＋x2）（1＋y2）＋2xy－（xy）2≤c（1＋x2）（1＋y2）→2xy－（xy）2≤（c－1）（1＋x2）（1＋Y2）．因为式（2）的左边可以取正值，所以c〉1．     

一元二次方程及其解法

一、一元一次方程的定义只含有一个未知数，且未知数的最高次数是2的整式方程叫做一元二次方程，其一般形式是一’＋bC半C—0（。学0）．注意。学0是一元二次方程的一个重要隐含条件，解有关一元二次方程的问题时，必须挖掘和应用这个隐含条件．否则将会导致谬误．例1当m时，关于x的方程（m‘－3m＋2）x’＋（m－2）x＋7—0是一元二次方程．解由一元二次方程的定义知，当m‘－3mWe2－0时，即mwtl且m－2时，（m‘一3m＋2）x’＋（m－2）x＋7—0是一元H次方程．二、一无二次方程的解法解一元二次方程的基本方法有：（1）直接开平方法；（2）…     

2006《数学教学通讯·高考数学》（3）解答与提示

函数与方程的思想方法 1.此问题由于常见的思维定势。易把它看成关于x的不等式进行分类讨论。然而，若变换一个角度以m为主元。记f（m）－（x^2－1）m－（2x－1）。则问题转化为求一次函数（或常数函数）f（m）的值在区间[-2，2]内恒负时参数x应该满足的条件。要使f（m）＜0，只要使{f（-2）＜0， f（2）＜0，即{-2（x^2－1）－（2x－1）＜0， 2（x^2－1）－（2x－1）＜0，从而解得x∈（（√7-1）/2，（√3＋1）/2）。     

一元一次不等式(组)考点例说(下)

考点五：一元一次不等式（组）综合题此考点是将一元一次不等式（组）与其他代数知识融为一体，考查学生综合解题的能力．例７求使方程组x＋y＝m＋２，４x＋５y＝６m＋ 的解x，y都是正数的m的取值范围．解：解方程组x＋y＝m＋２，４x＋５y＝６m＋３ 得x＝－m＋７，y＝２m－５ 由于它的解为正数．∴－m＋７＞０，２m－５＞０ 解得m＜７，m＞５２ 即５２＜m＜７．∴当５２＜m＜７时，原方程组的解都是正数．考点六：用一元一次不等式（组）解实际应用问题例８“五一”期间，某校由４位教师和若干名学生组成的旅游团，拟到国家４…     

如何快速分解因式

因式分解是初中代数的重要内容，初中的同学要着重掌握提取公因式法、公式法、十字相乘法和分组分解法．因此，问题就在于如何迅速揭示特征，选用合适的方法．其中的诀窍可以归纳成四句口诀：一、优先提取公因式目的是使所得的因式显示特征，便于继续分解．例1因式分解：x3y2－6x2y＋9x．（济南94）分析提取公因式x后，原式＝x（x2y2－6xy＋9），它符合完全平方公式的特征.∴原式＝x（xy－3）2例2因式分解：xn+1－3xn＋2xn－1（河北94模拟试题）分析提取xn－1，原式＝xn－1（x2－3X＋2），可以用十字相乘法，∴原式＝x（x－1）（x－2）．二…     

二次函数问题错解剖析

二次函数是初中数学的重要内容之一，现将学习二次函数常见的解题错误归类剖析如下，供同学们复习时参考．一、忽视参数的取值范围例１x１、x２是关于x的方程１４x２－（m＋１）x＋m２＋m＝０的两个实数根，设S＝x１２＋x２２．当m为何值时，S有最小值？最小值是多少？错解：由题意得x１＋x２＝４（m＋１），x１x２＝４（m２＋m）．∴S＝x１２＋x２２＝（x１＋x２）２－２x１x２＝犤４（m＋１）犦２－８（m２＋m）＝８m２＋２４m＋１６＝８（m＋３２）２－２．∴当m＝－３２时，S有最小值－２．剖析：从上述解题过程中，很难发现有错误，…     

正难则反解题举例

正准则反是数学解题策略的一个原则。在探讨某一问题的解决办法时，当我们按照习惯思维方式从正面思考而遇到困难，甚至不可能解决时，则应从相反的方向去探求，往往会使问题迎刃而解，请看以下数例。例1如果二次函数y＝mx2＋（m－3）x＋1的图象与X轴的交点至少有一个在原点的右侧，试求m的取值范围。分析：此题若从正面求解，则需分别考虑“两交点均在原点右侧”、“一交点在原点右侧，另一交点在原点左侧”，则求解过程冗长。若从条件的反面考虑，即“两交点均在原点的左侧”，则可简捷解答。解：当函数y＝mx2＋（m－3）x＋1的国家与x轴…     

提高学生数学解题能力的三种方法

指导学生解题，引导学生在解题过程中掌握正确的思路和方法，以探求合理的解题途径，提高学生解题的能力，这是每个中学数学教师的一项重要任务。笔者从多年数学教学的实践中，总结出三种方法，现简述如下。－。红心审民紧扣条件，充分联想细心南题，弄清题中给出的条件和结论，充分挖掘和运用题设条件，尽可能联想与这些条件和结论有关的概念、公式、定理、法则及方法，从而获得较为宽广的解题思路。如在讲解二次围数时，可举下例训练：已知二次函数y——2／＋（m＋3）x－m十五。（l）证明：无论m取何值，抛物线都与x轴相交于两点儿见（2）…     

一元二次方程两根的非对称式求值问题

若x１、x２是一元二次方程ax２＋bx＋c＝０（a≠０）的两根，则形如x１＋x２，x１x２，x２１＋x２２，１x１＋１x２，x２x１＋x１x２，（x１－m）（x２－m），｜x１－x２｜等代数式，均可称为关于x１、x２的对称代数式．它们的特点是：如果将式中的x１与x２互换，其代数式的值不变．很显然，上述关于x１、x２的各对称代数式的值，都可以通过恒等变换由基本的对称式即x１＋x２，x１x２的值求出．如：x２１＋x２２＝（x１＋x２）２－２x１x２，（x１－m）（x２－m）＝x１x２－m（x１＋x２）＋m２．在学习了一元二次方程根与系数的关系之后，现…     

设计释疑探究课的教学过程

现代教学论告诉我们：世界不存在万能的教学方式，只有依据特定的条件来设计教学过程才能达到期望效果．对于迷惑学生的疑误问题，怎样设计最优化的教学过程呢？笔者结合自己的数学教学实践，设计了释疑探究课的教学过程来解决学生的疑误问题，其流程图式是具体实施细节可参照下例．例已知关于x的四次方程x4-mx3十（m十5)x2-mx＋1=0（1)没有实数根，求实数m的取值范围．第一步──剖析多数高中生与某些书刊的流行解法是：先将方程（1）等价变形为令u＝x＋1/x，则方程（1）等价于根据方程（1）没有实数根可知、方程（2）没有实数根，即方程（…     

求函数y=f(x)的解析式的方法

函数的解析式的求解是高中数学的一个基本问题,题型多样,方法灵活,在具体求解时同学们常感到束手无策,本人根据多年教学的积累归纳几种常用的求解方法,仅供参考。1,定义法：例：已知f（）一／－X＋3求f（X＋l）、f（！／x）分析：将已知函数式中的X分别换为X＋l、l／x即可解：f（X十五）。卜十l）二一肝十l）＋3一／＋X＋3f（l／）一门人）2－（l／）＋3。（3x2－x＋l）／x！2．配方法：例：已知f（“－ex）—e’“＋e－’”＋2求f（x）表达式。分析：注意到已知表达式的右边可通过配方法,把它变为关于e”－。－”的代数式,再用x…     

《因式分解》期末复习自测题

一、判断题（正确的打“V”，错误的打“X”；每小题2分，共12分）：1．（m－n）是a（m－，；）＋b（，；－m）的各项的公因式．（）2．因式分解与整式乘法互为逆过程．（）3．在有理数范围内将多项式a‘－4分解因式，结果是（’＋2）（a‘－2）．（）4．将a’－a分解因式的结果是a（a’＋l）（a‘－l）．（）5．将X’－ZX’＊＋X’一Zxy分解团式的结果是X（X’－Zxy＋X一如）．（）6．m（y－x）’＋n（x－y）＝（x－y）（mx－mp＋n）．（）二、境空题（每空2分，共30分）：1·将一个、化为．的形式·叫做把这个多项式因式分解，或叫做…     

一元二次方程中字母系数的求法

一元二次方程中的字母系数问题与其他知识有着广泛的联系．因此,它在各类考试中经常出现‘现把这类问题的求解思路归纳如下：一、用方程的定义求解例1已知（m‘－m－2）x’＋mx＋3＝0是关于x的一元二次方程,则m的取值范围是（）（A）m;（B）m／;（C）m一l且m一2;（D）一切实数．解由一元二次方程的定义知：。’－m－2一O．解得m一l且m一入选（C）．二、用判别式求解例2当m为何值时,关于x的一元Th次方程（m＋Ox‘＋2。＋m－3＝0有两个不相等的实数根？（1四5年四川省中考题）分析此题中已说明方程有两个不相等的实数根,因此必须考…     

拆添项分解因式

师：因式分解这一章我们已经学完了，今天我们班学生自愿参加的数学兴趣小组开展一次活动。下面有六个二项式，请同学们进行因式分解。（教师板书：x２－６４、x２＋６４、x３－２７、x３＋２７、x４－６４、x４＋６４）生１：x２－６４和x４－６４可以用平方差公式分解；x３－２７和x３＋２７可以用立方和与立方差公式分解；x２＋６４和x４＋６４不能分解。师：我们先来研究x２＋６４，为什么x２＋６４不能分解因式呢？生１：……生２：教科书有一道例题：x４－y４分解因式后得到（x２＋y２）（x＋y）（x－y），所以x２＋y２不能再分解因式…     

培养学生思维能力的尝试

一、进行比较训练，诱发思维活动教师在教学中经常运用比较法来帮助学生突破难点。有些数学知识，表面很相似，学生容易混淆，如一元一次方程与一元一次不等式的解法，学生往往分不清，教师此时可引导学生把方程与不等式的解法进行比较，找出不同点，即“在不等式两边都乘以（或除以）同一个负数，不等号的方向改变”。例：解方程解不等式３－３x＝２x＋１８，３－３x＜２x＋１８，－３x－２x＝１８－３，－３x－２x＜１８－３，－５x＝１５，－５x＜１５，x＝－３。x＞－３。通过教师的对照讲解，加上学生比较这一思维活动，学生对不等式基…     

你会用乘法公式解题吗

你会用乘法公式解题吗？这里举例说明乘法公式应用的五个层次，供你学习时参考．第一层次：直接应用———根据所给题目，对照公式特征，直接套用有关公式解答．例１计算：（１）（３x２＋２y２）（３x２－２y２）；（２）（－２x＋y）（２x＋y）．分析：这两小题均符合平方差公式的结构特征，故可直接应用平方公式来解．解：（１）原式＝（３x２）２－（２y２）２＝９x４－４y４；（２）原式＝y２－（２x）２＝y２－４x２．第二层次：连续应用———对一道题连续几次应用乘法公式解答．例２计算：（１－m）（m＋１）（m２＋１）（m４＋１）…     

兄妹同解“公根”题

哥哥上初三,妹妹念初一,星期日兄妹两人一起做数学题．哥哥做的题是：已知关于x的方程X2－（2m＋1）x＋m2＋m＝0…①和mx2＋（m－1）x1＝0…②（1）求证：不论m为何值,方程①总有两个不等实根,方程②总有实根;（2）如果方程①和②有相同的负实根,试求m的值．妹妹做的题是：已知关于x的方程x－2m相同的根,求m的值．哥哥做完了题（1）,却对题（2）束手无策,正在苦思冥想之时,妹妹做好了她的题,拿过来请哥哥批改．好家伙,妹妹竟用了三种解法：解法一由①得x＝2m＋1．由②得2（2x－3m）＝3（x＋m）－6化简得x＝gm-6．①、②的根相…     

不定方程正整数解的个数及其应用

我们常常遇到（或可化为）下列问题：求方程x1＋x2＋…＋xm＋n（m，n∈N^＊，m≤n）的正整数解的个数。下面笔者给出这一问题的计算方法及其应用，供大家参考。