斐波那契三角形的存在性问题

罗增儒教授<数学解题学引论>附录问题4:称数列{an}:a1=a2=1且an 2=an 1 an中的项为斐波那契数;又称以斐波那契数为边长且面积也为整数的三角形为斐波那契三角形.问是否存在斐波那契三角形?     

斐波那契数列与黄金比

黄金比(1+、5~(1/2))/2和斐波那契数列1,1,2,3,5,8,13,21,……之间有一个著名的关系。(如果我们用F_x.表示斐波那契数列的第n项,那么可以用F_1==1,F_2=1,F_(n+2)=F_(n+1)+F_n.(n≥1)(1)来递推地定义这个数列)。这个关系就是:     

数学问答

63.问:数列1,1,2,3,5,8,13,21,……从第三项起,它的每一项都是前两项之和,求其前n项和. (重庆市钢城中学高一(2)班唐大君)答:由递推关系a1=1,a2=1,an=an-1+an-2(n≥3)所确定的数列称为斐波那契数列,通过特征方程可求出其通 .现在,你     

斐波那契电路

斐波那契（Fibonacci）是中世纪意大利数学家,他曾提出一个有趣的“兔子繁殖”问题,用数列表示,即数列{an}：a1=1,a2=1,a3=2,a4=3,a5=5,a6=8,…．这就是著名的斐波那契数列,数列中的每一项称为斐波那契数．     

广义斐波那契数列的通项公式

为了纪念“兔子问题”的创始人里昂纳多·斐波那契,人们把数列1,1,2,3,5,8,…叫做斐波那契数列.斐波那契数列的一个基本特征就是,从第三项起,每一项都是前两项的和.本文我们研究具有这一特征的数列,称之为广义斐波那契数列,主要结果就是给出广义斐波那契数列的通项公式.本文用|a_n|表示第,n 项为a_n 的数列,或用小写希腊字母表示数列.     

斐波那契矩阵与斐波那契矩阵列

称为斐波那契矩阵列。其中W_n称为斐波那契矩阵,且W_n中的元素除W_1中有一“0”外共余均为斐波那契数U_n(注:斐波那契矩阵列也因此命名)。因此斐波那契矩阵列的第n项。 前面说到斐波那契矩阵列具有很多与斐波那契数列类似的有趣的性质,请看: 性质1:斐波那契矩阵列的第一项的n次方等于该阵列的第n项,即:     

斐波那契

有个人想知道,一年之内一对兔子能繁殖多少对?于是就筑了一道围墙把一对兔子关在里面.已知一对兔子每个月可以生一对小兔子,而一对兔子出生后在第二个月就开始生小兔子.假如一年内没有发生死亡现象,那么,一对兔子一年内能繁殖成多少对?”在第一月,兔子的对数为1+1=2,第二月是2+1=3,接着是3+2=5,5+3=8,8+5=13,13+8=21,……人们把1,1,2,3,5,8…这组数列被称为斐波那契数列,因该数列为一个意大利数学家斐波那契发现而得名.欧洲中世纪对科学的摧残极深,以至很长一段时间科学几乎停滞不前.所幸斐波那契出生在中世纪晚期,黑暗即将过去,光明即将来…     

斐波那契数列中的“平方和(差)”公式

19世纪法国数学家吕卡将级数{F n}:1,1,2,3,5,8,13,21,34,55,89,144…{F n+1=Fn+Fn?1}命名为斐波那契级数,它是一种特殊的线性递归数列,在数学的许多分支中有广泛应用.1680年意大利——法国学者卡西尼发现该级数的重要关系式Fn+1Fn?1?Fn2=(?1)n?1730年法国数学家棣莫弗给出其通项表达式:1[(15)(15)]522n nFn=+??.19世纪初另一位法国数学家比内证明了这一表达式.文[1]给出了关于斐波那契数的一个公式即Fn Fn+d?Fn+1Fn+d?1=(?1)n+1Fd?1,(1)其中n是任意正整数,d≥2.文[2]给出了关于斐波那契数的另二个公式即Fn?1Fn+Fn Fn+1=F2n,(2)Fn+1…     

奇妙的斐波那契数列

斐波那契数列在各领域都有广泛的应用.本文简单介绍了斐波那契数列的由来,斐波那契数列的简单应用及自然界中的斐波那契数.     

从1981年高考附加题谈起

1981年高校招生数学成绩不是以满分100计入总分,而是把附加题20分也计算在内,以满分120分计入总分。这个小小的变动,反映出对数学学科的重视,也反映出对数学教学的要求。今年的附加题是一道几何与代数相结合的题目,但几何内容只是用来给出a与b的数量关系,从本质上说,它是一道代数题,更确切地说,它是一道关于斐波那契数列的题目,它所要求证明的等式 u_(n+2)=u_(n+1)+u_n ①就是斐波那契数列的循环方程。斐波那契数列是一类更广泛的数列——循环数列的特例。斐波那契数列源于斐波那契兔子问题:     

斐波那契数的封闭特点的推广

著名的斐波那契数列:1,1,2,3,5,8,13,21,34,55,89,144,…是由F1=1,F2=1,Fn 2=Fn Fn 1得到的.     

简约为美

如果你仔细地观察一下雏菊，你会发现雏菊的小花呈螺旋形，并按顺时针和逆时针两个方向蔓生。无论你按两个方向中随便哪个方向计算螺旋数，你都会发现这些数构成一个“斐波那契数列”：1，2，3，5，8，13，21，34，55……它的特点是从第三项开始每一项都是数列中前两项之和。该数列由欧洲数论学家斐波那契最先提出，故名“斐波那契数列”。这种现象，不禁令人生疑：难道植物也懂得数学吗？这样排列又有何价值呢？     

赏析几道以斐波那契数列为背景的高考题和竞赛题

13世纪初意大利数学家斐波那契在《算盘书》中提出了一个有趣的数列,人们称之为斐波那契数列.斐波那契数列源于兔子的繁殖问题:兔子出生后2个月就能每月生小兔,若每月不多不少恰好生一对(一雌一雄),假如养了初生的小兔子一对,试问一年后共有多少对兔子?依此类推,该问题产生的数列为:1,1,2,3,5,8,13,21……这个数列有个十分明显的特点:前面     

卢卡斯数列与斐波那契数列的一个关系

定义1:满足条件: F_0=0,f_1=1,(n≥1)的数列{F_n}称为斐波那契数列。定义2:满足条件: L_0=2,L_1=1,(n≥1)的数列{Ln}称为卢卡斯数列。 定理:设{Fn}为斐波那契数列,{Ln}为卢卡斯数列,则对任意的自然数m、n,有: 特别当n=1时,有: 证明:对m,n∈N,对m进行归纳 (i) 当m=1时,有     

必修5中的两个有趣的数列

<正>在必修5的数列部分中,课后的"阅读与思考"涉及到两个数列:斐波那契数列与九连环数列,其中斐波那契数列的通项公式的求解没有给出,而有关九连环的数列的通项公式的求解过程很多学生反映不好理解,介于此,本文重点就如何求两个有趣数列的通项公式,以飨读者.     

利用递推方程求数列的通项公式

在有关数列的问题中,我们有时会遇到已知数列的首项a_1(或a_1、a_2)及数列中连续两项或三项的递推方程(有的书中称为循环方程或差分方程)如a_n+1=Ma_n+N;a_(n+2)=Ma_(n+1)+Na_n,要求写出它的通项公式。我们通常采用的方法是由已知写出数列的前几项,接着通过观察、归纳,猜想出一个通项公式,最后用数学归纳法予以证明。然而有些数列的通项公式,不是那么容易归纳出来的,如有名的斐波那契数列(即后面的例4)便是如此。怎么办呢?本文通过数例试图说明解决此类问题的方法。     

阅读材料“斐波那契数列”的教学实践——问题驱动教学的典型案例研究

“斐波那契数列”是苏教版《数学(选择性必修一)》第四章第四节的阅读材料,作为知识性拓展栏目,意在拓展学生视野,培养学生数学探究能力.本节课采用任务驱动实施教学,通过设计具体的问题情境,引导学生逐步探究斐波那契数列通项公式,讨论其单调性、前n项和等性质;引领学生深度学习,将发展学生核心素养落到实处.     

关于斐波那契数列及递归数列的若干性质

本文给出并证明了斐波那契数列及递归数列的十一个性质,从一定程度上揭示了上述数列项与项之间关系,特别是揭示了斐波那数列的项与一般递归数列的项之间的关系。     

由一个不等式想到的

最近一位中学教师,问了如下的问题:若a>1,则h(n)=(1+a~2+…+a~(2n))/(a+a~3+…+a~(2n-1))>(n+1)/n。在这个问题中,若令f(k)=1+a~2+…+a~2k,则h(n)=f(n)/af(n-1),当我们把f(n)表为1+a~2的多次式时,其系数恰好是杨辉三角底角分角线上的数,更有趣的是,这样得到的数列,就是斐波那契数列。现在先用归纳法来证明上面的问题: 当n=1时,因a>1,故(a-1)~2>0,从而(1+a~2)/a>2,不等式成立。     

数学竞赛中的斐波那契数列问题

数学竞赛从某种意义上可以看成是数学研究的缩影与雏形.数学中的重要理论以及数学研究中的某些热点必然要渗透于其中.斐波那契数列就是一个典型例子.本文将介绍一些以斐波那契数列问题为背景的国外数学竞赛题.