一赛题的多种解法

1985年上海市初中数学竞赛题: n为自然数,且9n~2 5n 26的值是两个相邻自然数之积,求n。一根据两相邻自然数相差1的特征构造等式及转化方程。解法一设这两个相邻自然数分别为x(x 1)则(x 1)-x=1,两边平方并整理,得 x(x 1)=1/2[(x~2 1)~2 x~2-1)] =9n~2 5n 26 =1/2[(3n 1)~2 (3n)~2 4n 51] =1/2[(3n 2)~2 (3n 1)~2-8n 47] =1/2[(3n 1)~2 (3n 2)~2-20n 39] 由此得关于n的一次方程:4n 51=-1;     

关于一个特殊条件等式的普遍形式的探讨

用数学归纳法可以证明,对一切自然数n,都存在自然数m,使(2~(1/2)-1)~n=(m+1)~(1/2)-m~(1/2)成立,(证明略)。从这个特殊的条件等式出发,我们是否能得到一个普遍的形式或较为普遍的形式呢? 首先,最容易想到的便是,把2~(1/2)换为3~(1/2),4~(1/2)…以至n~(1/2),然而,这并不正确。例如当n=2时,(3~(1/2)-1)~2=4-2(3~(1/2))=(16)~(1/2)-(12)~(1/2),等式不成立。那么,是否可以把2~(1/2)拆为(1+1)~(1/2),把1换为1~(1/2)呢?原式可写成((1+1)~(1/2)-1~(1/2))~n=(m+1)~(1/2)-m~(1/2),而当我们把等式中黑体数字1换为自然数a时,举几个例子试试,结果都是正确的。其实,用数学归纳法可以证明,这的确是对的(证明略)。由此,我们便得到一个较为普遍的形式,即:“对于一切自然数n,都存在自然数a和m,使((a+1)~(1/2)-a~(1/2))~n=(m+1)~(1/2)-m~(1/2)成立。”     

条件等式((a+b)~(1/2)-a~(1/2))~a=(m+b~n)~(1/2)-m~(1/2)的简证

《中学数学教学》1985年第3期刊登了梁丽玲同学写的《关于一个特殊条件等式的普遍形式的探讨》的小论文。该文把条件等式: 对一切自然数n,都存在自然数m,使得(2~(1/2)-1)~n=(m+1)~(1/2)-m~(1/2)成立①推广成: 对一切自然数n,都存在自然数a、b、m,使得 ((a+b)~(1/2)-a~(1/2))~n=(m+b~n)~(1/2)+m~(1/2)成立②并利用数学归纳法给出了证明。下面给出条件等式②的另一种证明。     

简证一题

题目:设[x]为不超过x的最大整数,当n为自然数时,求证:[n~(1/2)+(n+1)~(1/2)]=[(4n+2)~(1/2)]. (美国普特南数学竞赛,1948年) 证明 1.构造不等式(4n+1)~(1/2)相似文献   

巧用“1”求值

1.巧乘“1”求值 例1 (2 1)(2~2 1)(2~4 1)…(2~k 1)(k为自然数)的值是( ). (A)4~2-1 (B)2~(2~(2k))-1 (C)2~(2~k)-1 (D)2~k-1 分析:此题若直接计算是很繁难的.如果能想到第一个括号前有一个“1”,而1=2-1,利用平方差公式,问题立即可解。     

从一道易错的习题看双基的重要性

熟练地掌握基础知识和基本技能,是学好数学的必要条件。从上面例子中可看出“双基”的重要性。例用数学归纳法证明,对任意的自然数 n,(3+5~(1/2))~(n)+(3-5~(1/2))~(n)能被2整除。证法一:当 n=1时,(3+5~(1/2))~(n)+(3-5~(1/2))~(n)=6,能被2整除。设 n=k 时,(3+5~(1/2))~(k)+(3-5~(1/2))~(k)能被2整除;当 n=k+1 时,(3+5~(1/2))~(k+1)+(3-5~(1/2))~(k+1)=(3+5~(1/2))~(k+1)+(3+5~(1/2))(3-5~(1/2))~k+(3-5~(1/2))~(k+1)-(3+5~(1/2))(3-5~(1/2))~k=(3+5~(1/2))[(3+5~(1/2))~(k)+(3-5~(1/2))~k]+(3-5~(1/2))~k(3-5~(1/2)-3-5~(1/2))∵(3+5~(1/2))~(k)+(3-5~(1/2))~(k)能被2整除,且     

一道竞赛题的探究

本刊1987年第五期《高中数学基础知识竞赛题》第一试第6题是: 比较(1-1/1987)(1-2/1987)…(1-87/1987)和1897/1987的大小。本文给出结论的改进,推广和引伸:(1-1/1987)(1-2/1987)…(1-87/1987)<1/4。 (1) (1)式可推广为命题1 设m,n为自然数,m≤n, 则(1-1/n)(1-2/n)…(1-m/n)<1/2~(2m(m+1)/3n) (2) 为证明(1)与(2),先证明下面两个命题: 命题2 设0≤x≤1,则 1-x≤1 e~x。 (3) 证明:设f(x)=1-x-1/e~x,0≤x≤1·     

批阅本届上海市高考数学试题第八题所想到的

今年上海市高等学校统一招生考试理科类数学试题第八题是: “对于一切大于1的自然数n,证明:(1+1/3)(1+1/5)…(1+1/(2n-1))>(2n+1~(1/2))/2。     

1981年第四期数学问题

1.已知sinα=xsin(β-γ),sinβ=ysin(γ-α),sinγ=zsin(α-β),求证 xy+yz+zx+1=0 (合肥六中柴雍提) 2.在圆内接四边形ABCD中,对角线AC⊥BD,试证:圆心O到一边的距离等于对边之长的一半。 (浙江师范学院舟山分校俞朝晖提) 3.求以(0,0)、(x,0)、(x,y)为顶点的所有三角形面积之和,其中y=7X~2+3X+1,x∈{x:x=(1/2)~(n-1),n为自然数}。 4.若x∈{x:x=3y,y≤0},试求(-1+|2~(-x+1)-2~(-2x)-2|)~(1/2)的最大值。 (3、4两题,太平县太平中学数学教研组提)     

关于■的无穷多个■次方的学习证明

在求2~(1/2)的无穷多个2~(1/2)次方时,发现用简单初等数学方法无法推广到所有自然数,这说明初等数学方法求解存有漏洞,本文采用导数方法对这一类问题给出严密的解法。结论是对任何自然数M>1,■的无穷多个■次方是存在的,但它不等于M,而等于■这个方程中有且仅有二实根中的左根,而~(1/2)的无穷多个~(1/2)次方作为本文的一个特例,确实等于2。