一类条件不等式的P-Q—R证法——一道预赛试题的几篇文章引发的思考

题目（2010年全国高中数学联赛广东省预赛解答题第3题）设非负实数a、b、c满足a＋b＋c=1，求证：9abc≤ab＋bc＋ca≤1/4（1＋9abc）．     

数学奥林匹克初中训练题(81)

1.已知实数abc≠0,且三个一元二次方程ax2＋bx＋c=0,bx2＋cx＋a=0,cx2＋ax＋b=0有公共根.则a2/bc＋b2/ca＋c2/ab=（ ）. 　　（A）3 （B）2 （C）1 （D）0     

挖掘习题的潜功能

已知a,b,c是△ABC的三条边,比较大小（a＋b＋c）2____4（ab＋bc＋ca）.这道题的解答可以用特殊值法.取a=b=c=1,得（a＋b＋c）2=9,4（ab＋bc＋ca）=12,所以（a＋b＋c）2〈4（ab＋bc＋ca）.将这道题稍微变形,就是设a,b,c为△ABC的三边,求证：     

换个方向想问题

数学教学中，运用正向思维解决不了的问题为数不少，学生碰了钉子后往往感叹“山重水复疑无路”，当他把正向思维转变为逆向思维后，就会豁然地出现“柳暗花明又一村”的美景，这就是换个方向想问题的妙处。例1 已知实数a，b，c满足a＋b＋c=0，abc=8，那么＋＋的值（）。（A）是正数；（B）是零；（C）是负数；（D）正负不能确定。答案是（C）。下面证明＋＋< 0。因为＋＋== ，所以，要想证明＋＋< 0，只需证明ab＋ca＋ab< 0。因为abc=8，所以，a,b，c全不为0，从而a2＋b2＋c2 >0。又（a＋b＋c）2=a2＋b2＋c2＋2（ab＋bc＋ca)=0，所以ab＋…     

2014年全国高中数学联赛加试题另解

第一题 设实数a、b、c满足a+b+c=1,abc＞0.证明: ab+ bc+ ca＜a/2abc+1/4. 证法1 因为abc＞0,所以,a、b、c三个数要么为一个正数和两个负数,要么均为正数. 对于前一种情形,不妨设a＞0,b＜0,c＜0. 则 ab+ bc+ ca=ab+c(a+b)=ab+c(1-c) ＜0＜abc/2+1/4. 对于后一种情形,由舒尔不等式有 a(a-b)(a-c)+b(b-a)(b-c)+c(c-a)(c-b) ≥0 (→)j(a +b +c)3-4(a +b +c)(ab +bc +ca) +9abc ≥0.① 记p =ab +bc +ca,q=abc. 由式①及a+b+c=1,得1-4p +9q≥0. 从而,p≤9q/4+1/4. 因为q=abc≤(a+b/3+c)3=1/27,所以, √q≤√1/3＜2/9. 于是,9q＜2√q. 故p≤9q/4+1/4＜2√q/4+1/4=√q/2+1/4 (→) ab+bc+ca＜√abc+1/4.     

由一个恒等式问题引发的思考

在文献[1]和文献[2]中，有这样一个经典的代数条件恒等式： 问题1已知abc=1，求证：a/ab＋a＋1＋b/bc＋b＋1＋c/ca＋c＋1=1.     

多元对称式逆向最值求法

多元对称式（本文以三元为例）中有几个最简式,如和a＋b＋c,积abc,积和ab＋bc＋ca,平方和a2＋b2＋c2,倒数和1/a＋1/b＋1/c,等等,均称为基本对称式．     

多动脑 证法巧

问题1 关于x的方程(a2 b2 c2)x2-2(ab bc ca)x a2 b2 c2=0有两个实数根,其中abc≠0.求证:a∶b=b∶c=c∶a. 证法1:∵方程有两个实数根, ∴△=[-2(ab bc ca)]2-4(a2 b2 c2)2≥0. 展开得a4 b4 c4-2a2bc-2ab2c-2abc2 a2b2 b2c2 c2a2≤0.     

求ab＋bc＋ca值中考题赏析

例1（2006年天津）已知实数a、b、c满足a^2＋b^2=1,b^2＋c^2=2,c^2＋a^2=2,则口ab＋bc＋ca的最小值为（ ）     

一类三元分式不等式及其证明

本文旨在介绍几个新颖有趣的三元分式不等式,并给出它们的巧妙证明.例1已知a,b,c为满足abc=1的正数,求证:1/(2 a) 1/(2 b) 1/(2 c)≤1.证明:因bc ca ab≥3(abc)~(1/3)=3,故1-(1/(2 a) 1/(2 b) 1/(2 c)) =1-(bc ca ab 4(a b c) 12)/((2 a)(2 b)(2 c))     

浅谈构造法解题

1 构造函数来研究方程、不等式 例1 设a,b,c为△ABC的三条边,求证：a^2＋b^2＋c^2〈2（ab＋bc＋ca）． 解析：构造函数f（x）=x^2-2（b＋c）x＋（b—c）^2．     

一道IMO预选题的简证

题目设a、b、c〉0，且ab＋bc＋ca=1．证明：不等式^3√1/a＋6b＋^3√1/b＋6c＋^3√1/c＋6a≤1/abc.[第一段]     

理解和把握数学的一种重要思想——基本量思想

1问题的提出 从一道高考题谈起：大家可能还记得2004年全国高考新课程卷第（12）题：已知a^2＋b^2=1,b^2＋c^2=2,c^2＋a^2=2,则ab＋bc＋ca的最小值为（ ）     

解题教学中应突出基本量思想的指导作用

1问题的提出 从一道高考题谈起：大家可能还记得2004年全国高考新课程卷第（12）题：已知a^2＋b^2=1,b^2＋c^2=2,c^2＋a^2=2,则ab＋bc＋ca的最小值为（ ）．     

条件为ab＋bc＋ca=1的一类不等式的证明

当遇到含有条件如ab＋bc＋ca=1的不等式时，如果不等式的项中含有类似于a^2＋1的项，则可以尝试用ab＋bc＋ca去代替其中的1，然后分解因式，有利于进一步分析问题、解决问题．     

一类方程组的特殊解法

对于a＋b＋c,ab＋bc＋ca,a^2＋b^2＋c^2-3abc等,交换式中任何两个字母时,其值都不改变．像这样的代数式叫做这些字母的对称式．两个字母的对称式,常用它们的和与积解题．比如：     

一个关于三角形边长的不等式链

<正>近日,笔者发现了一个关于三角形边长的不等式链,现介绍如下.命题在△ABC中,a,b,c分别为其三边长,R,r分别为其外接圆和内切圆半径,则有a3+b3+c3≥(a+b+c)(ab+bc+ca)-6abc≥(4-2r/R)abc≥3abc.证明先证明a3+b3+c3≥(a+b+c)(ab+bc+ca)-6abc.     

用三角代换证明条件为ab+bc+ca=1的一类不等式简

文[1]对含有条件ab＋bc＋ca=1的不等式,通过用ab＋bc＋ca代替不等式中的1,用代数的方法进行了证明．联想到在△ABC中,     

谁的解法正确?

有这样一道题： 已知a^2＋b^2＋c^2=6,求ab＋bc＋ca的最小值。     

一个代数恒等式的不等联想

一、一个经典恒等式 命题1：若abc=1,则：1/ab＋a＋1＋1/bc＋b＋a＋1/ca＋c＋1=1.（1） 命题1是我们所熟知的一个著名恒等式,人们对其探究的热情一直持续不减,关于它的解法探讨和推广拓展的文章散见于各种书籍杂志．一种有趣的思考是：经过一些技术处理,将其向不等式方向发展,会有什么迷人的发现呢？