例谈解二元二次方程组的思想方法

解二元二次方程组除运用转化的思想方法外,还有:一 一、降次、消元的思想方法 例1解方程组①②x”一少二3x十3y尹一xy+少一27:由①有:(x+户(二一户一3(x+y)~。,仁l卜解:.(二+必(x一y一3)=o(降次)故原方程组可化为以下两个方程组:}‘+夕一o,_lx‘一习十y乙一27{’厂’一3一夕,Lx‘一秒十少一27用消元法可求得方程组的解为:一一3,二3; q口XyIJI.了l~3,y、一一3;J一3一6,y3一3;一一3,~一6.八为了.沪护、几!、了.1.‘es.二、整体思考的思想方法例2已知方程组{二+夕十少卜的两组解为lJ{互}一“曰一乞;了2一a,夕:一b:.则alb。十uZ乃的值为 分…     

利用等比定理解代数题

一、用于方程组求解::夕:z=3:4:5,①·例1。解方程组②代( 略解:由①::=3k人②求k再求劣、鲜、劣+ 军二y一之二5.4无,z=5无,Z.用于求值已知a:3+生+生 鱿z=b梦s=ezs(a,b二1。c为常习。:“+b;‘不万至的值.由已知条件: b夕2 e22a劣2+b军2+ezZ一1/梦一1/之一1/劣+1/夕+1/z==a劣2+b yZ+ezZ, 、乙i一劣全一劣二娜且求解竺l/ 数.’.粼a:名+b鲜2+e:“ 粼丁方『一1/劣一1/即刁矛刀了十刀了+划J=刃了=1/二不l/y不万五二粼万+腼.+粼万.三、用于证条件等式例3.若a劣2yZ b夕2一z劣 C22一x鱿,且:犷z神。,求证:a劣+b今+cz=y+z),由 a 劣2一(a+b+e)(劣+ b…     

用椭圆性质求解“希望杯”赛题(高二、高三)

对椭圆牛+共一1(。>。>。),有性质 a曰O“12一3tl(丫4t2+4.12 }x+yl镇丫护+护.这条性质在解竞赛题很有用处. 1.证明 设‘:=acos夕,夕一bs艺n夕(O毛0<2二),则 !x+y}一}acos夕+bsin川 一}丫护+夕五n(夕+叻l镇了护+夕. 2.应用 例!已知a丫1一萨十b丫1一护一1, 求证护十护一1.(第三届92年“希望杯,’). 证明由于即解得0镇‘簇亏 例3已知a,b〔R,且a+b+1=O,求(a一2)2+(b一3)2的最小值 (第十届99年“希望杯”高二) 解设(a一2)“+(b一3)“=t,则(a一2)2.(b一3)2十一下厂一~一1aZ+bZ aZ(1一bZ).bZ(1一aZ)一-了--六不厂-十-一百-一一-下- l一口曰1一…     

错在哪里

一、江苏江阴市一中李亮尧来稿题:过点B(0,一的作椭圆=1(a>b>O)的弦,求这些弦的最大值。解:设M(万,扩是椭圆上任一点,则{BMI“=护·、(,月一幻“ =尸傀一犷斗劝y一卜护由多十豁二,,知X艺二豁‘、一y·,, 二、江苏南通市十三中学黄尔慈来稿 题:若实系数方程护卜.l)x 叮二0的两根为l)、q,试求夕、叮之值。 解:夕、q为方程护十Px十q二O的两根,则P、了分别满足方程, 犷夕2 了,2 口=0 轰口‘十夕q g“O 解此方程组得:(解方程组的过程略)p二一衡.Jp二1g=一仓’tq二一2 .2nUn甘一一一一入尸q‘.矛、.,代入上式,得}BM!2二(1一a,/bZ)夕2 Zb夕 …     

错在哪里

题:劣2上海市崇明县新风中学曾川来稿过刀(o,b)作椭圆1(a>b>0>)的弦,求弦最大值。 解设P(x,劝尸_椭圆上任一点则上几{BP!2=xZ+了份一b)2厂 二x“十y’一Zb,十乙”、、叹九_由xZ/护十犷/l>’二1得) 一︸尹一尸二’二(a’/b’)(6’一岁’),代入卜式不({ !BP】’=一(e丫bZ)夕2一Zb夕+a“+b’(.) 一(CZ/bZ)<0 }B尸12有最大值 l/}O刀}+l/!OB!了 1!O月!2 1OB!=〔(乙’一aZ)/(a 2b2)2一+一}+(2/ 2O且·}0君{a 2b2)4·(一cZ/b2)(aZ+b:4.(一c’/(Zb)一鱿 C州+训含(aZ+b’)’。in’20一a 2b2门一/b }BP}的最小值为aZ/c。 解答错了!错在那…     

W·Janous不等式新证

兰二2兰千兰二三兰X月一y y.十Z斗"设x、y、z任R千,求证:宜二z十妻0. 此不等式即为W·Ianou:的猜测不等式,许多数学刊物上曾介绍了这一猜测的多种证法,这里笔者再给出一种非常简明的证法. 证明:设少一扩一a,尸一少一b,则尹一扩~一(a b). 一X 倪一上. 一Z 一一 Z一Z津一y X一,‘ bx y22一夕2x y一。·(一共一卫一 艺州片工y门一z) b· llx yy z,,上共二,, b叹z十x八y十z)aZ b·(a b)Z—X(x y)(y z)(x y)(少 二)(z十x) 1,、,.3,,气a一卜-只户口)一~十一厂O“ 乙住(二 y)(〕, z)(z x)x,夕,二任R ,.’.(x 夕)(J, 二)(二 了)>0,于是yZ护…     

香港考试局一九八五年高等程度会考普通数学试题

本试卷共八题,每题十六分,任选六题。一、设 .、、、弓...产/00占l0100了了rlee、、、 一一 及、、、111 11100 110 01J了l、, 一一 A(1)用数学归纳法证明对任意正整数n, ”(n+1)1刀0100)(2)求矩阵X其中k为大于1的常数。 (2)①设a,b,。为正数,试证 (a+吞)(b+c)(e+a)乡另abc。 ②已知(x一a)(x一夕)(x一川二大,十:尸+,x+*,其中a,夕,y,:,,,,均为常数.试以:,,,留表示a十口+y,a吞+吞y+ya和a口y。 ③若。。,夕.,y。为正数,且为尸一户十,二一1/32一。的三个根,其中,为常数,求a。+口。+y。及a。夕。y。的值. 利用①的结果,证明 (l一。。)(1一夕。)…     

数学期末测试题

一、填空题1.用科学记数法表示0.00000106一_2.若a、夕互为补角,且a>夕,则尹的余角是3.试写出一个关于x、y的二元一次方程组_,使它有一个解是X~1y-一1.4.若a<0,则不等式ax十b相似文献   

每期一题

题:设a、b、c是三个非负实数,求证:亿歹干歹十侧护不奄豆十了歹不砰》侧万(a+b+c)。 证法一(代数法) ,.’a、b、c为非负数,a’+bZ》Zab .’.2(a’+石“)》(a+b)2a’+b’>士(a+b)2 .’.亿石万下石牙>士侧丁(a千b)同理可得亿乒下毛1)士了丁(b+:) 了户百石下>去侧万(‘+a)三式相加得: 了压f不石万+训歹干砰+侧石厄下万1》士斌万(Za+Zb+Zc)二侧了(a+b+c)。 证法二(利用复数) 设z:二a+b‘::=乙+cfz。==e+ai .’.{之:卜了砰下矛}z:卜了孙不砰 }:3}二了户百石下 ,.’有不等式:}z:卜!z:卜}‘。]>}::+z:+x:} .’.侧aZ+cZ+亿b’+cZ+了eZ+a“=}:,}+…     

每期一题

题:设f(x)二侧了不万百,若口、b〔刀,且a今b,求证:}f(a)一f(b)}(!a一b}。 证法一(分析法) {f(a)一f(西)!相似文献   

关于asinx+bcosx=c的若干应用

高中代数(甲种本)第二册31页给出了!eo,(B一中)!形如cls汪x十乙cosx二‘的三角方程的解法,训eosZ(8+甲)+sin’(夕+ !c!=护乎不矛,’引入辅助角乡, a.。斌夕COSU=一万一育一甲甲丫一5111口= 犷a一卜口“-eos’(8一中)=了不今‘· b、/夕’十b“,将左边化积为了a’+乙’sin(、+口),两边同除以了a’+b’得s三n扛+8)- C丫护落.宁’原方程有解的充要条件是!下r笋币}、1.。、一二。二一”‘~一‘、,,~}、/护+bz}一’ 下面指出该方程的一些应用‘ 一、视sizix,eosx为万,夕,ax+b夕=c(}刘簇1,{引(D作为二元一次方程,用于证明有关三角条许等式. 例…     

等腰三角形外角平分线相等的充要条件

我们知道,在△ABC中,如b今。乙A的外角平分线t。二2 bc_:_A!万二万““‘丁,则(*)因此有 定理△ABC为等腰(非等边)三角形的充要条件是其唯一的最大(或最小)边相邻的两角的外角平分线相等. 证明设BC二a为最大(或最小)边, 则a今b,a寺c.由(关)有,刀一2 n CJel2’ n 2口C‘a一‘} Zab}a一bl如西=e,则,b=tc;反之,女[rz,,=/,应月}半角公式及余弦定理夕得 b(Za乡一aZ一bZ e“) (a一b)“ _c(Zae一aZ一eZ b“) 一(a一弄介日lj(b一e)(夕一b一c)(a3一a,b一aZe 3abc一b Zc一bcZ)=0.无论a>b,a>:或a相似文献   

有心圆锥曲线的两点式方程

定理:若牛斗士鱼, yl牛1则过两已知点中心在坐标原点、且·“凤一yl一VZ:}斗0.,.(I尹)有唯一M一(二:,y;)、M:(x‘,夕:)、对称轴重合于坐标轴的有心圆锥曲线方程为的一组解乒{111一yl一yZ{‘,}XZ一yl一y么万1y艺┌─┬───┐│ │1夕一2││ │1夕22 │└─┴───┘x 121从‘1J_}劣l}义:代入方程得222启‘一夕1一少2幸;21}21{yl。yoZ勺白n‘八犷1一犷劣2夕名l劣22〕一21一:=0常:孟夕:2 iJ 证分两种情况证明 (1)长轴或实钟在二轴上、:甲设株轴在牙轴上的椭圆方程为‘i,,.’万1、M,两古霖愉曲妊L罗1y2 ,「义,一y“l一 L人2‘.飞=}x;)…     

三元一次不定方程组的通解公式及其应用

我们已经知道二元一次不定方程ax+by=c(a,b,c都是整数,且(a,b)=1)的通解可由公式x=x0+bt y=y0-at(t是整数)来表示,而三元一次不定方程组a1x+b1y+c1z=d1, a2x+b2y+c2z=d2(ai、bi、ci都是整数,且(ai、bi、ci)=1,i=1,2)的通解是什么?通过探讨,得到如下定理:     

巧证一类不等式

丈我们知道:当a。成立即可,要能证己知黔<瓮<就<…<之,“所例i已知{a}<1,}blO川JllJ。不一气一1夕={〔(a。乙,一a,b。) (a。b:一a:乙。)证明:令ab则 …,(a。b。一,一a。一;…     

活用一次方程(组)的解巧妙解题

活用一次方程或一次方程组的解可巧妙解题 ,现略举几例 ,供同学们学习时参考 .例 1　已知关于 x、y 的方程组3x - 4y=- 6 ,ax + 2 by=- 4和 3bx+ 2 ay=0 ,2 x- y=1有相同的解 ,求 a和 b的值 .分析 :两个方程组的解相同 ,则这个解必定同时适合这两个方程组中的四个方程 ,从而它必定是方程组( 1) 3x- 4y=- 6 ,2 x- y=1和 ( 2 ) ax+ 2 by=- 4,3bx+ 2 ay=0 的解 .因此 ,可有如下巧解 .解 :解方程组 3x- 4y=- 6 ,2 x- y=1. 得 x=2 ,y=3.把 x=2 ,y=3.代入 ( 2 )可得 2 a+ 6 b=- 4,6 a+ 6 b=0 .解之 ,得 a=1,b=- 1.例 2　王明和李芳同求方程 ax + b…     

高中数学基础训练题（1）

集合与简易逻辑1 .设全集 U={ 1 ,2 ,3,4,5,7} ,集合 A={ 1 ,3,5,7} ,集合 B={ 3,5} ,则 (　 )(A) U=A∪ B　　　　 (B) U=(CUA)∪ B(C) U=A∪ (CUB) (D) U=(CUA)∪ (CUB)2 .已知集合 A={ y|y=log2 x,x>1 } ,B={ y|y=(12 ) x,x>1 } ,则 A∩B等于 (　 )(A) { y|0 0 >a,0 >a>b;a>0 >b;a>b>0中 ,能使 1a<1b成立的充分条件的个数是 (　 )(A) 1　　 (B) 2　　 (C) 3　　 (D) 44 .a1 ,b1 ,c1 ,a2 ,b2 ,c2 均为非零实数 ,不等式 a1 x2 +b1 x+c1 >0和 a2 x2 +b2 …     

高中解析几何能力训练

一、选择题(l)已知定点A(一l,2)、B(2,一3),P(x刁)是直②椭圆的准线方程是x一士a 1了a一2线,。上一{一1 Zx③椭圆的离心率是腐一3一2 Zy 3那么尸分有向线段BA所成的定比等于()(A,2(B,一2‘C,合(D,一合(2)PI(x;,少,)、PZ(x:,夕2)是倾斜角为8叨笋o,0笋粤)的直线上的两个点,设d一}Pl尸2},则乙(A)d-(B)d~(C)d=}xl十x:} leos夕llxl一x:} l:in夕l(D)d=}yl y:} Icos夕I!yl一y:} }sin夕l (3)直线x十yco刃一1一。(0任R)的倾斜角a的取值范围是()‘A,‘奇,音!)(C’(于,晋,U‘晋,譬‘B,〔令,寻;r〕(D,仁合,二,交) 〔4)圆xZ 少一4x 6y一。和…     

一种特殊方程组的简捷解法

对于方程组: 厂2x一万一1~。 飞2;一二一1一D,、 我们通常用消元法求解,即从第一个方程中得到,一2x一1,代入第二个方程中解得,x一1,夕一1。下面介绍另一种简捷的解法. 先观察一下这个方程组,可以容易看出,将其中一个方程中的x与夕互换就得到了另一个方程,这也就是说,这两个方程中x与y所表示出来的函数关系是互为反函数.我们知道,互为反函数的两个函数的图象是关于直线夕一x对称的,它们的交点必在直线夕一x上,而二元方程组的解就是这两个方程所对应的两条曲线交点的坐标,因此,有如下性质:方程组{“一({· 忆x=T又g)和!“一‘(‘’或}’‘一…     

美国数学竞赛题和解答

第四届(1975年) 1.(a)敲明 〔5刘弓一〔5川坏13洲一刃十〔3夕 刘,这里、,夕二0.其中「“〕表示不大于“的最大整数(例如〔丫丁]二1). (乙)利用(召)或不利用(a),敲明 (5,,2)乞(sn)1 而,:万汉不石呼一。)汉3,千石乃。’对任何正整数。,n均为整数。征(a)实际上我仍可以征明〔5刘十〔5夕〕)〔3、十y〕 厂3夕十劣〕详一〔万了 厅」 (1)祀了一二一〔刘,犷一,一[列,’那么O泛二‘<1,o《,‘(1. [5、〕 !5夕〕一[5[二] 5、,」 [5[y〕 5夕,〕 一5 tx}」一!5二‘〕 51,〕十15,‘〕, 〔3、十夕〕一于〔3夕斗一二〕 「劣〕 「夕〕 二3〔x} 〔y] 13.、‘ …