一个定理的应用

六年制重点中学高中数学课本《解析几何》中有不少习题,若应用下述结论将使解法大大简化。定理设两条曲线的方程是f_1(x,y)=0与f_2(x,y)=0,P(x_o,y_o)是它们的交点。则方程为f_1(x,y) λf_2(x,y)=0(λ是任意常数)的曲线也经过点P(x_o,y_o). 证明因为P(x_0,y_0)是f_1(x,y)=0     

二次曲线中点弦方程的求法及其应用

全日制普通高级中学教科书(必修)《数学》第二册(上) P_(88)B 组4,即题目两条曲线 f_1(x,y)=0和 f_2(x,y)=0,它们的交点是 P(x_0,y_0),求证:方程f_1(x,y) λf_2(x,y)=0①的曲线也经过点 P(λ是任意实数).题目结论的证明很容易,此略.题目中,把条件放宽为二曲线 f_1(x,y)=0和 f_2(x,y)=0可以无交点,即方程组(?)②无实数解.     

一组课本习题的新解法

高中数学新教材(试验本)第二册(上)的第108页有一道习题: 两条曲线的方程是f(x,y)=0和f_2(x,y)=0,它们的交点是P(x_0,y_0),求证方程,f_1(x,y) λf_2(x,y)=0的曲线也过点P(λ是任意实数)。我们把上题所叙述的事实称为“过两已知曲线     

曲线的和与积

一、二曲线的和系定义1:在实数域内,设有二曲线 f_1(x、y)=0,f_2(x、y)=0,称曲线系mf_1(x、y)+nf_2(x、y)=0为曲线f_1、f_2的和系.m、n是不为0的实参数.令λ=n/m,则曲线f_1、f_2的和系可以写成: f_1(x、y)+λf_2(x、y)=0,当f_1=f_2时,规定λ≠—1。性质1:当二曲线f_1(x、y)=0与f_2(x、y)=0有公共点时,二曲线的和系f_1(x、y)+λf_2(x、y)=0为过f_1、f_2公共点的曲线系。性质2:除曲线f_1(x、y)=0与f_2(x、y)=0的公共点以外,二曲线的和系f_1(x、y)+λf_2(x、y)=0与曲线f_1或f_2没有其他的公共     

确定双曲线方程一法

各已知渐近线方程 f_1(x)=0,f_2(x)=0而不知双曲线方程类型情况下,求双曲线方程可通过设方程为f_1(x)·f_2(x)=λ(λ≠0)来确定.例1 求以4x-3y=0,4x 3y=0为渐近线方程且过 P(4 (3~(1/2),8)的双曲线方程.解:渐近线方程可变为(4x-3y)(4x 3y)=16x~2-9y~2=0     

谈谈过两条曲线交点的曲线方程

在平面解析几何中,我们经常遇到过两条曲线交点的曲线方程的问题。它有什么特征呢?现叙证如下: 性质1 若曲线l_1:f_1(x,y)=0与l_2:f_2(x,y)=0有交点为P_0(x_0,y_0),则曲线l_3:f_1(x,y)+λf_2(x,y)=0也经过交点P_0(x_0,y_0)其中λ为一切实数。     

圆锥曲线的几个命题及其应用

本文证明了命题:若圆锥曲线f_1(x,y)=0和f_2(x,y)=0的二次项系数相应相等且相交,则经过交点弦所在直线方程为f_1(x,y)-f_2(x,y)=0。从而推出命题:圆锥曲线f(x,y)=0被点M(m,n)所平分弦所在直线方程为f(x,y)-f(2m-x,2n-y)=0。并举例说明其应用。     

一类特殊方程的无解性的判别法

中学代数中,有些较为特殊的方程,在实数范围内无解,若依照一般解法,不但演算过程复杂,而且很难判定它们在实数范围内是否无解。本文试图给出这类无解方程的两个判定定理,可以简化解题过程,省时省力。定理1:若方程f(x)=0可表示成f_1[g(x)]=0,且f_1(y)=0无实数根,则方程f(x)=0无实数根。(其中f(x),g(x),f_1(y)均为代数函数,下面定理2假设相同。)。证明:设f(x)=0有实数根x_0,则有: f_1[g(x_0)]=0。令 y_0=g(x_0),则f_1(y_0)=0 即y_0是方程f_1(y)=0的实数根,与题设相矛盾。从而方程f(x)=0无实数根。定理2:若f(x)=0可表示成f_1[g(x)]=0,且f_1(y)=0有实数根y_1,y_2,…,y_n,但对于每一个y_i(1≤i≤n),方程g(x)=y_i都无实数根,则方程f(x)=0无实根。     

求直线方程的又一种方法

概念: (1)曲线C上的点的坐标都是方程f(x,y)=0的解; (2)以方程f(x,y)=0的解为坐标的点都是曲线C上的点, 称方程f(x,y)=0为曲线C的方程.充分利用曲线与方程的关系,可简化问题的求解. 例1 过点P(-1,1),作直线与椭圆x2/4+y2/2=1交于A、B两点,若线段AB的中点恰     

过两曲线交点的曲线系方程的应用

我们知道,方程f1(x,y) λf2(x,y)=0表示的曲线经过f1(x,y)=0和f2(x,y)=0交点的曲线系方程.利用上述曲线系方程求过已知两曲线交点的新曲线方程,可避免求交点的坐标,其方法如下.     

三角方程(续)

§8.增根与遗根的问题 1.我们应该先复习一下代数里学过的方程变形的四条定理: (1)如F(x)是整式,则方程f_1(x)=f_2(x)与方程f_1(x) F(x)=f_2(x) F(x)是同解方程。 (2)如m是不等于0的数,则方程f_1(x)=f_x(x)与方程m·f_1(x)=m·f_2(x)是同解方程。 (3)如F(x)是整式,则方程F(x)·f_1(x)=F(x)·f_2(x)是方程f_1(x)=f_2(x)的结果。 (4)方程f_1~2(x)=f_2~2(x)是方程f_1(x)=f_2(x)的结果。 2.在方程变形时用方程与方程的结果互相替代所产生的增根或遗根。 (1)方程两边同乘以一个含有未知数的整式时,可能产生增根,因为这里是把一个方程的结果去替代原方程。     

韦达定理在解直线问题中的应用

在解析几何中,对于直线与二次曲线的相交问题,常用到韦达定理。其实两直线相交或平行被第三条直线所截的一类问题也可用韦达定理来解决。可把两条直线方程f_1(x,y)=0和f_2(x,y)=0的积式     

用代换法求轴对称

求已知点P(x_0,Y_0)关于直线y=kx m的对称点P＇(x,y),通常是解方程组 {1/2(y y_0)=k·1/2(x x_0) m (y-y_0)/(x-x_0)=-(1/k) 但当k=±1时,可直接用对称轴方程y=±x m即x=±y±m代换以求P＇点的位置。定理1 若P＇(x,y)是点P(x_0,y_0)关于直线y=x m的对称点,则 {x=y_0-m, y=x_0 m。证明比较简单,兹从略。特别地,当m=0时,点p(x_0,y_0)和点p＇(y_0,x_0)关于直线y=x对称。推论1 曲线f(x,y)=0关于直线y=x m对称的曲线方程是f(y-m,x m)     

曲线划分平面在解题中的应用

大家知道,如果方程f(x,y)=0表示平面内的一条曲线c,那么不等式f(x,y)>0和f(x,y)<0分别表示平面被曲线c分成的两个区域。换言之:点P(x,y)满足f(x,y)>0或f(x,y)<0,则点P(x,y)分别在曲线c分成的两个平面区域内。这一思想用于解题,有时颇有好处。举几例以作说明: 1 用以去绝对值符号 例1 △ABC三边所在直线方程为:AB:2x y-3-25((1/2)2)=0,BC:4x-3y-11 25((1/2)10)=0,AC:x 7y 5 50((1/2)5)=0,求△ABC的内切圆方程。 解 设所求内切圆的圆心I(a,b),半     

巧用“点在曲线内部”的充要条件解题

我们知道,对于二次曲线f(x,y)=0(圆、椭圆)和平面内一点P0(x0,y0),有如下充要条件。(1)若P0(x0,y0)在曲线f(x,y)=0的内部f(x0,y0)<0.(2)若P0(x0,y0)在曲线f(x,y)=0的内部过P0(x0,y0)的直线L恒与曲线f(x,y)=0相交。如果充分利用“点在曲线内部”这一充要条件和性质解题,不仅求解思路清晰、和谐、优美,而且解题过程简捷、明快,可收到事半功倍的效果。下举数例说明。例1.已知圆C:(x-1)2+(y-2)2=25,直线L:(2m+1)y=7m+4(m∈R),证明:不论m取什么实数,直线L与圆恒交于两点。解析:本题的常规解法是:把直线代入圆方程中并整理成有关一元二次方程,…     

求对称曲线方程的公式算法

众所周知,曲线f(x,y)=0关于x轴对称的曲线方程是f(x,-y)=0,关于y轴对称的曲线方程是f(-x,y)=0,关于原点成中心对称的曲线方程是f(-x,-y)=0由此想到曲线f(x,y)=0关于任何已知直线ax+by+c=0成轴对称的曲线方程是什么形式?关于任何已知点M(a,b)成中心对称的曲线方程又是什么形式?这就是本文要探讨的问题。 先看一名中学生对下面一道习题的奇妙解法。题目是:“求直线3x-4y+2=0关于直线x-y+3=0成轴对称的直线方程。” 解 由x-y+3=0,得x=y-3,y=x+3,同时代入3x-4y+2=0中,得3(y-3)-4(x+3)+2=0,即4x-3y+19=0。此即为所求的对称直线方程。     

交集法

一、交集法的含义解方程组 f_1(x,y)=0 { f_2(x,y)=0就是求所有既满足第一个方程,又满足第二个方程的公共解,也就是求两个方程的解集的交集。反映到几何上,就是求这两个方程的曲线的交点集合。把这种思想方法用于几何作图,就是我们熟知的交轨作图法。例如已知底边、顶角、底边上的高,求作三角形。分析设ABC是适合条件的三角形,其中BC是底边,那么问题化归为确定A点,且A点应满足两条性质a与b     

直线方程(x0x)/(a2)-(y0y)/(b2)〗=1几何意义

文[1][2]研究了当点P(x0,y0)分别在圆和椭园上及其内部、外部时,直线方程(x0x)/(a2)+(y0y)/(b2)=1的几何意义.本文将探讨点P(x0,y0)分别在双曲线(x2)/(a2)-(y2)/(b2)=1上及其内部,外部时,直线方程(x0x)/(a2)-(y0y)/(b2)=1的几何意义,并给出了它的一些实际应用.     

共轴圆系理论的一个注记

在许多解析几何的著作中,有关共轴圆系理论是以如下方式阐述的: 到两不同心的已知圆C_i: f_i(x,y)=x~2 y~2 D_ix E_iy F_i=0 (i=1,2)的切线长相等的点的轨迹称为此两圆的根轴,共根轴的圆系称为共轴圆系。共轴圆系的方程为f_1 λf_2=x~2 y~2 D_1x E_1y F_1 λ(x~2 y~2 D_2x E_2y F_2)=0,其中λ为不等于-1的任意常数。当λ=-1时上式即     

谈谈曲线的极坐标方程定义和证明

一、关于曲线的极坐方程的定义我们知道,在平面内建立坐标系的目的是为了建立平面内的点与实数对的对应,进而建立曲线与方程的对应,再通过研究方程的代数性质来掌握曲线的几何性质。在直角坐标系中,平面内的点与它的直角坐标的对应是一一对应。在此基础上,给出了曲线的直角坐标方程的定义:设有曲线C和方程f(x,y)=0,若(1)曲线C上任一点的直角坐标都能满足方程f(x,y)=0;(2)以方程f(x,y)=0的任一组解为坐标的点都在曲线C上,则方程f(x,y)=0叫