数学奥林匹克问题

初23.已知CD为Rt△ABC斜边AB上的高,⊙O_1和⊙O_2分别为△ADC,△BDC内切圆,AC切⊙O_1于点P,BC切⊙O_2于点Q,AO_1,B0_2交于点O,OM⊥O_1O_2于点M。求证:∠O_1PM ∠O_2QN=45°。     

数学问题与解答

476.如图1,⊙O_1交⊙O_2于P、Q,点A在⊙O_1上,点D在⊙O_2上,射线PA、QA、PD、QD各交圆于B、C、E、F,证明:△ABC与△DEF的外接圆是等圆。     

2002年安徽省高中数学初赛一道几何题另证

题如图,⊙O是△ABC的外接圆,I点是它的内心,射线AI、BI、CI各交对边于点D、E、F,并各交⊙O于点A'、B'、C'.     

直角三角形的面积与内切圆的关系(初三)

定理直角三角形的面积等于内切圆在斜边上的切点分斜边所成的两线段的乘积. 如图,⊙O是Rt△ABC的内接圆,分别与三角形切于D、E、F三点,∠C=90°.求证S△ABC=AF·BF. 证明因为⊙O是△ABC的内切圆,所以 CD=CE,AF=AD,BE=BF.     

数学奥林匹克问题

本期问题初341在Rt△ABC中,已知∠A=20°,∠B=90°,AD是∠BAC的平分线,点E在边AB上,联结CE、DE.若∠DCE=30°,求∠ADE的度数.初342如图1,⊙O是△ABC的外接圆,⊙O₁、⊙O₂、⊙O₃分别与△ABC的边BC、CA、AB切于中点D、E、F,分别与⊙O切于点G、H、I,记⊙O、⊙O₁、     

探索性问题,“分类”是上策(初三)

1.按图形的性质分类例1 如图1,⊙O是等边△ABC的外接圆,D是BC上异于B、C的一点.若BD与DC的度数之比是1:3,⊙O的半径为1,取点F,使△DCF为等腰三角形,且顶角为钝角.试指出这时DF的长或其取值范围.     

切点三角形的性质及其启示

如图1,⊙O_1和⊙O_2外切于A,BC是⊙O_1和⊙O_2的公切线,B、C为切点。连结三个切点而成的△ABC,也叫做“切点三角形”。此类切点三角形有如下性质:     

一道竞赛题的证法探究

2014年全国高中数学联赛陕西预赛第三题： 如图1,⊙O。与⊙O2相交于P、Q两点,且⊙O2经过圆心O1,A是⊙O1。的优弧PQ上任一点,AP、AQ的延长线与⊙O2分别交于点B、C。求证：O1为△ABC的垂心。     

临界状态生妙思(初三)

例1 如图1.在Rt△ABC中,∠A-90°,⊙O 分别与AB、AC相切于点E、F,圆心O在BC上.若 AB=a,AC=b,则⊙O半径等于( ).     

切点三角形研究

什么是切点三角形呢,我们来看九年义务教育教科书人教版初中《几何》第三册129页例4:如图1,⊙O1和⊙O2外切于点A,BC是⊙O1和⊙O2的公切线,B、C为切点.求证:AB⊥AC. 这里的△ABC习惯上称为切点三角形.切点三     

数学奥林匹克问题

本期问题 高391 如图1,已知H为△ABC的垂心,⊙O与△ABC的三边BC、CA、AB分别交于点D1和D2、E1和E2、F1和F2,且D、E、F分别是D1D2、E1E2、F1F2的中点,     

一道国外竞赛题的多种解法

题目如图1,已知⊙I、⊙O分别为△ABC的内切圆、外接圆,⊙I分别切BC、CA、AB于点D、E、F．作圆ωa、ωb、ωc,记ωa切⊙I、⊙O于点D、K,ωb切⊙I、⊙O于点E、M,ωc切⊙I、⊙O于点F、N．证明：     

两圆外切的若干性质及其应用

人教版九年义务教育初中几何第三册p .14 4页有这样一道例题 :已知 :如图 1,⊙O1 和⊙O2 外切于点A ,BC是⊙O1 和⊙O2 的公切线 ,B、C为切点 .求证 :AB⊥AC .图 1解题过程不难理解 ,关键在于作出两圆的内公切线 ,下面简证如下 :证明 :过点A作⊙O1 和⊙O2 的内公切线交BC于点O ,因为OB、OA是⊙O1 的切线 ,所以OB =OA .同理OC =OA ,所以OB =OC =OA .即OA =12 BC ,所以AB⊥AC .这个例题的基本特点是△ABC构成了直角三角形 ,我们不妨称△ABC为切点三角形 ,容易证明切点三角形具有如下性质 :( 1)切点三角形是以两圆的公共点…     

滚动与旋转中的圆

例(2009年河北中考)如图1至图5,⊙O均作无滑动滚动,⊙O_1,⊙O_2,⊙O_3,⊙O_4均表示⊙O与线段AB或BC相切于端点时刻的位置,⊙O的周长为c.     

切线问题解题浅析

直线和圆相切是圆这一章的重点,也是历年中考所要考查的重要内容之一,要掌握有关切线的几个重要知识,从而掌握解决有关切线问题的方法和技能技巧,提高分析问题、解决问题的能力。 本文就有关切线的几个知识点及在解题中的运用加以探讨。 例1.如图,已知△ABC内接于⊙O,AD是△ABC的高,⊙O的直径AE交BC于F,点P在BC的延长线上,且∠CAP=∠B。     

为什么这样做——一道中考定值问题解题策略赏析

正请看2010年广东省广州市中考第24题及其问题(2)的解法:如图1,⊙O的半径为1,点P是⊙O上一点,弦AB垂直平分线段OP,点D是弧APB上任一点(与端点A、B不重合),DE⊥AB于点E,以点D为圆心、DE长为半径作⊙D,分别过点A、B作⊙D的切线,两条切线相交于点C.(1)求弦AB的长;(2)判断∠ACB是否为定值?若是,求出∠ACB的大小;否则,请说明理由;(3)记△ABC的面积为S,若,求△ABC的周长.略解:∠ACB是定值.理由:     

数学竞赛专栏

有奖解题擂台(22)河南师范大学附中赵振华(邮编:453002)如图,PE、PF和PMN分别是⊙O的切线和割线,EF交MN于点H,⊙O的直径AB垂直于MN,⊙O_1、⊙O_2的直径分别为HA、HB。PE、PF分别交⊙O_1、⊙O_2于点D、C。证明或否定:A、B、C、D四点共圆。     

初中数学中有关面积的应用与解析

在前几天的初三复习课上,讲评一份评估试卷的最后一题是这样的： 如图1：在△ABC中,∠C=90°,AC=8,AB=10,点P在AC上运动,若PA=x,且⊙O的圆心在线段BP上,⊙O与AB,AC都相切,⊙O的半径是y,请求出y与x的关系式．     

初中数学中有关面积的应用与解析

在前几天的初三复习课上,讲评一份评估试卷的最后一题是这样的： 如图1：在△ABC中,∠C=90°,AC=8,AB=10,点P在AC上运动,若PA=x,且⊙O的圆心在线段BP上,⊙O与AB,AC都相切,⊙O的半径是y,请求出y与x的关系式．     

直线与圆单元测试题

一、选择题1.已知⊙O和三点P、Q、R,⊙D的半径为3,OP=2,OQ=3,OR=4,经过这三点中的一点任意作直线总是与⊙O相交,这个点是().A.PB.QC.RD.P或Q2.如图1,直线AD与△ABC的外接圆相切于点A,若∠B=60°,则∠CAD等于().